基于尺度變換的時(shí)間尺度及尺度估計(jì)實(shí)現(xiàn)方法?

張 亮 陳 輝 李檳檳 周必雷 陳 浩

（1.空軍預(yù)警學(xué)院預(yù)警技術(shù)系 武漢 430019）（2.中國(guó)人民解放軍94326部隊(duì) 濟(jì)南 250000）

1 引言

尺度變換（Scale Transform，ST）是一種特殊的梅林變換［1］（Mellin Transform，MT），相比傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T）理論研究及在眾多領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，ST的研究應(yīng)用相對(duì)不足［2］。嚴(yán)格意義上，ST 是MT 復(fù)變量實(shí)部取0.5 時(shí)的特殊情況，其重要的性質(zhì)為尺度不變性（Scale-invariant），即原始信號(hào)與尺度信號(hào)ST 包絡(luò)相同、相位不同，而FT 不具備該特性，實(shí)際上FT 為時(shí)移不變（Shift-invariant）。文獻(xiàn)［1］最早通過(guò)分析尺度算子特征值、特征函數(shù)得到ST 表示式，以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步提出尺度卷積、尺度相關(guān)、平均尺度與帶寬、尺度能量密度、短時(shí)尺度變換、瞬時(shí)尺度、尺度不確定理論、聯(lián)合尺度表示等概念，從理論上構(gòu)成了完善的尺度分布。圍繞ST 數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，文獻(xiàn)［3］提出一種高效的快速尺度變換（Fast Scale Transform，F(xiàn)ST）計(jì)算方法，通過(guò)對(duì)原始信號(hào)插值重采樣，可利用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）實(shí)現(xiàn)，該方法能夠確保ST 執(zhí)行效率，但在處理指數(shù)采樣方法及對(duì)待零點(diǎn)的問(wèn)題上不盡完善，影響了計(jì)算精度。相同思路，文獻(xiàn)［4］對(duì)文獻(xiàn)［3］所提方法進(jìn)行了深入改進(jìn)，并將FST 計(jì)算復(fù)雜度控制在可接受范圍內(nèi)。針對(duì)上述方法需要對(duì)原始信號(hào)重采樣問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］提出一種離散尺度變換（Discrete Scale Transform，DST）計(jì)算方法，并拓展至二維尺度變換（Two-dimensional Scale Transform，2D-ST），但該方法計(jì)算復(fù)雜度較高?，F(xiàn)有ST 應(yīng)用研究主要集中于圖像處理［6］、語(yǔ)音信號(hào)識(shí)別［7］、尺度濾波［8］、尺度不變系統(tǒng)設(shè)計(jì)［9］、超聲波溫度補(bǔ)償［10］等領(lǐng)域，另外，ST在計(jì)算寬帶雷達(dá)模糊函數(shù)、速度估計(jì)克拉美羅界及信號(hào)時(shí)頻分布方面還存在明顯優(yōu)勢(shì)。結(jié)合ST 的尺度不變性、FT 時(shí)移不變特性，文獻(xiàn)［11～12］進(jìn)一步提出傅里葉梅林變換、分?jǐn)?shù)階梅林變換等衍生形式。相比國(guó)外對(duì)ST 理論及應(yīng)用的深入研究，國(guó)內(nèi)研究更側(cè)重于工具的應(yīng)用［13］，如尺度不變特征提取、圖像加密等。

本文首先對(duì)尺度變換及快速算法進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹；其次，引入時(shí)間尺度（Time-scaling，TS）、尺度估計(jì)（Scale-estimation，SE）概念；然后，針對(duì)一維、二維信號(hào)TS、SE 實(shí)現(xiàn)方法問(wèn)題，利用快速尺度變換給出了問(wèn)題解決方案；最后，基于數(shù)字圖像、人為構(gòu)造二維線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulation，LFM）信號(hào)，對(duì)所提方法可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 尺度變換及快速算法

2.1 尺度變換

尺度變換（ST）屬于一種特殊的梅林變換［1］，表示式為

式中：S{·} 為ST 表示符號(hào)，t為時(shí)間，c為尺度，Df(c)為信號(hào)f(t)的ST，γ(c,t)為ST 特征函數(shù)，具體為相位求導(dǎo)易得其瞬時(shí)頻率為c/t。γ( )c,t滿足完備性和正交性，即：

式（1）可知，ST 可理解為信號(hào)f(t) 在一組不同尺度基函數(shù)γ*(c),t下的表示系數(shù)。式（2）帶入式（1），得到ST簡(jiǎn)化形式為

ST 是一種可逆變換，逆尺度變換（Inverse Scale Transform，IST）為

式中：S-1{·} 為IST表示符號(hào)，簡(jiǎn)化形式為

將ST 拓展至二維，得到信號(hào)f(t1,t2)的二維尺度變換（Two-dimensional Scale Transform，2D-ST）為

式中：Df(c1,c2)為信號(hào)f(t1,t2)的2D-ST，γ(c1,t1,c2,t2)為2D-ST特征函數(shù)，c1、c2為二維尺度，t1、t2為二維時(shí)間。二維尺度逆變換（Two-dimensional Inverse Scale Transform，2D-IST）表示式為

2.2 快速算法

令t=eu，帶入式（5），得到：

IST 可利用快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）實(shí)現(xiàn)，得到快速逆尺度變換（Inverse Fast Scale Transform，IFST），數(shù)值計(jì)算過(guò)程與FST 相反，先計(jì)算Df(c)的IFFT，再進(jìn)行對(duì)數(shù)采樣。同理，將式（8）、（9）分別表示為

2D-ST、2D-IST同樣可利用二維快速傅里葉變換（2D-FFT）和二維快速傅里葉逆變換（2D-IFFT）快速實(shí)現(xiàn)，得到二維快速尺度變換（2D-FST）和二維快速尺度逆變換（2D-IFST），計(jì)算思路與FST、IFST一致，不做詳述。

3 時(shí)間尺度與尺度估計(jì)

3.1 時(shí)間尺度

所謂時(shí)間尺度（TS），即信號(hào)x(t)到y(tǒng)(t)的映射過(guò)程，可表示為

式中：TSα[]· 為一維TS 表示符號(hào)，α?R+為尺度因子，是為保持TS前后信號(hào)能量相同，即：

式（14）可知，對(duì)信號(hào)進(jìn)行TS 會(huì)導(dǎo)致時(shí)域擴(kuò)張（0<α<1）或收縮（0<α<1），根據(jù)傅里葉變換尺度特性可知：

式中：X(f)、Y(f)分別為x(t)、y(t)的傅里葉變換。可以看出，對(duì)信號(hào)進(jìn)行TS 還會(huì)導(dǎo)致頻譜收縮（0<α<1）或擴(kuò)展（0<α<1）。將TS 概念拓展至二維，得到二維信號(hào)TS表示式為

式中：x(t1,t2)為TS前信號(hào)，y(t1,t2)為TS后信號(hào)，α1、α2為二維尺度因子，α1?R+、α2?R+，TSα1,α2[·]為二維TS表示符號(hào)。x(t1,t2)、y(t1,t2)同樣滿足：

易知：

式中：X(f1,f2)、Y(f1,f2)分別為x(t1,t2)、y(t1,t2)的二維傅里葉變換，f1、f2為二維頻率。對(duì)二維信號(hào)進(jìn)行TS 還會(huì)導(dǎo)致信號(hào)在不同維度上的時(shí)頻擴(kuò)張或收縮。理論上，TS 概念可推廣至更高維度，基本思路相同，不做詳述。

3.2 尺度估計(jì)

所謂尺度估計(jì)（SE），即x(t)、y(t)均已知時(shí)對(duì)尺度因子的估計(jì)。為估計(jì)尺度因子，需計(jì)算y(t)與x(t)的尺度互相關(guān)函數(shù)：

式中：?為尺度互相關(guān)符號(hào)，*為共軛轉(zhuǎn)置。Φyx(α)最大值對(duì)應(yīng)的尺度因子即為尺度因子估計(jì)，可表示為

式中：為尺度因子估計(jì)值。式（20）～（21）可理解為以x(t)為模板信號(hào)，對(duì)y(t)尺度因子的搜索過(guò)程。同樣，將SE概念拓展至二維，二維信號(hào)y(t1,t2)與x(t1,t2)的尺度互相關(guān)函數(shù)為

Φxy(α1,α2)最大值對(duì)應(yīng)的尺度因子即為二維尺度因子估計(jì)，可表示為

式中：、為二維尺度因子估計(jì)值。SE 概念同樣可推廣至高維，不做詳述。

3.3 實(shí)現(xiàn)方法

對(duì)連續(xù)信號(hào)TS，最為直接方法是對(duì)原始信號(hào)插值抽取，例如尺度因子為0.5，信號(hào)長(zhǎng)度會(huì)增加1倍，可通過(guò)2 倍插值實(shí)現(xiàn)，當(dāng)尺度因子取0.51 時(shí)，則需要進(jìn)行100 倍的插值，再進(jìn)行51 倍的抽取，這種方法顯然不可接受。為解決一維信號(hào)TS 快速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，引用ST 尺度不變性［2］。設(shè)信號(hào)y(t)=TSα[x(t)]，則：

式中：Dx(c)、Dy(c)分別為x(t)、y(t)的ST。當(dāng)x(t)、α已知時(shí)，y(t)可表示為：

利用上式可得x(t)的時(shí)間尺度y(t)。為估計(jì)尺度因子需計(jì)算y(t)與x(t)的尺度互相關(guān)函數(shù)Φyx(α)，Φyx(α)同樣可以利用ST實(shí)現(xiàn)［11］，即：

對(duì)于二維信號(hào)，設(shè)y(t1,t2)=TSα1,α2[x(t1,t2)]，容易得到：

利用式（27）即可得到二維信號(hào)x(t1,t2)的時(shí)間尺度y(t1,t2)，同理，y(t1,t2)與x(t1,t2)尺度互相關(guān)函數(shù)可進(jìn)一步表示為

結(jié)合式（23）可得y(t1,t2)二維尺度估計(jì)。

4 仿真與結(jié)果分析

4.1 時(shí)間尺度實(shí)現(xiàn)方法可行性

本節(jié)對(duì)基于尺度變換的二維TS 實(shí)現(xiàn)方法可行性進(jìn)行驗(yàn)證，使用的二維信號(hào)為艦船圖像，原始圖像及二維快速尺度變換結(jié)果如圖1 所示。設(shè)尺度因子分別為0.8、1.5，根據(jù)3.3 節(jié)方法對(duì)原始圖像進(jìn)行TS，結(jié)果如圖2 所示，利用尺度變換可實(shí)現(xiàn)二維TS，其快速算法確保了執(zhí)行效率。

圖2 時(shí)間尺度處理結(jié)果

4.2 尺度估計(jì)實(shí)現(xiàn)方法可行性

本節(jié)對(duì)基于尺度變換的二維SE 實(shí)現(xiàn)方法可行性進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)模板信號(hào)為二維LFM 信號(hào)，時(shí)寬分別為25μs、20μs，帶寬均為5MHz，采樣頻率20MHz，待估計(jì)尺度因子分別為1.5 和0.8，模板信號(hào)與待估計(jì)尺度信號(hào)如圖3 所示，計(jì)算兩者二維尺度互相關(guān)函數(shù)，結(jié)果如圖4 所示，最大峰值對(duì)應(yīng)尺度因子分別為1.5和0.8，與真實(shí)尺度因子一致。

圖3 二維線性調(diào)頻信號(hào)

圖4 二維尺度因子估計(jì)結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)尺度變換及快速算法進(jìn)行了介紹，同時(shí)針對(duì)一維及二維信號(hào)時(shí)間尺度、尺度估計(jì)實(shí)現(xiàn)方法問(wèn)題，利用快速尺度變換給出了問(wèn)題解決方案。仿真部分利用數(shù)字圖像、人為構(gòu)造信號(hào)對(duì)基于尺度變換的時(shí)間尺度、尺度估計(jì)實(shí)現(xiàn)方法可行性進(jìn)行驗(yàn)證。尺度變換是鏈接時(shí)間與尺度的紐帶，對(duì)時(shí)間尺度、尺度估計(jì)實(shí)現(xiàn)方法的應(yīng)用及尺度變換快速算法的改進(jìn)是下步工作的重點(diǎn)。