挖掘向量數(shù)量積問題的破解策略

許 芳

(安徽省宣城市宣城中學(xué))

數(shù)量積是平面向量重要的運算關(guān)系,在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.例如,利用兩個向量的數(shù)量積運算可以推導(dǎo)兩角和、差的三角公式,證明余弦定理,也可用于判斷兩條直線的位置關(guān)系以及求它們的夾角等.向量數(shù)量積的求解方法多種多樣,本文介紹幾種常用的方法,供同學(xué)們參考.

1 定義法

向量數(shù)量積的定義:a?b＝|a|?|b|cos?a,b?,其中?a,b?為向量a,b的夾角,范圍是[0,π].定義法是求向量數(shù)量積最基本的方法.兩個向量的夾角是兩個向量共起點時所夾的角,在解答本題時,易將角B視為,,從而造成錯解.

2 坐標(biāo)法

運用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積需結(jié)合題目條件建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,表示出相應(yīng)的向量,再利用向量的坐標(biāo)運算求解,即

A.(0,8] B.[0,8)

C.(0,4] D.[0,4)

取正方形ABCD的邊AB的中點為坐標(biāo)原點建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(－1,0),B(1,0),C(1,2),D(－1,2).

圖1

圖2

本題中的點P為動點,若直接利用向量的幾何運算處理,較為煩瑣,故考慮通過建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解.

3 特殊化法

在以平面幾何為背景的向量數(shù)量積問題中,若題目條件中沒有指明幾何圖形的具體形狀,且所求的向量數(shù)量積為定值,則可將幾何圖形特殊化,從而利用特殊圖形的性質(zhì)簡潔解題.

例3 若圓M為△ABC的外接圓,AB＝4,AC＝6,N為邊BC的中點,則＝( ).

A.5 B.10 C.13 D.26

4 基底法

將平面內(nèi)一組不共線的向量視為基底,可以用其表示平面內(nèi)任意一個向量.在求解兩個向量的數(shù)量積時,若這兩個向量的模或夾角均不易求解時,可考慮用已知向量或特殊向量作為基底來表示未知向量,從而將未知化為已知.

例4 已知等邊△ABC的邊長為2,D為邊BC的中點,點M是AC邊上的動點,則的最大值為_______,最小值為______.

又D為BC的中點,所以

故

則

本題中的點D為動點,因此向量的模與夾角均不確定,直接求解較為困難,因此可采用基底法將其轉(zhuǎn)化為已知向量或特殊向量的運算來完成,由于三角形的三邊及夾角均已知,故可將其(或與其相關(guān)的向量)作為基底來表示未知向量.

5 投影法

將a?b＝|a|?|b|cos?a,b?中的|b|cos?a,b?視為一個整體,其意義為向量b在向量a上的投影.也可將|a|cos?a,b?視為一個整體,即a在b上的投影.因此兩個向量的數(shù)量積可以視為一個向量的模與另一個向量在該向量上投影的乘積.

易知a?e＝|a|?|e|cos?a,e?＝|a|?cos?a,e?,|a|?cos?a,e?為向量a在向量上e的投影.

當(dāng)a?e≤1時,向量a在向量上e的投影為1,如圖3所示,此時|a|可以趨近于正無窮.

圖3

圖4

本題所給條件為兩個向量數(shù)量積的取值范圍,且夾角不確定,故可利用投影法處理.向量的投影為實數(shù),既可以是正值,也可以是負(fù)值,還可以是0,其正負(fù)情況與cos?a,b?相同.

綜上,對于一道向量數(shù)量積問題,我們可以從多個角度入手,運用多種方法解答,但解題時不能隨意選擇一種方法,需要仔細(xì)審視、挖掘題目條件信息,選擇較為簡單的方法.

(完)