解三角形中一個二級結(jié)論的應(yīng)用

商文廣

(遼寧省朝陽市建平縣第二高級中學(xué))

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的例題或習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)一些二級結(jié)論,雖然這些結(jié)論不是教材指定的定理或性質(zhì),但對我們啟迪思維大有幫助,尤其是在解答選擇題或填空題時能幫助我們大大提高解題效率.本文列舉解三角形中的一個二級結(jié)論加以說明.

結(jié)論 在斜△ABC中,求證:

該結(jié)論告訴我們,在斜三角形中,三個內(nèi)角的正切值之和與正切值之積是相等的,這個結(jié)論對我們解相關(guān)的題目有很大的幫助.

1 判斷三角形的形狀

在三角形中最多有1 個鈍角,于是根據(jù)tanA?tanBtanC的正負,可以判斷該三角形是銳角三角形還是鈍角三角形.

例1 (多選題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是( ).

A.若sinA＞sinB,則A＞B

B.若△ABC為銳角三角形,則sinA＞cosB

C.若acosB－bcosA＝c,則△ABC一定為直角三角形

D.若tanA＋tanB＋tanC＞0,則△ABC可以是鈍角三角形

對于A,因為sinA＞sinB,所以由正弦定理可知a＞b,又在三角形中大角對大邊,所以A＞B,故A 正確.

對于B,因為△ABC為銳角三角形,所以A＋

對于D,由二級結(jié)論可知tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0,又因為最多只有1個角為鈍角,所以tanA＞0,tanB＞0,tanC＞0,即3個角都為銳角,從而△ABC為銳角三角形,故D 錯誤.

綜上,選ABC.

由二級結(jié)論tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanBtanC,可知當(dāng)tanA＋tanB＋tanC的值為正時,△ABC為銳角三角形;當(dāng)tanA＋tanB＋tanC的值為負時,△ABC為鈍角三角形.

2 對照二級結(jié)論求角

當(dāng)題目中出現(xiàn)與二級結(jié)論相似的等式時,只需與這個二級結(jié)論對照,就可求出相應(yīng)的角.

例2 (1)在△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC,則

(2)在△ABC中,三 個 內(nèi) 角A,B,C滿 足A＞B＞C,且tanA,tanB,tanC的數(shù)值都是整數(shù),則tanA＝_________.

(2)當(dāng)A＜90°時,由A＞B＞C,可 得tanA＞tanB＞tanC＞0,所以

即tanBtanC＜3.因為tanB,tanC的值都是整數(shù),所以tanB＝2,tanC＝1,則tanA＝3.當(dāng)A＞90°時,由

可得1－tanBtanC＞0,即tanBtanC＜1.因為tanB,tanC的值都是整數(shù),此時無解,則tanA＝3.

在斜△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC是個恒等式,在求三角形內(nèi)角的正切值時,通?？梢园阉?dāng)成一個“隱形”的方程,求解相關(guān)問題時,可采依據(jù)已知條件,利用方程思想求出有關(guān)的角.

3 求最值

因為二級結(jié)論tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanBtanC中出現(xiàn)tanAtanBtanC,tanA＋tanB＋tanC,所以這個結(jié)論可以起到消元或整體代換的作用.

例3 在銳角△ABC中,若sinA＝2sinBsinC.

(2)求tanAtanBtanC的最小值.

(1)在△ABC中,有sinA＝sin[π－(B＋

C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosB?sinC,于是由sinA＝2sinBsinC,可得

又△ABC是銳角三角形,所以cosC＞0,cosB＞0.在①兩邊同時除以cosCcosB,可得

所以tanAtanBtanC≥8,當(dāng)且僅當(dāng)tanA＝2tanB?tanC時,等號成立,故tanAtanBtanC的最小值為8.

本例屬于解答題,所以二級結(jié)論不可以直接應(yīng)用,需加以證明,否則考試時會扣分.

例4 在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c＝3bsinA,則tanA＋tanB＋tanC的最小值是_________.本題考查正弦定理、兩角和差正切公式、基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶永脙山呛筒钫泄竭M行化簡,進而采用換元法將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

綜上所述,二級結(jié)論在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛.因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們應(yīng)該意識到知識在于積累,只有具備充裕的知識儲備,才能讓知識融會貫通,才能讓二級結(jié)論發(fā)揮作用.

(完)