齒輪傳動系統(tǒng)可靠性快速建模的數(shù)字化分析方法*

韓瑩瑩,艾紅旭,申 強(qiáng),李梓源,李 威*

(1.中國船舶集團(tuán)有限公司第七〇三研究所,黑龍江 哈爾濱 150078;2.北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,北京 100083)

0 引 言

機(jī)械系統(tǒng)的可靠性研究主要包括可靠性設(shè)計、分配、建模、分析、評價和改進(jìn)等方面的內(nèi)容。只有創(chuàng)建正確合理的模型,采用正確的分析方法,才能得到準(zhǔn)確的可靠性評價結(jié)果,進(jìn)而找出系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié),為系統(tǒng)可靠性設(shè)計提供依據(jù),并制定相應(yīng)的改進(jìn)措施。

PFEUFER T[1]利用模型算法,對汽車的執(zhí)行器進(jìn)行了可靠性分析,在冗余方案的擴(kuò)展中,基于模型算法的故障診斷方法有利于早期故障信號的檢測;但是,其未對參數(shù)化建模進(jìn)行探究。何曉聰?shù)热薣2]研究了威布爾分布在齒輪減速器中應(yīng)用,應(yīng)用威布爾分布理論,導(dǎo)出了二級直齒圓柱齒輪減速器的一種壽命可靠性模型;但是,在模型中該研究只考慮了齒輪和軸承的可靠性,沒有考慮軸的可靠性。王正等人[3]綜合運(yùn)用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型、順序統(tǒng)計量理論、泊松隨機(jī)過程以及概率微分方程,建立了零件的動態(tài)可靠性模型;但是,其未研究系統(tǒng)的可靠性建模方法。SADOU N等人[4]利用Petri網(wǎng)對動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性分析,提出了一種在Petri網(wǎng)中預(yù)測可能出現(xiàn)故障情況的方法;但對于復(fù)雜的系統(tǒng),該方法會導(dǎo)致狀態(tài)空間爆炸。ZHANG G等人[5]建立了kriging可靠性模型,簡化了應(yīng)力強(qiáng)度干涉模型的計算,并對大型球磨機(jī)齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性計算;但是,在模型中其只考慮了齒輪的可靠性,沒有考慮軸承的可靠性。李春玲等人[6]依據(jù)零部件相關(guān)壽命,對風(fēng)電齒輪箱太陽輪進(jìn)行了可靠性建模;但是,其未對行星輪進(jìn)行可靠性建模。孫道明等人[7]在考慮了失效模式相關(guān)性的條件下,對齒輪進(jìn)行了可靠性建模,采用Monte Carlo仿真方法,得到了齒輪在兩種失效模式下極限狀態(tài)函數(shù)的散點(diǎn)圖;但是,其對于齒輪傳動系統(tǒng)可靠性的研究多落腳于單一零件故障模式下的可靠性模型,缺乏對考慮各個零件載荷相關(guān)性的齒輪傳動系統(tǒng)整體進(jìn)行可靠性建模。

RASHID H S J等人[8]利用影響圖,對直升機(jī)變速箱進(jìn)行了可靠性建模,針對主齒輪箱(main gear box,MGB)油系統(tǒng)相關(guān)事故,建立了安全風(fēng)險模型;但是,其僅給出了關(guān)系模型,沒有給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。XIE L等人[9]基于時域級數(shù),對齒輪箱進(jìn)行了可靠性建模,并定義了時域級聯(lián)系統(tǒng);但是,其未分析各級之間的相互耦合關(guān)系。王春華等人[10]以可靠性等為約束條件,選取體積、重合度和傳動效率作為目標(biāo)函數(shù),利用改進(jìn)粒子群算法,對行星齒輪傳動進(jìn)行了多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計;但是,在優(yōu)化設(shè)計模型中,其只考慮了太陽輪和行星輪,沒有考慮齒圈。于格等人[11]基于可信度,建立了齒輪可靠性模型,給出了基于性能裕量確信的可靠度計算流程和算法;但是,其僅對單級齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行了研究,沒有對多級齒輪系統(tǒng)進(jìn)行探究。李明凱等人[12]研究了基于參數(shù)不確定條件下的齒輪彎曲疲勞可靠性計算及靈敏度分析方法;但是,其只開展了高應(yīng)力區(qū)的成組法試驗,沒有開展低應(yīng)力區(qū)的升降法試驗。QIAN H等人[13]基于Kriging模型,在多種故障模式下,對旋轉(zhuǎn)矢量(rotation vector,RV)減速器進(jìn)行了時變可靠性建模分析;但是,其僅考慮了齒輪接觸和彎曲疲勞失效,未考慮齒面膠合失效。王春光等人[14]以系統(tǒng)動力學(xué)、可靠性、穩(wěn)健性和體積作為目標(biāo)函數(shù),建立了直齒輪箱的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型;但其沒有對斜齒輪進(jìn)行探究。裴幫等人[15]以疲勞實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),對某地鐵齒輪可靠性進(jìn)行了分析;但是,其未考慮齒輪共因失效的影響。

由于齒輪傳動系統(tǒng)在實際工程使用過程中變得越來越復(fù)雜,由此帶來建模計算量越來越大、效率越來越低,因此,急需開展齒輪傳動系統(tǒng)可靠性快速建模數(shù)字化研究,以及開展相應(yīng)軟件的開發(fā)工作。

針對復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)可靠性建模計算量大和耗時長等問題,綜合應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型和載荷相關(guān)性,筆者建立定軸輪系、行星輪系及混合輪系的可靠性模型,設(shè)計開發(fā)齒輪傳動系統(tǒng)可靠性數(shù)字化建模軟件,完成參數(shù)化建模與自動化分析;最后,以功率分支齒輪傳動系統(tǒng)為例,采用解析法和數(shù)字化軟件,對其進(jìn)行可靠性建模與分析,對可靠性快速建模數(shù)字化分析平臺的有效性進(jìn)行驗證。

1 基于載荷相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性模型

齒輪傳動系統(tǒng)的可靠性計算可通過系統(tǒng)邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)關(guān)系來實現(xiàn)。該計算主要體現(xiàn)在可靠性框圖的繪制與可靠度大小的計算方面。為了滿足齒輪傳動系統(tǒng)及子系統(tǒng)的可靠性定量要求,必須建立可靠性關(guān)系模型與可靠性數(shù)學(xué)模型。

筆者將以機(jī)械零件的可靠性建模為基礎(chǔ),分析不同類型和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的機(jī)械傳動系統(tǒng)可靠性建模方法;以功率分支齒輪傳動系統(tǒng)為例,給出2種機(jī)械傳動裝置可靠性建模方法的適用范圍。

機(jī)械零部件的可靠度計算是基于應(yīng)力-強(qiáng)度分布干涉模型,零件的強(qiáng)度S和工作應(yīng)力σ均為服從概率統(tǒng)計分布曲線的隨機(jī)變量。

作為可靠性設(shè)計的基本原則,零部件的強(qiáng)度值要高于應(yīng)力值。對于固定值而言,其可以從安全系數(shù)上得以體現(xiàn);而對于離散化后的隨機(jī)變量,往往并不能簡單地用一個參數(shù)來表示。

在特定條件下,強(qiáng)度與應(yīng)力兩概率密度函數(shù)曲線發(fā)生了交叉,陰影部分稱為干涉區(qū)。

基于應(yīng)力分布和強(qiáng)度分布的干涉理論,可靠度作為強(qiáng)度大于應(yīng)力的總概率之和,其表達(dá)式如下:

(1)

當(dāng)應(yīng)力為xσ時,強(qiáng)度S大于該應(yīng)力值的概率表示如下:

(2)

(3)

由此可知,在整個積分區(qū)間內(nèi),對應(yīng)力σ進(jìn)行積分,可得機(jī)械零部件的可靠度如下:

(4)

由于系統(tǒng)中不同零部件具有不同的功能,故各元素對系統(tǒng)的可靠性影響能力不同。通過分析對傳動系統(tǒng)影響較大的系統(tǒng)元素,即可近似得到真實的系統(tǒng)可靠性數(shù)值。

實際上,大多數(shù)機(jī)械傳動系統(tǒng)的可靠性模型應(yīng)具有如下特征[16]:傳動系統(tǒng)任何一個零件失效將導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生失效;同一傳動系統(tǒng)中,各零部件的失效既不會是獨(dú)立事件,也不會是完全相關(guān)事件,即存在一定程度的相關(guān)關(guān)系。

若機(jī)械傳動系統(tǒng)在廣義隨機(jī)載荷L的作用下運(yùn)行,設(shè)載荷L的概率密度函數(shù)為fL(L),系統(tǒng)各零部件由此引起的應(yīng)力Hi=Hi(L),fi(S)是第i個零件強(qiáng)度的概率密度函數(shù),則在L=L0時,由式(4)可知零件的可靠度如下:

(5)

載荷L落在L0附近dL區(qū)間內(nèi)的概率如下:

(6)

若各零件間關(guān)于強(qiáng)度Si是相互獨(dú)立的,則各零件均可靠的概率如下:

(7)

假設(shè)載荷L與各零件的強(qiáng)度相互獨(dú)立,對應(yīng)于所有可能的L0,上述概率為系統(tǒng)的可靠度如下:

(8)

式(8)考慮了各零件關(guān)于載荷相關(guān)的系統(tǒng)可靠性干涉模型,根據(jù)式(7)及零件的可靠性干涉模型,系統(tǒng)可靠度計算公式如下:

(9)

由上述的推導(dǎo)可知,式(5)與式(9)在形式上存在明顯的區(qū)別。式(8)僅代表了一種系統(tǒng)可靠性計算模型,在處理復(fù)雜系統(tǒng)時,由于存在相當(dāng)繁瑣的計算,故求解實際問題時并不常用。

2 基于可靠性建模的數(shù)字化軟件

齒輪傳動系統(tǒng)的可靠性建模是基于系統(tǒng)中各零部件間的故障邏輯關(guān)系,軟件運(yùn)用系統(tǒng)可靠性框圖,表達(dá)系統(tǒng)的功能原理。筆者采用C#.NET,開發(fā)了一種基于普通概率法與蒙特卡洛模擬法的系統(tǒng)可靠性建模軟件。

可靠性建模數(shù)字化分析流程如圖1所示。

圖1 可靠性建模數(shù)字化分析流程

在完成機(jī)械零部件可靠性建模參數(shù)的輸入之后,結(jié)合樹形結(jié)構(gòu)控件中節(jié)點(diǎn)間的邏輯關(guān)系,筆者最終繪制出系統(tǒng)的可靠性框圖。

可靠性關(guān)系模型輸出界面如圖2所示。

圖2 可靠性關(guān)系模型輸出界面

針對邏輯結(jié)構(gòu)生成相應(yīng)的基本可靠性框圖和任務(wù)可靠性框圖后,筆者設(shè)計通用算法,對用戶輸入的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行解析。

首先,需要判斷結(jié)構(gòu)的基本可靠性模型和任務(wù)可靠性模型是否一致,判斷邏輯采用前序遍歷算法,其條件為結(jié)構(gòu)中是否存在并聯(lián)關(guān)系節(jié)點(diǎn)。由于任務(wù)可靠性框圖不簡化混聯(lián)結(jié)構(gòu),邏輯算法的關(guān)鍵在于對混聯(lián)結(jié)構(gòu)中并聯(lián)結(jié)構(gòu)的處理,需要計算結(jié)構(gòu)中最大串聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)。該函數(shù)對串聯(lián)結(jié)構(gòu)返回各子節(jié)點(diǎn)最大串聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)之和,對并聯(lián)結(jié)構(gòu)返回子節(jié)點(diǎn)最大串聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)。

設(shè)節(jié)點(diǎn)的最大串聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)為g。g算式如下:

(10)

式中:i為g的第i個子節(jié)點(diǎn);k為g有k個子節(jié)點(diǎn)。

式(10)為遞歸公式。按照遞歸循環(huán)方法設(shè)計函數(shù),即可得到輸入節(jié)點(diǎn)的最大串聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)。

為了表征任務(wù)可靠性框圖的邏輯信息,設(shè)第i個節(jié)點(diǎn)的位置信息為L。L算式如下:

Li=(xi,yi,wi)

(11)

式中:xi為第i個節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo);yi為第i個節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo);wi為第i個節(jié)點(diǎn)的所屬的縱向范圍。

邏輯信息的計算順序按照節(jié)點(diǎn)遍歷順序進(jìn)行,該過程基于樹的前序遍歷。

其前序遍歷算法流程如圖3所示。

圖3 前序遍歷算法流程圖

遍歷全部節(jié)點(diǎn)的過程中,首先計算的初始值如下:

(12)

式中:Le為繪圖區(qū)域的長度,像素密度單位,PPI;W為繪圖區(qū)域的寬度,PPI;g0為根節(jié)點(diǎn)的最大串聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)。

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為串聯(lián)節(jié)點(diǎn),并且節(jié)點(diǎn)i+1為節(jié)點(diǎn)的第一個子節(jié)點(diǎn)時,L算式如下:

Li+1=Li

(13)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為并聯(lián)節(jié)點(diǎn),并且節(jié)點(diǎn)i+1為節(jié)點(diǎn)的第一個子節(jié)點(diǎn)時,L算式如下:

(14)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為串聯(lián)節(jié)點(diǎn),并且節(jié)點(diǎn)i+1為節(jié)點(diǎn)的領(lǐng)節(jié)點(diǎn)時,L算式如下:

Li+1=Li·E+(G,0,0)

(15)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為并聯(lián)節(jié)點(diǎn),并且節(jié)點(diǎn)i+1為節(jié)點(diǎn)的領(lǐng)節(jié)點(diǎn)時,L算式如下:

(16)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為串聯(lián)節(jié)點(diǎn),并且節(jié)點(diǎn)i+k為節(jié)點(diǎn)的領(lǐng)節(jié)點(diǎn)時,L算式如下:

Li+k=Li·E+(G·gi,0,0)

(17)

當(dāng)節(jié)點(diǎn)i為并聯(lián)節(jié)點(diǎn),并且節(jié)點(diǎn)i+k為節(jié)點(diǎn)的領(lǐng)節(jié)點(diǎn)時,L算式如下:

(18)

遍歷完畢全部零件節(jié)點(diǎn)后,筆者采用類以存儲各節(jié)點(diǎn)的邏輯位置信息,從而實現(xiàn)類對象與零件節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)目的。由于基本可靠性框圖為全串聯(lián)模型,故只需生成每一零部件的可靠性框圖,依次排列后,即可完成該項建模任務(wù)。

然而傳動系統(tǒng)的任務(wù)可靠性框圖相對較復(fù)雜,需考慮串聯(lián)、并聯(lián)及混聯(lián)結(jié)構(gòu)的空間布局與節(jié)點(diǎn)間的位置關(guān)系,因此,需針對串聯(lián)和并聯(lián)節(jié)點(diǎn),分別基于遞歸思想,借助式(13)～式(18)得到其各子節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

3 算例及結(jié)果分析

以功率分支齒輪傳動系統(tǒng)為例,其功率分支齒輪傳動裝置結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 功率分支齒輪傳動裝置結(jié)構(gòu)圖

筆者根據(jù)該齒輪傳動系統(tǒng)的工作環(huán)境與所受載荷特點(diǎn),建立其可靠性模型時只考慮齒輪、軸和軸承3類零件的影響。

由于零部件為單元串聯(lián)結(jié)構(gòu),故可以得到系統(tǒng)的基本可靠性框圖,如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)基本可靠性框圖

任務(wù)可靠性模型需根據(jù)傳動系統(tǒng)的工作特點(diǎn),結(jié)合系統(tǒng)各零部件所執(zhí)行的功能,得出包含串、并聯(lián)結(jié)構(gòu)的任務(wù)可靠性框圖。

系統(tǒng)任務(wù)可靠性框圖如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)任務(wù)可靠性框圖

筆者參照非電子元器件可靠性數(shù)據(jù)手冊(nonelectronic parts reliability data,NPRD)可靠性數(shù)據(jù),得到各零部件的故障率,通過故障率與可靠度之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系求得可靠度,最后將可靠度代入公式中,進(jìn)行計算。

由理論推導(dǎo)可得,故障率λ與可靠度R(t)的計算關(guān)系如下:

(19)

如果組成系統(tǒng)的零部件數(shù)目較多,并且存在明顯的損耗性零件,對有限壽命已知的零件需要定期更換,則零件失效率λ可近似地認(rèn)為是常數(shù)。

取工作時間為12 000 h,可得系統(tǒng)主要零部件失效率λ及可靠度如表1所示。

表1 統(tǒng)主要零部件失效率及可靠度

零件的可靠度可以采用蒙特卡洛模擬法得到。

蒙特卡洛模擬法模塊通常是利用MATLAB軟件,來模擬零件的可靠度計算過程。在進(jìn)行模擬試驗之前,需要明確機(jī)械零部件強(qiáng)度與應(yīng)力的概率分布情況,建立其應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型,然后方能求解其可靠度。

同一工況下,齒輪應(yīng)力與強(qiáng)度的蒙特卡洛擬合數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖,如圖7所示。

圖7 齒輪應(yīng)力及強(qiáng)度的蒙特卡洛擬合數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖

為了簡化其運(yùn)算過程,可根據(jù)系統(tǒng)的任務(wù)可靠性框圖,將各分支路看成一個整體,而每一整體內(nèi)部為串聯(lián)結(jié)構(gòu)。

由串聯(lián)模型計算公式可得出各組成單元可靠度。

系統(tǒng)各單元可靠度如表2所示。

表2 系統(tǒng)各單元可靠度

由表2可得,該系統(tǒng)基本可靠性的可靠度:Rc=RA·RB·RC·RD·RE·RF·RG=0.834 4。

其中,設(shè)單元內(nèi)部各零部件的可靠度為R1、R2。

最后,根據(jù)任務(wù)可靠性模型的計算特點(diǎn),可得該系統(tǒng)的任務(wù)可靠度數(shù)值:Rb=RG·(RA·RH+RB·RI-RA·RB·RH·RI)=0.981 8。

因此,運(yùn)用普通概率法,計算得到該功率四分支傳動系統(tǒng)的基本可靠度為0.834 4,任務(wù)可靠度為0.981 8。

齒輪傳動系統(tǒng)基本可靠度取決于各個環(huán)節(jié)的可靠度。若想提高系統(tǒng)的基本可靠度,需要采取有利于增加零部件自身可靠度的措施。

軟件生成基本可靠性與任務(wù)可靠性對比,如圖8所示(解析計算結(jié)果與軟件計算結(jié)果誤差為0.016%)。

圖8 基本與任務(wù)可靠性結(jié)果對比圖

通過各子系統(tǒng)與系統(tǒng)的對比可得:隨著系統(tǒng)并聯(lián)部分的增多,基本可靠度與任務(wù)可靠性之間的差值會越來越大。因此,在可靠性設(shè)計中,可通過該圖快速判斷冗余系統(tǒng)的位置,為系統(tǒng)的合理設(shè)計提供支持。

為了驗證該可靠性數(shù)字化分析方法及軟件的正確性,筆者同時采用解析法進(jìn)行了計算,兩者取得了較好的一致性。

4 結(jié)束語

針對復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)可靠性建模計算量大和耗時長等問題,綜合應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型和載荷相關(guān)性,筆者提出了一種齒輪傳動系統(tǒng)可靠性快速建模的數(shù)字化分析方法,建立了考慮各個零件載荷相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性模型,設(shè)計了齒輪傳動系統(tǒng)可靠性快速建模的數(shù)字化平臺;最后,以功率分支齒輪傳動系統(tǒng)為例,采用解析法和數(shù)字化軟件,對其進(jìn)行可靠性建模與分析,對可靠性快速建模數(shù)字化分析平臺的有效性進(jìn)行驗證。

研究結(jié)論如下:

1)筆者建立了基于零件載荷相關(guān)性的齒輪傳動系統(tǒng)可靠性模型,研究了齒輪傳動系統(tǒng)可靠性關(guān)系模型,推導(dǎo)了基本可靠性和任務(wù)可靠性數(shù)學(xué)模型,實現(xiàn)了根據(jù)實際齒輪傳動結(jié)構(gòu)選用混聯(lián)模型表征可靠性關(guān)系模型的目的;采用數(shù)理統(tǒng)計概率法,對可靠性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了求解,得到了系統(tǒng)基本可靠度為0.834 4,任務(wù)可靠度為0.981 8,提高了系統(tǒng)可靠性建模精度;

2)開發(fā)了齒輪傳動系統(tǒng)數(shù)字化分析平臺可靠性建模模塊,在前處理部分實現(xiàn)了輸入模型結(jié)構(gòu)參數(shù);在中間處理部分根據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)和遞歸思想,采用遍歷模型,計算了可靠性模型框圖參數(shù),采用蒙特卡洛法計算了可靠度;在后處理模塊實現(xiàn)了自動生成基本可靠性及任務(wù)可靠性模型框圖、系統(tǒng)可靠性結(jié)果表格、可靠性結(jié)果對比圖和自動輸出可靠性建模分析報告Word文檔目標(biāo),提高了系統(tǒng)可靠性建模效率;

3)基于所開發(fā)的齒輪傳動系統(tǒng)數(shù)字化分析軟件可靠性建模模塊,對功率分支齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性建模數(shù)字化分析,軟件仿真分析結(jié)果與解析計算結(jié)果取得了較好的一致性,驗證了筆者所提出的可靠性建模數(shù)字化分析方法(及軟件)的可行性和正確性。

通過對高速重載齒輪傳動系統(tǒng)的研究,筆者發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可靠性模型與許多因素有關(guān)。因此,在后續(xù)的研究過程中,筆者將采用多場耦合方法,以此來綜合研究齒輪傳動系統(tǒng)可靠性建模的數(shù)字化設(shè)計。