和差化積公式與積化和差公式的運用

杜海洋

(成都經濟技術開發(fā)區(qū)實驗中學校)

在2019年版的高中數學教材修訂中,重新增加了“積化和差”與“和差化積”公式.例如,在人教B 版必修第一冊第8.2.4節(jié)“三角恒等變換的運用”中,明確給出了上述公式.人教A 版必修第一冊第5.5.2節(jié)給出部分的推導過程,其后在練習給出證明.本文初步運用公式進行和、積互化,應用公式對三角函數的求值、化簡、證明進行探討.

1 公式的證明

證明 由sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ,可得

同理,利用cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ依次類推,可得

2 公式的運用

2.1 求值

例1 (1)求cos15°cos75°的值;

(2)求sin20°sin40°sin80°的值.

(1)由積化和差公式得

(2)由積化和差公式得

例2 (2019年普通高中教科書A 版數學必修第一冊220 頁練習第3 題第(6)小題) 求sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值.

方法1 由誘導公式和積化和差公式得

方法2 原式等價于

cos110°sin20°＋cos160°sin70°＝

2.2 化簡

例3 化簡:

cos2(x＋y)＋cos2(x－y)－cos2xcos2y.

對原式等價變形可得

例4 (2019年普通高中教科書A 版數學必修第一冊229頁第6題第(6)小題)化簡:

對原式等價變形可得

2.3 證明

例5 在△ABC中,求證:

證明 因為A＋B＋C＝180°,所以C＝180°－(A＋B),即

例6 (2019年普通高中教科書A 版數學必修第一冊255頁第16題第(3)小題)證明:

2.4 求最值

例7 在△ABC中,求sinAsinBsinC的最大值.

3 小結

以上公式的運用體現(xiàn)了教材中的例題或習題是編寫者精心設計的典范.為充分發(fā)揮教材中例題、習題的作用,學生平時在學習過程中要善于抓住題目的特征,對教材中的例題、習題進行適當的取舍、變式與拓展.這樣不僅能溝通知識間的內在聯(lián)系,使解題的思維活動始終處于一種由淺入深、由表及里的“動態(tài)”進程之中,還能充分調動學習的積極性與主動性,培養(yǎng)思維的靈活性與廣闊性,從而有效地提高解題效率.

(完)