“計數(shù)方法”內(nèi)容的教材學習進階研究

陳瑞華

【摘 要】“計數(shù)方法”是數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，在小學階段就已經(jīng)開始滲透，對提升學生的數(shù)學素養(yǎng)具有重要的意義。北師大版教材在四年級和六年級均有涉及“計數(shù)方法”的內(nèi)容，教材從學習目標、學習路徑、解決問題的策略等方面都有一個學習進階的過程。

【關(guān)鍵詞】計數(shù)方法 學習進階 解決問題

在北師大版小學數(shù)學教材體系中，涉及“計數(shù)方法”的內(nèi)容主要有四年級上冊的“數(shù)圖形的學問”和六年級上冊的“比賽場次”，這兩個內(nèi)容都編寫在“數(shù)學好玩”板塊中，同屬于“綜合與實踐”領(lǐng)域，教學內(nèi)容的編排遵循“由易到難”“從簡單到復雜”的原則。同時，這兩個內(nèi)容的編排體系都具有“模型化”的特點，即以“問題情境—建立模型—解釋、應用模型”的方式進行課程教學。

一、教材中學習目標的學習進階

學習進階（learning progressions，簡稱LPs）也稱學習進程，是美國科學教育改革中的一個新興的概念，是對學生在各學段學習同一主題的概念時所遵循的連貫的、典型的學習路徑的描述，一般呈現(xiàn)為圍繞核心概念展開的一系列由簡單到復雜、相互關(guān)聯(lián)的概念序列。美國國家研究理事會（NRC）將學習進階定義：學習進階是對學生連貫且逐漸深入的思維方式的假定描述，在一個適當?shù)臅r間跨度下，學生學習和探究某一重要的知識或者實踐領(lǐng)域時，其思維方式會逐漸進階。教師要利用學習進階理論，找到“計數(shù)方法”內(nèi)容，在學生學習的過程，把學生的學習劃分成一些階段或步驟，更清晰地認識到學生學習數(shù)學的規(guī)律和思維的層次，從而能夠更好地引導學生由低到高的學習進程。

筆者從會抽象、會推理、會應用這三個方面對小學階段“計數(shù)方法”內(nèi)容的目標進行研究。

會抽象，主要是要求學生在實際問題中通過畫圖、列表等形式將內(nèi)容抽象出來，通過對實際問題的表征、抽象使思維得以提升。

會推理，包括歸納推理和演繹推理，小學階段的會推理一般指歸納推理，也叫合情推理，指通過觀察、歸納、類比、實驗、聯(lián)想、猜測、矯正與調(diào)控等方法，為猜想提供依據(jù)。

會應用，主要包括解決問題的特質(zhì)與策略。應用的策略具有多樣性，如畫圖、列表、從特殊到一般等。

根據(jù)這些目標的描述，筆者將這兩個內(nèi)容的目標列舉如下，通過對學習目標進行研究，找到“計數(shù)方法”中這一內(nèi)容在小學階段的學習目標的學習進階。

（一）會抽象

“會抽象”內(nèi)容和目標見表1。

這兩個內(nèi)容中“會抽象”的目標學習進階：“數(shù)圖形的學問”要將鼴鼠鉆洞的問題抽象成數(shù)學問題，再把洞抽象成點，把鉆洞問題抽象成數(shù)線段的數(shù)學問題，最后通過有序數(shù)線段的策略來解決線段計數(shù)的問題；“比賽場次”要將體育中的比賽場次問題，抽象成數(shù)學問題，然后通過線段圖、連線圖、表格等多種策略，解決比賽場次問題。

（二）會推理

“會推理”內(nèi)容和目標見表2。

“數(shù)圖形的學問”主要通過畫圖的方式，從簡單的四個點入手，引導學生進行有序思考，做到不重復、不遺漏，通過數(shù)線段，推理出線段計數(shù)的規(guī)律。“比賽場次”主要是讓學生運用從簡單到一般的策略來解決問題，運用畫圖、列表、連線的策略，找到遞推的方法，推理出比賽場次的規(guī)律，并找到其中的聯(lián)系。

（三）會應用

“會應用”內(nèi)容和目標見表3。

“數(shù)圖形的學問”將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，有序地數(shù)出線段的條數(shù)，建立數(shù)線段的模型，然后解決生活中的單程車票的問題?！氨荣悎龃巍蓖ㄟ^不同的策略來解決問題，體驗從簡單到一般的數(shù)學思想，并建立模型，然后解決聯(lián)絡方式的問題。

（四）研究結(jié)果

根據(jù)學習目標的學習進階分析，這兩個內(nèi)容的根本目標就是要讓學生做到“三會”，也就是會抽象、會推理、會應用。而這些目標不是通過教師的教實現(xiàn)的，而是要求學生在操作、體驗的過程中，通過自我體驗和感悟得到的。學生在建立數(shù)學模型的過程中經(jīng)歷觀察、猜測、實驗驗證、計算、推理、應用等具有數(shù)學特征的活動后使學習目標更加深入。這三個目標在這兩個內(nèi)容中都體現(xiàn)了由易到難的過程，是一個明顯的進階過程。

二、教材中學習路徑的學習進階

兩個內(nèi)容的學習路徑相似，具體如圖1：

（一）情境不同

“數(shù)圖形的學問”創(chuàng)設(shè)了鼴鼠鉆洞的情境，教材利用鼴鼠卡通的形象，創(chuàng)設(shè)了“鉆四個洞，任選一個洞口進入，向前走，再任選一個洞口鉆出來”這樣一個情境，激發(fā)了學生的學習興趣。但是，鼴鼠鉆洞的情境雖然以卡通的方式呈現(xiàn)，卻離學生的生活較遠，學生需要將生活問題抽象成數(shù)學問題，這對學生來說有一定的難度。

“比賽場次”以學生喜聞樂見的乒乓球比賽作為情境，教材創(chuàng)設(shè)了“六（1）班十名同學進行乒乓球比賽，每兩名學生之間要進行一場比賽”這一體育賽事的情境，比較符合學生的實際，可以快速地讓學生發(fā)現(xiàn)問題。解決這一問題時，學生可以比較容易地將其遷移到數(shù)學問題中。

（二）問題的起點不同

“數(shù)圖形的學問”從四個端點開始研究，讓學生數(shù)出有多少條線段，比較符合學生的年齡特點。

“比賽場次”從十個人參加比賽開始研究，讓學生感受從特例開始尋找規(guī)律的必要性。

（三）問題串的設(shè)計不同

在問題串的設(shè)計上，“數(shù)圖形的學問”設(shè)計了兩個核心任務：（1）有四個點，數(shù)一數(shù)有多少條不同的路線；（2）想辦法按順序數(shù)出有多少條不同的路線，要做到不重復、不遺漏。通過兩個學習任務的設(shè)計，學生可以感受到有序列舉的價值。

“比賽場次”呈現(xiàn)了三個核心學習任務：（1）十名學生參加乒乓球比賽，每兩名學生之間要進行一場比賽，一共要比賽多少場？（2）找找有什么規(guī)律？（3）你知道一共要比賽多少場嗎？通過三個學習任務，學生可以感受到從特例開始尋找規(guī)律的必要性。教師再引導學生通過列表、畫圖、連線等策略發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決比賽場次的計數(shù)問題。

（四）研究結(jié)果

研究發(fā)現(xiàn)，這兩個內(nèi)容的教材編寫都是按“情境+問題串”的方式來編排的，每個內(nèi)容都創(chuàng)設(shè)了基于學生特征的情境，讓學生圍繞情境提出問題、展開學習。這些問題的提出也是基于學習目標，按照一定的結(jié)構(gòu)精心設(shè)計的，問題的指向性非常明確，從學生的知識、方法、思想等方面進行設(shè)計，從而引領(lǐng)學生的學習進程，最后實現(xiàn)課程目標。但是，情境的創(chuàng)設(shè)、問題的起點、問題串的設(shè)計上都體現(xiàn)了一定的學習進階。

三、教材中解決問題策略的學習進階

策略就是為了實現(xiàn)某一個目標，首先，預先根據(jù)可能出現(xiàn)的問題制訂若干對應的方案，并且，在實現(xiàn)目標的過程中，根據(jù)形勢的發(fā)展和變化制訂出新的方案，或者根據(jù)形勢的發(fā)展和變化選擇相應的方案，最終實現(xiàn)目標。

（一）解決問題的策略

解決問題的策略具體見表4。

（二）研究結(jié)果

這兩個內(nèi)容在學習策略的選擇上是一脈相承的，有明顯的學習進階，在“數(shù)圖形的學問”中是運用畫圖的策略發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感受從特例尋找規(guī)律的解決問題的策略。在“比賽場次”中，運用畫圖、連線和列表等多種方式，運用從特例尋找規(guī)律的策略，解決比賽場次的問題。兩個內(nèi)容從特例尋找規(guī)律的解決問題的策略的要求都是逐步螺旋上升的。

四、對教學實施的建議

通過研究，我們發(fā)現(xiàn)，解決此類問題時，在學習路徑的設(shè)計上有著較為相同的路徑，在教學實施的過程中，我們要注意以下幾點：

（一）要注重過程性

這兩個內(nèi)容都是從學生熟悉的情境出發(fā)，提出問題，確定任務后就要組織學生開展活動，讓學生去嘗試做一做，在做一做的過程中去交流想法、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應用規(guī)律。學生在整個活動的過程中要從頭到尾地去思考問題，要參與到整個知識形成的過程中，經(jīng)歷一個完整的學習活動過程。

（二）要注重趣味性

這兩個內(nèi)容都是從解決學生感興趣的生活問題入手，例如，“數(shù)圖形的學問”要解決鼴鼠鉆洞的問題，“比賽場次”要解決乒乓球比賽的場次問題。這些問題與學生的生活密切相關(guān)，在解決問題時，學生有著濃厚的興趣。而且，這些問題的解決一般可以通過合作學習更好地完成，所有的這些知識都體現(xiàn)了學生的合作學習和探究學習，培養(yǎng)了學生的合作能力。

（三）要注重實用性

這兩個內(nèi)容的解決都可以在生活中進行應用，例如，“數(shù)圖形的學問”可以解決生活中的車票問題，“比賽場次”可以解決體育運動中的比賽場次問題，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，并應用于生活。

【參考文獻】

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