三角函數(shù)最值問題的求解策略

孫 婷

(山東省棗莊市第三中學)

三角函數(shù)的最值是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一,也是高考命題的熱點.隨著新課標理念的不斷深入,相關(guān)試題也在發(fā)生變化,但萬變不離其宗,只要熟練掌握解題方法,我們定能“馳騁”考場.

1 利用合一變換求最值

所謂合一變換,就是利用三角恒等變換公式將題目給出的表達式變形成y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0),然后再求該函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.這種題型是高考關(guān)于三角函數(shù)最值的主要題型,重點考查三角函數(shù)恒等變換的技巧和三角函數(shù)的性質(zhì).

本題考查二倍角公式和輔助角公式的應用,利用合一變換將函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)的形式,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

2 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值

當給出的三角函數(shù)解析式中既含有sinx,又含有cosx,且它們的次數(shù)既有一次型,又有二次型時,我們一般采用換元法,結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間上的二次函數(shù)的值域問題.

例2 求函數(shù)f(θ)＝|sinθ－a|－cos2θ(a∈R)的最小值.

本例將三角函數(shù)的最值問題與含參二次函數(shù)的最值問題交會,考查考生的知識應用能力和分類討論思想,具有一定的難度.

3 利用導數(shù)工具求最值

當題目中出現(xiàn)的三角函數(shù)名不統(tǒng)一,次冪也不統(tǒng)一時,一般可考慮利用導數(shù)工具來求解.利用導數(shù)工具求三角函數(shù)最值問題難度不大,體現(xiàn)了三角函數(shù)命題的新方向.

例3 如圖1所示,有一景區(qū)的平面圖是一半圓形,其中直徑AB長為2km,C和D兩點在半圓弧上,滿足BC＝CD,設

圖1

(1)現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設一條觀光道路,由線段AB,BC,CD和DA組成,則當θ為何值時,觀光道路的總長l最長,并求l的最大值;

(2)若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花,其中在△AOD和△BOC內(nèi)種滿鮮花,在扇形COD內(nèi)種一半面積的鮮花,則當θ為何值時,鮮花種植面積S最大?

(1)如圖2 所示,取BC的中點M,AD的中點N,連接OM,ON,由垂徑定理可得OM⊥BC,ON⊥AD,又,所以

圖2

本例第(1)問采用了配方法求三角函數(shù)的最值;本例第(2)問采用導數(shù)法求三角函數(shù)的最值.利用導數(shù)法求最值常出現(xiàn)在最優(yōu)化問題中,實際上是考查三角函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,考查考生的數(shù)學建模素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng).

當然,求解三角函數(shù)最值問題有時會用到基本不等式或通過構(gòu)造幾何圖形來處理,但上述幾種方法比較常見,同學們應牢固掌握.

(完)