三角形面積公式的向量形式及其應用

張 平 冀文娟

(廣東省珠海市實驗中學)

三角形是最簡單的幾何圖形之一,以它為背景命制的考試題在各類考試中屢見不鮮,其中與三角形面積相關的考查更是重點.三角形面積公式的表示形式多樣,本文結合平面向量知識給出三角形面積公式的向量形式,并結合具體題目加以應用,以饗讀者.

1 三角形面積公式的向量形式及坐標表示

1.1 三角形面積公式的向量形式

已知△ABC,則

1.2 三角形面積公式向量形式的坐標表示

2 應用舉例

2.1 在解三角形中的應用

例1與例2是向量運算與三角形面積公式的簡單應用,例1利用向量與坐標兩種方法求解三角形的面積比,是公式的正向應用;例2則通過對已知條件的挖掘,找出三角形隱藏的面積關系,借助于坐標表示完成求解,屬于公式的逆向應用.

例3與例4均是解三角形中面積最值問題的基本類型,但由于已知條件的呈現(xiàn)方式具有一定的“非常規(guī)性”,學生解題時可能會出現(xiàn)思維受堵,甚至無從下手的情況.因此結合三角形面積公式的向量形式能很好地幫助學生尋找解題方向,啟迪學生思維.

2.2 在解析幾何中的應用

例8 (2019年全國Ⅱ卷理21)已知點A(－2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為,記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程并說明C是什么曲線.

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形;

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

(1)C的方程為(求解過程略).

(2)(ⅰ)證明過程略.

例9 (2021年全國乙卷理21)已知拋物線C:x2＝2py(p＞0)的焦點為F,且F與圓M:x2＋(y＋4)2＝1上點的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求△PAB面積的最大值.

(1)p＝2(求解過程略).

(2)拋物線C的方程為x2＝4y,即對該函數(shù)求導得

從例5～例9可以看出:三角形面積問題是解析幾何命題的熱點.從解題過程可以看出求解時先將面積表達式轉化為坐標運算,最后通過直線方程或根與系數(shù)的關系完成面積表示,避免了求弦長、距離等繁雜的運算,大大簡化了運算的過程.

求解面積的最值的方法很多,如基本不等式法、換元法、單調性法、導數(shù)法等.因此,學生在解題時要做到目標明確,有的放矢,因題而異,因題制宜,豐富解題途徑與策略,靈活選擇方法.

(完)