用跨學(xué)科知識(shí)解決“將軍飲馬”問(wèn)題

黃樹明

(重慶市江津區(qū)支坪初級(jí)中學(xué)校,重慶 402278)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確提出:設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng),加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián),以問(wèn)題解決為導(dǎo)向,整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法,提高分析與解決問(wèn)題的能力[1].

“將軍飲馬”問(wèn)題雖然主要考“兩點(diǎn)之間,線段最短”“垂線段最短”這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),但由于涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,綜合性比較強(qiáng),學(xué)生研究起來(lái)普遍感覺很吃力.很多研究者將其分為兩定一動(dòng)、一定兩動(dòng)、兩定兩動(dòng)等很多種情況,然后根據(jù)實(shí)際情況再細(xì)分為很多種模型進(jìn)行研究,這樣研究起來(lái)復(fù)雜而繁瑣,也不利于知識(shí)的遷移和應(yīng)用.

光程最短原理是一個(gè)物理學(xué)知識(shí).光沿直線傳播,光程是光運(yùn)動(dòng)的最短路徑.利用光程最短原理,從研究光的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)路徑著手,研究平面幾何中著名的“將軍飲馬”問(wèn)題,會(huì)有意想不到的作用和效果,過(guò)程會(huì)輕松加愉快.

例1 點(diǎn)A和點(diǎn)B為直線m外的兩個(gè)定點(diǎn),且點(diǎn)A和點(diǎn)B均位于直線m的同側(cè),在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

圖1 直線m同側(cè)兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在一條直線上

解 不妨在直線m上任選一點(diǎn)P,假設(shè)光從點(diǎn)A出發(fā),先到達(dá)直線m上的點(diǎn)P,然后從點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B.畫出光的運(yùn)動(dòng)路徑及運(yùn)動(dòng)方向,可以看出點(diǎn)A到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與點(diǎn)P到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)方向并不一致,不是按比較接近于沿著一條直線的方向運(yùn)動(dòng).利用軸對(duì)稱變換,將線段PB沿著直線m翻折得到線段PB1,這時(shí)可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與點(diǎn)P到點(diǎn)B1的運(yùn)動(dòng)方向,是基本一致并且比較接近于沿著一條直線的方向運(yùn)動(dòng),同時(shí)PA+PB=PA+PB1.由于點(diǎn)A與點(diǎn)B1均是定點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短,很顯然,符合題意的點(diǎn)P應(yīng)該位于線段AB1與直線m的交點(diǎn)處.

圖3 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)結(jié)合垂線段最短

例3 如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),將△CDE沿CE翻折得△CME,點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi).點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P,則MN+NP的最小值為________．

例4 如圖4,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=3,點(diǎn)E為菱形ABCD的對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F、G為線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn),試求EF+EG的最小值?

圖4 三個(gè)動(dòng)點(diǎn)結(jié)合平行線間距離

例5 如圖5,直角坐標(biāo)系中,B(4,6),以點(diǎn)A(-2,3)為圓心以1為半徑作⊙A,M是⊙A上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PM+PB的最小值等于________.

圖5 動(dòng)點(diǎn)在圓和直線上

利用光程最短原理,從研究光的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)路徑出發(fā),結(jié)合軸對(duì)稱變換,使“將軍飲馬”問(wèn)題的研究更加直觀、形象,研究過(guò)程更簡(jiǎn)便、快捷,也更容易被學(xué)生理解,有利于學(xué)生養(yǎng)成利用跨學(xué)科知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí),也有利于逐步形成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].