自適應隨機權重容積卡爾曼濾波交互多模型目標跟蹤

宋 偉, 李春菊

(1.民航西北地區(qū)空中交通管理局寧夏分局,銀川 750000; 2.寧夏工商職業(yè)技術學院,銀川 750000)

0 引言

在狀態(tài)估計和信息融合領域,機動目標跟蹤問題依然是一個熱點問題,廣泛應用于導航、航空交通以及軍事等相關領域。在航空運輸領域,為了完成空中機動目標的跟蹤,必須要考慮目標運動模型匹配精度和濾波器性能兩個重要因素。

目標跟蹤模型就是研究跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)模型是否匹配目標實時運動模型。目標的運動過程非常復雜,用單一模型模擬整個運動過程是非常困難的。因此,交互多模型(IMM)算法被提出,以解決此類問題。IMM算法同時并行處理多個模型,模型之間的轉換通過概率轉移矩陣實現[1]。

機動目標跟蹤問題中,運動模型一般是非線性的,因此,選擇合適的濾波器顯得非常重要。文獻[2]利用擴展卡爾曼濾波解決非線性系統(tǒng)問題,其基本思想是先通過泰勒展開式把非線性系統(tǒng)問題近似為線性系統(tǒng)問題,再進行卡爾曼濾波,在簡單的非線性系統(tǒng)中,該算法具有很好的跟蹤精度和很少的計算量,但在復雜的非線性系統(tǒng)中,該算法卻無法很好地解決實際問題;文獻[3]中,容積卡爾曼濾波算法(CKF)被用作IMM算法的子模型,很好地完成了跟蹤任務;文獻[4]利用隨機權重因子代替初始因子來減少系統(tǒng)噪聲的影響,隨機權重容積卡爾曼濾波算法被提出。

針對上述問題,本文提出了一種自適應隨機權重容積卡爾曼濾波交互多模型跟蹤算法,該算法改善了濾波精度,同時提升了算法穩(wěn)定性能。

1 容積卡爾曼濾波算法簡介

一般非線性系統(tǒng)的數學模型表示為

(1)

式中:xk和zk分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量和測量向量;Wk和Vk分別為系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲,兩者是相互獨立的零均值白噪聲,且對應的協(xié)方差分別為Qk和Rk;f(·)和h(·)分別為非線性系統(tǒng)狀態(tài)轉移函數和測量函數。系統(tǒng)初始狀態(tài)x0～N(0,P0),與Wk-1和Vk互不相關,P0為初始協(xié)方差矩陣[5]。

(2)

式中,Sk-1|k-1為協(xié)方差矩陣的平方根系數。因此,容積點算式為

(3)

(4)

因此,在容積點i從k-1時刻到k時刻的狀態(tài)預測和方差分別為

(5)

(6)

測量更新如下。

分解預測誤差協(xié)方差矩陣Pk|k-1為

(7)

計算容積點i從k-1時刻到k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量為

(8)

容積點i從k-1時刻到k時刻的測量向量為

(9)

容積點i從k-1時刻到k時刻的測量預測、方差和協(xié)方差分別為

(10)

(11)

(12)

濾波器在k時刻的增益為

(13)

計算k時刻的狀態(tài)估計為

(14)

均方差矩陣為

(15)

如果非線性系統(tǒng)包含較大的誤差,那么系統(tǒng)狀態(tài)模型和測量模型為

(16)

式中:Δxk為預測模型誤差;Δzk為測量模型誤差。

那么狀態(tài)預測為

(17)

測量預測為

(18)

通過以上可以看出,如果非線性系統(tǒng)引入了誤差,那么狀態(tài)預測和測量預測均存在偏差,而且濾波器增益也存在偏差,導致整個系統(tǒng)狀態(tài)估計不準確。因此,若存在系統(tǒng)模型誤差,那么CKF估計也會存在誤差[4]。以上也可以證明測量預測和狀態(tài)預測、協(xié)方差都通過初始權重計算,所有容積點的預測誤差不能精確表達實際系統(tǒng)誤差的統(tǒng)計特性,因此本文引入隨機權重。

2 自適應隨機權重容積卡爾曼濾波

2.1 隨機權重容積卡爾曼濾波

假設x1,x2,…,xn是一組具有相同概率分布的隨機變量,分布函數為F(x)[7]。那么,分布函數可以表示為

(19)

式中,I(xi≤x)為指示函數。Fn(x)的隨機權重定義為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

λi隨著前后時刻誤差的變化而變化,實時反映出誤差對以上變量的影響,因此,基于隨機權重的容積卡爾曼濾波的精度更高。

2.2 自適應跟蹤算法

基于自適應思想可以更新系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Qk和測量噪聲協(xié)方差矩陣Rk[9]。通過引入時變因子可以改善算法的穩(wěn)定性[10]。自適應濾波算法具體算式為

(27)

(28)

(29)

(30)

在實際應用中,當Qk-1和Rk均未知時,同時更新Qk-1和Rk易導致算法崩潰,因此本文把Rk設置為常量。因為在式(29)中的負號會產生負矩陣結果,為了使Qk-1半正定,設均值方差Pk和Pk-1為零。改進的自適應濾波算法為

(31)

3 交互多模型自適應隨機權重容積卡爾曼濾波算法

交互多模型自適應隨機權重容積卡爾曼濾波(IMM-ARWCKF)算法主要由交互作用器、多個濾波器、一個狀態(tài)估計融合器和模型概率估計器組成[11]。IMM-ARWCKF算法計算步驟如圖1所示。

圖1 IMM-ARWCKF算法計算步驟

IMM-ARWCKF算法可以總結為以下幾個步驟[12]。

1) 步驟1:交互輸入。

(32)

(33)

(34)

2) 步驟2:更新模型概率。

計算第j種模型的可能性

(35)

(36)

3) 步驟3:狀態(tài)交互融合?；谀Ｐ透怕嗜诤细髂Ｐ蜑V波預測,得到k時刻的最終結果為

(37)

(38)

4 改進的馬爾可夫概率矩陣

本文利用后驗概率信息調整馬爾可夫轉移概率矩陣[14]。由于指數函數的單調性和概率變化的非負性,定義以下因子

(39)

(40)

(41)

(42)

其中,TTH和TTL分別代表轉移矩陣的上限和下限。出于時變因子的原因,轉移概率矩陣的元素也是變化的。變化的隨機性會導致兩個問題:在特定時間,不同模型的概率不能是1;主對角線元素的調整會導致主對角線優(yōu)先權的喪失[16]。本文設定了主對角線元素的上下限值來解決此問題。實驗結果表明,上限TTH=0.97,下限TTL=0.92時會得到比較好的結果。

5 實驗和結果

通常使用均方誤差來評估航跡跟蹤結果,即

(43)

xk=FCVxk-1+Γwk

(44)

xk=FCTxk-1+Γwk

(45)

(46)

其中:ω為圓周運動的角速率,ω>0表示向左轉彎,ω<0表示向右轉彎;wk是具有零均值的二維高斯白噪聲。目標的測量方程是線性的,表示為

zk=Hxk+Vk

(47)

圖2 運動目標的真實航跡

圖3、圖4是IMM-ARWCKF與其他3種算法比較的結果。IMM-ARWCKF算法充分利用了條件概率后驗信息,當目標狀態(tài)發(fā)生變化時可以快速匹配真實目標運動航跡,因此IMM-ARWCKF算法的跟蹤效果最優(yōu)。

圖3 濾波器對目標的估計

各濾波器誤差分析如表1所示。結果表明本文IMM-ARWCKF算法有更小的均方誤差。與IMM-CKF算法進行比較,IMM-ARWCKF在兩個方面進行了優(yōu)化:一方面,使用隨機權重因子使得CKF算法中的估計值更加趨近真實值;另一方面,利用殘差序列更新噪聲協(xié)方差矩陣和狀態(tài)估計協(xié)方差矩陣使得算法更加穩(wěn)定。

表1 各濾波器誤差分析

6 結論

針對非線性系統(tǒng)機動目標跟蹤問題,本文提出了一種IMM-ARWCKF算法。該算法主要優(yōu)點有:1) 使用自適應隨機權重容積卡爾曼濾波作為IMM濾波器的子濾波器作用于不同的運動模型上,引入隨機權重因子來替換初始因子,從而提高了算法精度;2) 為了算法穩(wěn)定性,添加自適應強跟蹤濾波器來更新預測協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣;3) 通過引入時變因子調整轉移概率矩陣,改進IMM算法概率協(xié)方差精度,該算法結合IMM算法和ARWCKF算法有效解決了非線性系統(tǒng)機動目標跟蹤問題。