聚焦平面向量中的最值與取值范圍問題

蔡杰芳

(云南省昆明市石林彝族自治縣第一中學(xué))

最值與范圍問題是高考數(shù)學(xué)考試命題的熱點(diǎn),它們的“身影”在數(shù)學(xué)題中隨處可見,在平面向量問題中也時(shí)常出現(xiàn).雖然說這類問題有點(diǎn)難,但還是有法可循的,那么如何破解平面向量中的最值與取值范圍問題呢? 下文舉例說明.

1 定義法讓最值問題“不攻自破”

解題關(guān)鍵是能根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式將向量夾角的余弦值表示成關(guān)于的函數(shù)形式,進(jìn)而可利用基本不等式求解函數(shù)的最小值,從而得到夾角的最大值.

2 坐標(biāo)法讓最值問題“自然生成”

例2 已知正六邊形ABCDEF的邊長為2,P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點(diǎn),則的最大值為( ).

A.13 B.12 C.8 D.2 3

圖1

本題的幾何圖形具有對(duì)稱性,便于建立平面直角坐標(biāo)系求解,于是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

3 基底法讓最值問題“無處遁行”

4 幾何意義法讓取值范圍問題“浮出水面”

例4 已知平面向量a,b,e,其中e為單位向量,若,則|a－b|的取值范圍是______.

圖2

求解本題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡,再結(jié)合解析幾何的知識(shí)求出向量模的取值范圍.

本文對(duì)平面向量中最值與取值范圍問題的求解方法進(jìn)行了總結(jié),但遇到具體問題時(shí)不可簡單地“對(duì)號(hào)入座”,有些問題的解決可能涉及多種方法,比如例4也用到了坐標(biāo)法.

(完)