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    基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)的汽車電子器件壽命分析

    2023-10-21 07:08:22劉岳歐陽英圖葉雯
    時(shí)代汽車 2023年18期

    劉岳 歐陽英圖 葉雯

    摘 要:加速壽命試驗(yàn)是利用加速應(yīng)力水平下的壽命特征去外推評(píng)估正常應(yīng)力水平下的壽命特征的試驗(yàn)技術(shù)。針對(duì)在汽車智能化發(fā)展中起著重要作用的汽車電子器件,本文將服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的樣本在步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)合貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷,得出了基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)的加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法,從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)汽車電子器件的壽命估計(jì)。本文通過有機(jī)發(fā)光二極管的案例應(yīng)用,驗(yàn)證了貝葉斯對(duì)數(shù)正態(tài)分布加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法的可行性和有效性,對(duì)相關(guān)理論研究和工程試驗(yàn)的開展具有借鑒意義。

    關(guān)鍵詞:汽車電子產(chǎn)品 壽命分析 加速壽命試驗(yàn) 貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

    1 緒論

    隨著汽車電氣化乃至智能化的發(fā)展,汽車電子器件在車身各關(guān)鍵設(shè)備上的應(yīng)用日漸廣泛[1]。汽車電子器件的工作狀態(tài)、功能、壽命與汽車的正常行駛息息相關(guān),若出現(xiàn)問題,輕則造成財(cái)產(chǎn)損失,重則造成人員傷亡。因此,對(duì)汽車電子器件進(jìn)行壽命分析,具有重大的實(shí)際意義。

    1.1 加速壽命試驗(yàn)與加速模型

    為了快速地暴露產(chǎn)品的薄弱環(huán)節(jié),在較高應(yīng)力下以更短的試驗(yàn)時(shí)間推斷正常應(yīng)力下的壽命特征,常采取加速壽命試驗(yàn)(Life Accelerated Testing,ALT)。即在失效機(jī)理不變的基礎(chǔ)上,通過加速模型,利用加速應(yīng)力水平下的壽命特征去外推評(píng)估正常應(yīng)力水平下的壽命特征的試驗(yàn)技術(shù)。加速壽命試驗(yàn)方法因其可縮短試驗(yàn)時(shí)間、提高試驗(yàn)效率、降低試驗(yàn)成本等優(yōu)勢(shì)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各類工程實(shí)際問題之中[2]。

    為了能夠利用ALT中搜集到的產(chǎn)品壽命信息外推產(chǎn)品在正常應(yīng)力條件下的壽命特征,必須建立產(chǎn)品壽命特征與加速應(yīng)力水平之間的關(guān)系,即加速模型。常用的加速模型分為物理模型和統(tǒng)計(jì)模型,具體有阿倫尼斯模型、艾琳模型、廣義艾琳模型、沖蝕磨損模型、逆冪律模型、Coffin-Manson模型、Norris-Landzberg模型等[3]。

    ALT的統(tǒng)計(jì)分析是通過估計(jì)壽命分布函數(shù)的參數(shù)和確定加速模型的參數(shù),從而外推評(píng)估正常應(yīng)力水平S0下的壽命特征。

    1.2 貝葉斯理論

    在工程和實(shí)際試驗(yàn)中,對(duì)于待估計(jì)參數(shù)常常會(huì)有一定的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)和信息,為了利用好這一部分信息,同時(shí)通過新的數(shù)據(jù)對(duì)已有信息進(jìn)行更新,則常用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法[4]進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

    p(θ|y)稱為后驗(yàn)密度函數(shù);p(θ)稱為先驗(yàn)密度函數(shù);m(y)是數(shù)據(jù)的邊沿密度函數(shù);f(y|θ)是數(shù)據(jù)的抽樣密度函數(shù)。

    由于汽車為批量生產(chǎn)的產(chǎn)品,因此其電子器件也具有相當(dāng)多的歷史信息,故采用基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)ALT分析,能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估汽車電子器件壽命,并對(duì)產(chǎn)品已有信息進(jìn)行更新。

    2 基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)的ALT分析方法

    2.1 基本假設(shè)

    以對(duì)數(shù)正態(tài)分布場(chǎng)合下的步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)(Step-Stress Accelerated Life Testing, SSALT)為例,試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是在以下四個(gè)假定下進(jìn)行的[2]。

    假設(shè)1:在正常應(yīng)力水平S0和k個(gè)加速應(yīng)力水平S1

    式中,?為對(duì)數(shù)均值,σ2為對(duì)數(shù)方差。

    其分布函數(shù)為

    假設(shè)2:產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平S1

    假設(shè)3:產(chǎn)品的某壽命特征ξ與施加的應(yīng)力水平Si有如下的對(duì)數(shù)線性關(guān)系

    在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中我們用中位壽命e?來表征壽命特征,所以常用的加速模型例如阿倫尼斯模型、逆冪律模型、指數(shù)率模型的加速模型表達(dá)式為

    假設(shè)4:產(chǎn)品的殘余壽命僅依賴于已累積失效的部分和當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平,而與累積方式無關(guān)(Nelson累積失效假定)。

    2.2 假設(shè)檢驗(yàn)

    假設(shè)檢驗(yàn)是指根據(jù)樣本提供的信息來推斷總體特性的某些假設(shè)是否成立,步驟如下:

    1.提出原假設(shè)H0:即需要檢驗(yàn)的假設(shè)內(nèi)容;

    2.引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量:根據(jù)H0的內(nèi)容選取合適的統(tǒng)計(jì)量;

    3.確定統(tǒng)計(jì)量的精確分布或漸近分布;

    4.根據(jù)觀測(cè)到的樣本值算出統(tǒng)計(jì)量的值;

    5.確定適當(dāng)?shù)娘@著性水平α;

    6.根據(jù)統(tǒng)計(jì)量分布,由顯著性水平確定臨界點(diǎn)P{統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值>Kα}=α

    現(xiàn)針對(duì)基本假設(shè)1和2做分布檢驗(yàn)和參數(shù)檢驗(yàn)。

    2.2.1 壽命分布的假設(shè)檢驗(yàn)

    分布檢驗(yàn)針對(duì)基本假設(shè)1,使用正態(tài)分布偏峰度檢驗(yàn)[2]進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布分布檢驗(yàn)。

    偏度描述分布密度函數(shù)的對(duì)稱程度,分布密度越對(duì)稱,偏度越??;峰度描述分布密度函數(shù)的陡峭程度,分布密度越陡峭,峰度越大。偏度和峰度分別定義為

    式中,?3為三階中心矩,?4為四階中心矩,σ2為方差。以正態(tài)分布為例,由于正態(tài)分布N(?,σ2)的偏度為0,峰度為3,因此可以通過樣本偏度和峰度是否接近0和3來判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布,具體判斷方法如下:

    1)偏度檢驗(yàn)

    檢驗(yàn)原假設(shè)H0:Cs=0,即原假設(shè)認(rèn)為分布密度函數(shù)是對(duì)稱的,若偏度Cs估計(jì)的絕對(duì)值超過它的1-α分位數(shù),則在顯著水平α下拒絕原假設(shè),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量|Cs|的1-α分位數(shù)可查表[5]得到,偏度檢驗(yàn)適用于樣本量n≥8。

    2)峰度檢驗(yàn)

    3)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:Ce=3,即原假設(shè)認(rèn)為分布密度函數(shù)是對(duì)稱的,若Ce大于3,則說明峰度過度,這時(shí)備擇假設(shè)H1:Ce>3,若Ce小于3,則說明峰度不足,這時(shí)備擇假設(shè)H1:Ce<3,峰度檢驗(yàn)適用于樣本量n≥8。其中統(tǒng)計(jì)量Ce的臨界值可查[5]得到。

    2.2.2 形狀參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)

    形狀參數(shù)檢驗(yàn)?zāi)康氖谴_認(rèn)加速應(yīng)力是否改變了產(chǎn)品的失效機(jī)理,該檢驗(yàn)針對(duì)基本假設(shè)2。

    對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布,可以把形狀參數(shù)的檢驗(yàn)問題轉(zhuǎn)化成方差一致性的檢驗(yàn)問題[6]。對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)

    根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)用最好線性無偏估計(jì)(BLUE)計(jì)算σi的估計(jì)值。構(gòu)造巴特利特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,即

    式中,lri,ni為的方差系數(shù)。則在H0成立下,B2/C近似的服從自由度為K-1的χ2分布,給定顯著性水平?,若,拒絕H0;否則接受H0。

    2.3 特征數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

    2.3.1 數(shù)據(jù)折算

    在應(yīng)力水平Si下,產(chǎn)品工作ti時(shí)間內(nèi)累積失效的概率Fi(ti)相當(dāng)于此種產(chǎn)品在Sj下工作tj時(shí)間內(nèi)累積失效的概率Fj(tj)[2]。由假設(shè)2,可得在應(yīng)力水平Si下的工作時(shí)間τi折算到應(yīng)力水平Sj下的折算時(shí)間τij為

    記a1=0,。則產(chǎn)品在Si下的真實(shí)壽命數(shù)據(jù)為

    其中b為假設(shè)3中加速方程:中的待估參數(shù);φ(Si)為已知函數(shù),記為φi。即在每一個(gè)應(yīng)力水平Si下,ri個(gè)失效產(chǎn)品的折算壽命為

    式中:;,除外,它們都是b的函數(shù)。

    2.3.2 貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

    聯(lián)立壽命分布和加速模型:

    得下式:

    可知,待估參數(shù)為a、b、σ。

    1)確定先驗(yàn)分布

    進(jìn)行貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的第一步是為待估參數(shù)確定先驗(yàn)分布。根據(jù)待估參數(shù)的先驗(yàn)信息的多少,可分為無信息先驗(yàn)分布和有信息先驗(yàn)分布。

    a)無信息先驗(yàn)分布

    若試驗(yàn)前有關(guān)待估參數(shù)a、b、σ的信息相對(duì)較少,可以假設(shè)其先驗(yàn)分布為均勻分布,例如:a~U[x1, y1],b~U[x2, y2],σ~U[x3,y3];xi,yi的取值可由現(xiàn)有信息、經(jīng)驗(yàn)決定。確定無信息先驗(yàn)分布的方法還有Jeffrey法則[7]等。

    b)有信息先驗(yàn)分布

    若試驗(yàn)前有比較充足的關(guān)于待估參數(shù)的先驗(yàn)信息時(shí),可根據(jù)先驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布。常見的先驗(yàn)信息主要來源于:物理/化學(xué)理論、仿真分析、工程試驗(yàn)和質(zhì)量控制測(cè)試結(jié)果、一些通用的可靠性數(shù)據(jù)、相似產(chǎn)品信息以及專家經(jīng)驗(yàn)。

    確定有信息先驗(yàn)分布的方法[8]主要有:直方圖法、選定先驗(yàn)密度分布函數(shù)形式再估計(jì)其超參數(shù)、變分讀法與定分度法以及多層先驗(yàn)等。

    2)觀測(cè)數(shù)據(jù)先驗(yàn)分布的更新

    先驗(yàn)分布p(θ)代表了試驗(yàn)前對(duì)待估參數(shù)的初始估計(jì)。在得到數(shù)據(jù)后,可以利用“新的信息”對(duì)先驗(yàn)分布進(jìn)行更新,得到后驗(yàn)分布。根據(jù)貝葉斯定理,后驗(yàn)分布是由似然函數(shù)和先驗(yàn)分布相乘得到的。

    后驗(yàn)分布似然函數(shù)×先驗(yàn)分布

    在本文中,似然函數(shù)即

    具體計(jì)算是由馬爾科夫鏈蒙特卡羅(MCMC)算法得出[9]:通過模擬的方法直接從后驗(yàn)分布中生成參數(shù)向量的仿真樣本,基于樣本進(jìn)行后續(xù)統(tǒng)計(jì)推斷。

    在本文算例中,具體計(jì)算通過WinBUGS軟件實(shí)現(xiàn)。在WinBUGS中輸入三個(gè)參數(shù)的先驗(yàn)分布、似然函數(shù),以及試驗(yàn)失效數(shù)據(jù),運(yùn)行后能夠給出參數(shù)的仿真樣本,即一系列服從對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)分布的a、b、σ的值。

    3)分位壽命的計(jì)算

    第三步則是通過估計(jì)參數(shù)計(jì)算出分位壽命tp=f(a,b,p),可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。

    a)點(diǎn)估計(jì)

    主要有三種方法:一是極大后驗(yàn)密度估計(jì)(maximum a posteriori estimate, MAP),即后驗(yàn)密度函數(shù)取極大值處相應(yīng)的待估參數(shù)值;二是取參數(shù)的后驗(yàn)均值;三是取參數(shù)的后驗(yàn)中位數(shù)。通過點(diǎn)估計(jì)得到a,b的值后,即可計(jì)算出分位壽命tp。

    b)區(qū)間估計(jì)

    區(qū)間估計(jì)時(shí)可以通過a, b的樣本值,兩兩配對(duì)各算出一個(gè)分位壽命——tp=f(a,b,p);然后對(duì)其取置信區(qū)間即可(例如,取置信度為α的置信區(qū)間,則除去tp取值中前α/2和后α/2的取值,所得的[tpmin, tpmax]即為置信區(qū)間)。

    3 案例分析

    本文借鑒文獻(xiàn)[10]中的案例和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行貝葉斯對(duì)數(shù)正態(tài)步進(jìn)ALT統(tǒng)計(jì)分析。

    試驗(yàn)對(duì)象采用汽車電子器件——有機(jī)發(fā)光二極管(Organic Light-Emitting Diode, OLED)。對(duì)于OLED,影響其壽命的主要因素是電流,因而選擇電流為加速應(yīng)力進(jìn)行分析。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)要求,在對(duì)OLED電子產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)階段,施加的應(yīng)力,即電流,應(yīng)該介于最大應(yīng)力和最小應(yīng)力中,且最大應(yīng)力不應(yīng)該超過極限應(yīng)力,并且所施加的應(yīng)力水平由目前的制造技術(shù)可以達(dá)到??紤]到試驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)與成本,采用SSALT。此外,隨著電流的增大,不能夠?qū)LED電子產(chǎn)品引發(fā)新的失效機(jī)理。OLED電子產(chǎn)品的失效判據(jù)為:當(dāng)OLED的亮度降低到原亮度的50%以下時(shí),認(rèn)為這個(gè)樣本失效,并記錄相應(yīng)的失效時(shí)間。

    3.1 基本假設(shè)

    進(jìn)行SSALT試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析的基本假設(shè)同2.1節(jié)。其中,在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中用中位壽命來表征壽命特征,本文中的應(yīng)力為電流,所以選擇逆冪律模型作為加速模型:

    3.2 數(shù)據(jù)折算處理

    1.原始數(shù)據(jù)

    試驗(yàn)中一共投入了32個(gè)樣本進(jìn)行試驗(yàn),假定正常的工作條件中,應(yīng)力I0=3.20mA。在SSALT中選擇了四個(gè)應(yīng)力水平,分別為:I1=9.64mA,I2=12.36mA,I3=17.09mA,I4=22.58mA,在每個(gè)應(yīng)力水平下收集八個(gè)失效數(shù)據(jù),示意圖如圖1,試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如表1。

    對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行折算:

    其中,τji為加速因子,且,β=-1.8154,,,。將所有的數(shù)據(jù)折算到應(yīng)力為I1的水平。

    3.3 基于貝葉斯的SSALT統(tǒng)計(jì)分析

    將壽命分布的模型、先驗(yàn)信息以及折算數(shù)據(jù)導(dǎo)入到winbugs中進(jìn)行求解,求解的結(jié)果如圖2所示。

    通過winbugs的求解,得到參數(shù)a和b的貝葉斯估計(jì),即后驗(yàn)樣本值,代入到壽命分布函數(shù)中即可計(jì)算在正常應(yīng)力下的各種壽命指標(biāo)的估計(jì)。

    顯然,0.5分位壽命是參數(shù)a和b的函數(shù),即t0.5=(a,b);每一組a,b可以計(jì)算一個(gè)p=0.5的分位壽命,取均值,得到0.5分位壽命t0.5=24100h。

    先對(duì)參數(shù)a和b進(jìn)行點(diǎn)估計(jì),常用的方法有眾數(shù)/平均數(shù)和中位數(shù)。

    眾數(shù):求得a和b的眾數(shù),帶入到壽命分布中,得到相關(guān)的分位壽命,t0.5=20647h,這個(gè)結(jié)果和分位壽命均值的結(jié)果有所差異,通過分析a和b的概率密度函數(shù)(如圖3)可知原因?yàn)椋簠?shù)a和b通過數(shù)據(jù)的迭代會(huì)逐漸向著最終的分布形式過渡,但是由于目前的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少,概率密度函數(shù)都還具有均勻分布和正態(tài)分布的特點(diǎn),因而處于過渡階段。

    平均數(shù):求得a和b的平均數(shù),帶入到壽命分布中,得到相關(guān)的分位壽命t0.5=16400h;

    中位數(shù):求得a和b的中位數(shù),帶入到壽命分布中,得到相關(guān)的分位壽命t0.5=16200h;

    0.5分位點(diǎn)壽命的置信區(qū)間:對(duì)于winbugs生成的參數(shù)a和b的后驗(yàn)樣本,帶入壽命分布函數(shù)中求解一組0.5分位點(diǎn)的壽命值t0.5,對(duì)這些t0.5進(jìn)行分布擬合,可以得到如圖4的概率密度函數(shù)。

    相應(yīng)地,根據(jù)置信區(qū)間的計(jì)算方法,可以得到置信度為0.9的t0.5的置信區(qū)間為[3639.1041, 76083.1355]。

    4 總結(jié)

    本文針對(duì)汽車電子器件,介紹了基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)數(shù)正態(tài)步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法。利用已有歷史數(shù)據(jù)的信息,同時(shí)通過新的數(shù)據(jù)對(duì)已有信息進(jìn)行更新;結(jié)合加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法,對(duì)服從對(duì)數(shù)正態(tài)的汽車電子器件壽命進(jìn)行了點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)。通過案例應(yīng)用,驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。同時(shí),基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)數(shù)正態(tài)步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法也可以進(jìn)一步推廣應(yīng)用于各類加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析中,對(duì)工程應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

    項(xiàng)目資助:

    湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào)21C1659

    湖南省自然基金科教聯(lián)合項(xiàng)目,項(xiàng)目編號(hào)2022JJ60113。

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