關(guān)注三角形問題中一個(gè)不等關(guān)系的運(yùn)用

桑振宇

(安徽省阜陽市太和縣第八中學(xué))

三角形中的三邊不等關(guān)系就是“三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”,由于此知識(shí)點(diǎn)是初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容,所以學(xué)生在解三角形的問題中容易忽略,導(dǎo)致解題思路受阻.為避免此類情況的發(fā)生,本文通過典型例題的分析與點(diǎn)評(píng),展示三角形三邊的不等關(guān)系在解題中的應(yīng)用,供讀者參考.

1 直接運(yùn)用

在一些涉及三角形邊的取值范圍、邊的變化情況的最值問題中,需要關(guān)注“三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”的運(yùn)用.

例1 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足.若a＝4,試求b＋c的取值范圍.

在△ABC中,由正弦定理可得

在解題過程中,運(yùn)用余弦定理及基本不等式得到了b＋c≤8后,如果沒有考慮到三角形中三邊的不等關(guān)系,就會(huì)得到錯(cuò)誤的答案.

則

又由三角形中三邊的不等關(guān)系有

在解題中利用了“三角形中兩邊之和大于第三邊”這一知識(shí)點(diǎn)確定出邊長的取值范圍,這是確定函數(shù)最值問題的一個(gè)重要依據(jù),是解題的關(guān)鍵.

2 變形后使用

在一些關(guān)于三角形邊的不等式問題及其運(yùn)用中,我們要善于利用三角形中的三邊不等關(guān)系構(gòu)建滿足題意的不等式.

已知平面上的任意三點(diǎn),可以知道這三點(diǎn)要么在一條直線上,要么構(gòu)成一個(gè)三角形,于是就得到一個(gè)不等關(guān)系,然后將函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形,使之能夠利用基本不等式求最值.

例4 設(shè)a,b,c為任意三角形的三邊長,且滿足ab＋bc＋ca＝S2(S＞0),試確定三角形的周長a＋b＋c的取值范圍.

設(shè)a＋b＋c＝I,則

由于a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc,故三式相加得

所以I2≥3S2.由于a,b,c為三角形的三邊長,故a＜b＋c,b＜c＋a,c＜b＋a,于是

所以

即

從而I2＜4S2.

綜上,3S2≤I2＜4S2,故三角形的周長a＋b＋c的取值范圍是

通過分析題意,我們可以將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,揭露問題的實(shí)質(zhì),然后根據(jù)目標(biāo)解決問題,其中三角形三邊的不等關(guān)系是成功解題的關(guān)鍵.

3 構(gòu)建新結(jié)論再使用

在有關(guān)三角形問題的求解過程中,要適時(shí)地結(jié)合其他條件運(yùn)用三角形中的三邊不等關(guān)系進(jìn)行推理,得到對(duì)解題有用的重要結(jié)論,進(jìn)而求解問題.

例5 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若不等式kb2＋ac＞19bc對(duì)任意三角形都成立,求實(shí)數(shù)k的最小值.

在△ABC中,由于不等式kb2＋ac＞19bc對(duì)任意三角形都成立,則

而c＜a＋b,則,所以

在本解法中,通過利用三角形中三邊的不等關(guān)系構(gòu)造了一個(gè)新的不等關(guān)系,成功地達(dá)到了消元的目的,為最后順利求最值創(chuàng)造了有利條件.

由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)為三邊長的三角形,則必有f(x1)＋f(x2)＞f(x3),于是可將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.易知

根據(jù)基本不等式可知2x＋2－x≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí),等號(hào)成立),故當(dāng)k＞1 時(shí)

所以

且

本解法抓住三角形三邊所滿足的不等關(guān)系將原問題成功地轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

本文充分反映了三角形中三邊的不等關(guān)系在解題中的重要性,因此在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)我們應(yīng)關(guān)注這一隱性結(jié)論.

(完)