平面向量考點(diǎn)探析

趙 妍

(黑龍江省大慶市第二十三中學(xué))

在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中,平面向量不僅僅以數(shù)學(xué)知識(shí)的“身份”出現(xiàn),更是以解題方法的“角色”出現(xiàn)在各種問題的求解中.基于此,高考對(duì)向量的命題原則是“知識(shí)與方法并舉”,那么高考命題中對(duì)平面向量的考查主要涉及哪些考點(diǎn)呢? 讓我們一起來看看吧!

1 用向量證明垂直關(guān)系

向量是數(shù)與形的“結(jié)合體”.向量的“形”主要體現(xiàn)在它有方向.證明兩條直線垂直就是證明兩條直線所在的方向向量互相垂直,需要用到向量的數(shù)量積運(yùn)算.由于平面向量在高考中一般以小題的形式出現(xiàn),因此本考點(diǎn)常常以選擇題的形式出現(xiàn).

例1 (1)若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則△ABC的形狀為( ).

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等邊三角形

(2)若 平 面 四 邊 形ABCD滿 足,則該四邊形一定是( ).

A.平行四邊形 B.菱形

C.矩形 D.正方形

菱形,故選B.

這類問題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,將題中所給出向量進(jìn)行等價(jià)變形與運(yùn)算,得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0,從而判斷它們有垂直關(guān)系.

2 用向量求夾角

A.0° B.30° C.60° D.90°

圖1

圖2

因?yàn)锳是線段PE的中點(diǎn),PE長為2a,所以

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立如圖3 所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)BC＝3AB＝3,則點(diǎn)B(1,0),C(1,3),D(0,3),所以

圖3

本例第(1)問采用的是基底轉(zhuǎn)化法,其步驟是:1)選取基底;2)用基底表示相關(guān)向量;3)利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系;4)得出結(jié)果.本例第(2)問采用的是坐標(biāo)運(yùn)算法,其步驟是:1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;2)把相關(guān)向量坐標(biāo)化;3)通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系.

3 用向量解決線段長度問題

求平面幾何中的長度問題主要有兩種方法:一是根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底,對(duì)向量的數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再用公式|a|2＝a2求解;二是建立平面直角坐標(biāo)系,確定相應(yīng)向量的坐標(biāo),代入如下公式求解:若a＝(x,y),則

例3 已知E,F兩點(diǎn)分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的 中 點(diǎn),且AB＝3,CD＝2,∠ABC＝45°,∠BCD＝75°,則線段EF的長為_________.

如圖4所示,作AH//CD,交BC于點(diǎn)H,則∠BHA＝∠BCD＝75°,所以

圖4

則

所以

本題的題干沒有出現(xiàn)向量的有關(guān)信息,看似是一道純粹的平面幾何問題,但能應(yīng)用平面向量法求解,體現(xiàn)了平面向量應(yīng)用的廣泛性.

高考對(duì)平面向量的考查以與幾何問題結(jié)合為主,主要考查平面向量的基本運(yùn)算和應(yīng)用.因此,我們?cè)趶?fù)習(xí)平面向量相關(guān)內(nèi)容時(shí)不僅要抓基礎(chǔ)知識(shí),更要掌握平面向量的綜合應(yīng)用.

(完)