甄選正余弦定理 優(yōu)化解題方法

龍成芳

(貴州省天柱民族中學(xué))

正弦定理和余弦定理是解三角形的有力工具,也是高考的必考知識(shí)點(diǎn).針對(duì)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用進(jìn)行分析和總結(jié),可以將題型分為已知三角形的部分邊和角解三角形、給出三角形的邊角關(guān)系解三角形兩種類型.在解題過程中,有些題目只能使用正弦定理,有些只能使用余弦定理,還有一些可以同時(shí)使用正弦定理和余弦定理,也有些題目要先使用正弦定理后使用余弦定理,或者先使用余弦定理再使用正弦定理.解題關(guān)鍵在于恰當(dāng)選擇解題方法,不同的選擇會(huì)導(dǎo)致解題難度的不同,甚至可能無法得到準(zhǔn)確的結(jié)果.因此,本文通過具體分析,指出什么情況下應(yīng)使用正弦定理,什么情況下應(yīng)使用余弦定理,這將有助于學(xué)生在解決類似問題時(shí)選擇合適的方法.

1 已知三角形的部分邊和角

當(dāng)前的問題類型涉及正弦定理和余弦定理的直接應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)問題.這些問題可分為以下幾種情況:已知兩個(gè)角(或三個(gè)角)和一條邊、已知兩條邊和一個(gè)角、已知三條邊、多個(gè)三角形拼接等.接下來對(duì)每種情況進(jìn)行詳細(xì)分析.這種分類方式有助于解題者更好地理解問題,并根據(jù)給定信息選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法.

1.1 已知兩角一邊

例1 (2015年安徽卷文12)在△ABC中,AB＝,A＝75°,B＝45°,則AC＝.

因?yàn)锳＝75°,B＝45°,所以C＝60°,又AB＝,由正弦定理得,則AC＝2.

對(duì)于本題,已知三角形的兩個(gè)角和一條邊,選擇使用正弦定理來解決問題.盡管該題也可以使用余弦定理來進(jìn)行求解,但這種方法相對(duì)更復(fù)雜,需要聯(lián)立方程組并進(jìn)行較多的計(jì)算.因此,本類型題通過運(yùn)用正弦定理來求解,可以更簡(jiǎn)捷地得到正確答案.

1.2 已知兩邊一角

例2 (2021年全國甲卷文8)在△ABC中,已知

在△ABC中,因 為B＝120°,AC＝,AB＝2,所以由余弦定理得

即19＝22＋BC2＋2BC,即BC2＋2BC－15＝0,解得BC＝3,故選D.

根據(jù)題目已知條件,本題選擇采用余弦定理求解,但是在已知兩邊一角的題型中,要分成兩類,即一類是已知的角是其中已知一邊的對(duì)角,若要求第三邊,則直接用余弦定理,若要求角則先用正弦定理求出已知的另外一邊所對(duì)的角比較簡(jiǎn)單一些;另一類是已知兩邊及夾角,不管先求第三邊還是求角,這種情況先用余弦定理求出第三邊比較簡(jiǎn)單,在解題過程中應(yīng)注意識(shí)別題型.

1.3 已知三邊

對(duì)本題,已知三角形的三條邊,選擇直接使用余弦定理來解決問題.這種情況是典型的余弦定理應(yīng)用問題.通過使用余弦定理,我們可以計(jì)算出三角形的任意一個(gè)角.因此,在已知三角形的三條邊的情況下,直接使用余弦定理是最恰當(dāng)?shù)姆椒?

1.4 多個(gè)三角形拼接

多個(gè)三角形拼接問題可以看作前面提到的幾種情況的綜合應(yīng)用.解決這類問題的關(guān)鍵是要先識(shí)別各個(gè)部分三角形屬于以上三類中的哪一類,這是解題的突破口.通過對(duì)各個(gè)部分三角形進(jìn)行分類,可以應(yīng)用相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.

例4 如圖1 所示,在△ABC中,角A,B,C所 對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a＝3,c＝,B＝45°.在邊BC上取一點(diǎn)D,使得求tan∠DAC的值.

圖1

該題屬于多個(gè)三角形拼接的情況,解題的關(guān)鍵在于采用適當(dāng)?shù)慕忸}思路.首先,我們需要“兩明確”,即明確要求量所在的三角形,并確定在這個(gè)三角形中需要求解的是什么.其次,要明確哪個(gè)三角形是完全可以解的,即該三角形中已知的元素符合“兩角一邊”“兩邊一角”或“三邊”的情況.接下來,借助可解的三角形,求出需要求解量所需要的相關(guān)元素.最后,根據(jù)解三角形的方法,求出要求的量.

有的實(shí)際應(yīng)用問題也可以看作多個(gè)三角形的拼接問題,只是結(jié)合了一些具體的物理量或生活情境.通過數(shù)學(xué)建模將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,解題思路和方法與該類型題目相同.因此,解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵也是將問題進(jìn)行拆解,找出可解的三角形,并依據(jù)相應(yīng)的解題思路求解所需的量.

2 已知三角形的邊角關(guān)系情況

在高考中,解三角形的一種常考題型是已知三角形中的一個(gè)或多個(gè)邊角關(guān)系式,然后在已知的基礎(chǔ)上解該三角形.這類題型主要考查正弦定理和余弦定理,通過對(duì)這種題型進(jìn)行梳理總結(jié)發(fā)現(xiàn),三角形的邊角關(guān)系方程大致可以分為三類:一是已知三角形三條邊的齊次方程,如a2＋b2＝3ac,或者是關(guān)于角的正弦函數(shù)的齊次方程,如sinA＋2sinB＝5sinC;二是已知方程中有三角形角的余弦函數(shù),沒有三角形邊的齊次,如a＋b＝cosC;三是方程中既有邊的齊次式,又有角的余弦函數(shù),如a2＋b2＝accosB.下面結(jié)合實(shí)際題目,從可以用正弦定理、可以用余弦定理和既可以用正弦定理又可以用余弦定理三種情況進(jìn)行一一分析.

2.1 用正弦定理的情況

例5 (2023年全國乙卷文4)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosB－bcosA＝c,且,則B＝( ).

因?yàn)閍cosB－bcosA＝c,由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC,又 在△ABC中,因?yàn)镃＝π－A－B,所以

以上兩個(gè)例題,分別體現(xiàn)兩種可以先用正弦定理處理的情況.通過以上兩個(gè)例題發(fā)現(xiàn),這類問題也不是想象的那樣復(fù)雜,關(guān)鍵是看清楚已知:一是題目給出邊的齊次方程(但形如a2＋b2－c2＝nab(－2＜n＜2),a2＋c2－b2＝nac(－2＜n＜2)或b2＋c2－a2＝nbc(－2＜n＜2)的除外)可以先用正弦定理對(duì)等式進(jìn)行處理;二是題目給出角的正弦函數(shù)的齊次方程,則選擇先用正弦定理對(duì)方程進(jìn)行處理,一定要注意是“齊次”方程,否則不能用正弦定理.

2.2 用余弦定理的情況

已知方程中有邊但不齊次,且有角的余弦函數(shù),如a＋b＝cosC,除非告知三角形的外接圓半徑,要不然很明顯是不能先用正弦定理的,所以在對(duì)這類問題進(jìn)行處理時(shí),應(yīng)該先用余弦定理將角化為邊,再進(jìn)行運(yùn)算.當(dāng)然,還有一種必須弄清楚的是關(guān)系式也是邊的齊次方程,形如a2＋b2－c2＝nab(－2＜n＜2),a2＋c2－b2＝nac(－2＜n＜2),或b2＋c2－a2＝nbc(－2＜n＜2),以及以上三種的變形形式,很像余弦定理的形式,這種雖然是三角形的邊的齊次方程,但用余弦定理更直接.

例7、例8均是先用余弦定理,其實(shí)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn):例7是已知給出的等式不是三角形邊的齊次方程,也不是角的正弦函數(shù)的齊次方程,但是方程中含有三角形的角的余弦函數(shù);例8是給出三角形的邊的齊次,且均為二次方程,但是形如余弦定理形式,特別b2＋c2－a2是余弦定理的部分,可以先用余弦定理解決問題,故解題中先用余弦定理的兩種情況:一是題目出現(xiàn)三角形的角的余弦函數(shù)的方程;二是出現(xiàn)形如及變形形式的方程.

2.3 既可以用余弦定理,又可以用正弦定理的情況

根據(jù)前面情況綜合,既可以用余弦定理,又可以用正弦定理的題型是所給的三角形邊角關(guān)系等式中,既是邊的齊次方程又含角的余弦函數(shù),如c＋b＝acosC,則這種題可以先用正弦定理,也可以先用余弦定理.

例9 (2021年北京卷17,節(jié)選)已知在△ABC中,c＝2bcosB,,求B.

根據(jù)例9可知,既可以用正弦定理又可以用余弦定理求解的題型非常明確,即題目中給出的已知條件既有邊的齊次,又有角的余弦函數(shù)的方程或形如及變形形式時(shí),用正弦定理和余弦定理均可,只是選擇的方法不一樣,路徑就不一樣,難易程度也就不一樣.本人認(rèn)為能用正弦定理的情況,可以優(yōu)先考慮正弦定理,因?yàn)檎叶ɡ肀扔嘞叶ɡ碛?jì)算量小一些,可以減少計(jì)算導(dǎo)致的失誤.

本文主要針對(duì)正弦定理和余弦定理展開探索,對(duì)什么情況下用正弦定理、什么情況下用余弦定理進(jìn)行了具體的分析總結(jié).已知三角形三個(gè)元素解三角形,這種題型主要分四種情況:

一是已知兩角(三角)一邊,利用正弦定理解三角形;

二是已知兩邊及夾角,利用余弦定理解三角形;

三是已知三邊,利用余弦定理解三角形;

四是已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,這種情況要看問題求什么,若要求角,則用正弦定理,若要求第三邊,則用余弦定理.

已知三角形的邊角關(guān)系的情況,當(dāng)題目中出現(xiàn)給出三角形邊的齊次方程、三角形角的正弦函數(shù)的齊次方程這兩種情況時(shí),選擇先用正弦定理.當(dāng)出現(xiàn)給出三角形的角的余弦函數(shù)的方程、形如及變形形式的方程時(shí),選擇先用余弦定理;當(dāng)既有邊的齊次或角的正弦函數(shù)的齊次,又有角的余弦函數(shù)或形如及變形形式的方程時(shí),既可以用正弦定理也可以用余弦定理.

在解題過程中,用正弦定理還是余弦定理,本文對(duì)各種情況均進(jìn)行了明確的分析說明,在解題中只要對(duì)照情況進(jìn)行分析就可以明確正弦定理和余弦定理的使用情況,這能大大節(jié)省時(shí)間,優(yōu)化解題方法.

(完)