2023年新高考Ⅰ卷第22題解法探究

葉誠理 林品玲

(福建省福清第一中學(xué),福建 福清 350300)

解析幾何一直就是高考試卷的主干知識,2023年新高考Ⅰ卷就把解析幾何中的拋物線作為壓軸題考查,給人耳目一新的感覺.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求W的方程;

本題以拋物線中的內(nèi)接直角三角形為載體,考查了拋物線的方程、性質(zhì)和弦長計(jì)算,考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程等思想,考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性.

本題的命題背景源于教材(新人教A版選擇性必修一P46頁章末第10題)、往年數(shù)學(xué)競賽(上海1998年高中數(shù)學(xué)競賽試題第12題)和高考題(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科第10題).

2 解法探析

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

圖1 解法1示意圖

x2-kx+ka-a2=0.

則xA·xB=a·xA=ka-a2.即xA=k-a.

令k2=m,則m∈(0,1].

圖2 解法3示意圖

圖3 解法4示意圖

2.3 試題推廣

事實(shí)上,對于一般的拋物線W:x2=2py(p>0),已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上,則有

推論2若四邊形ABCD為正方形,則面積的最小值為2p2;

3 策略剖析

上述幾種解法的解題過程充分體現(xiàn)了依托幾何直觀,合理運(yùn)算求解的解題策略.以解法1為例,見表1.

表1 策略剖析表

另外,掌握代數(shù)運(yùn)算的技巧也是必不可少的,凸顯解析幾何的本質(zhì):用代數(shù)的方法來研究幾何問題. 體現(xiàn)在如下幾點(diǎn):

因此,要想順利解決本題,需要學(xué)生掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,學(xué)會(huì)在復(fù)雜情境中懂得靈活地、綜合地運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力,即充分挖掘幾何特征,實(shí)現(xiàn)巧妙轉(zhuǎn)化和創(chuàng)造性地求解,問題的解決過程充分考查了學(xué)生的直觀想象、抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和良好的心理素質(zhì),體現(xiàn)了命題者的意圖.