探源固四基,變式促提升
——以2023年新高考Ⅰ,Ⅱ卷第17題為例

汪 洋

(廣州市白云中學(xué))

?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)?明確指出,通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進(jìn)一步學(xué)習(xí)和發(fā)展“四基”,提高“四能”,在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中發(fā)展六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).為更好地把握高考命題規(guī)律,提高備考效率,發(fā)展學(xué)生的“四基”和“四能”,下面筆者以2023年新高考Ⅰ,Ⅱ卷中的解三角形試題為例,對(duì)其探“源”覓“流”,從不同視角進(jìn)行評(píng)析及變式分析,以便更好地制訂復(fù)習(xí)備考策略.

1 真題呈現(xiàn) 探本溯源

1.1 考題呈現(xiàn)

例1 (2023 年新高考Ⅰ卷17)已知在△ABC中,A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB.

(1)求sinA;

(2)設(shè)AB＝5,求AB邊上的高.

分析 試題將考生熟悉的解三角形作為命題情境,考查了正弦定理、三角函數(shù)兩角和差公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化思想對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用.

思路 第(1)問(wèn)根據(jù)三角形三個(gè)角的關(guān)系以及兩角和差公式,通過(guò)運(yùn)算即可求解.

第(2)問(wèn)利用同角三角關(guān)系式及兩角和的正弦公式求出角B的正弦值,再根據(jù)正弦定理求出AC,最后由等面積法即可求得高.

具體求解過(guò)程略.

例2 (2023年新高考Ⅱ卷17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為,D為BC的中點(diǎn),且AD＝1.

(2)若b2＋c2＝8,求b,c.

分析 試題將考生熟悉的解三角形作為命題情境,考查了正余弦定理、三角函數(shù)兩角和差公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生對(duì)三角形中邊與角的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力.

思路 對(duì)于第(1)問(wèn),可利用已給出的三角形面積求出a,利用余弦定理求出b,進(jìn)而求出tanB;或作出BC邊上的高,利用直角三角形求解作答.

對(duì)于第(2)問(wèn),求a的值有兩種解法,一種是利用余弦定理建立方程組求解,另一種是利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系式求解.本題求出a的值后再利用三角形面積公式求出∠ADC即可作答.

圖1

則DC＝2＝BD.在△ABD中,由余弦定理得

所以AB＝,故

在△ACD中,由余弦定理得

1.2 試題總結(jié)

在2023年的兩套新高考卷中,解三角形都是解答題的第一題,題干簡(jiǎn)潔清晰,大部分學(xué)生對(duì)此題志在必得.求解本題容易入手且容易取得較高分?jǐn)?shù),激發(fā)了考生的自信心,有利于考生穩(wěn)定心態(tài),緩解緊張情緒.題目以余弦定理、中線性質(zhì)、面積公式為基本知識(shí)點(diǎn),以邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象為基本技能素養(yǎng),使學(xué)生感悟方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等,積累處理平面圖形問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn).兩道題的圖形較為簡(jiǎn)單,但新高考Ⅱ卷第17題第(2)問(wèn)角的條件較為隱秘,對(duì)部分考生來(lái)說(shuō)有一定的難度,從而有效地考查了考生的聯(lián)想、分析、構(gòu)圖等能力,有利于選拔人才.

2 試題溯源

例3 (人教A 版數(shù)學(xué)必修二第53頁(yè)習(xí)題6.4綜合運(yùn)用第12 題)如圖2 所示,在△ABC中,已知AB＝2,AC＝5,∠BAC＝60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,求∠MPN的余弦值.

圖2

解法1 (余弦定理)審題發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P是△ABC的重心,故點(diǎn)P是BN,AM的三等分點(diǎn),可由余弦定理求出BP和AP的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出∠MPN的余弦值(求解過(guò)程略).

3 變式探究

視角1 從三角形中線長(zhǎng)公式切入

若改變題目的條件,給出中線長(zhǎng)以及三角形兩邊,則可求出第三邊.

變式1 如圖3所示,記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),且AD＝1.已知a＝4,c＝求b.若改變題目的條件,給出三角形的三邊長(zhǎng),則可求出各邊上的中線.

圖3

變式2 如圖4 所示,記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,D為BC的中點(diǎn).已知求AD.

圖4

若將本題拓展到空間圖形中,則可有如下變式.

變式3 如圖5 所示,將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C, 形 成 四 面 體A-BCD,點(diǎn)E,F分別為線段BC,BD的中點(diǎn),若二面角A-BD-C為60°,求AE.

圖5

視角2 解三角形與平面向量結(jié)合

變式4 記△ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,若___

(1)求角B的大小;

從表3中可以看出，無(wú)論是理科試卷還是文科試卷，難度和變異系數(shù)都具有明顯的負(fù)相關(guān)，這就說(shuō)明，難度偏高的試卷，變異系數(shù)也相對(duì)較高；難度偏低的試卷，變異系數(shù)也相對(duì)較低.試卷的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)沒(méi)有顯著相關(guān)性.

分析 對(duì)于第(1)問(wèn),如圖6所示,利用平面向量數(shù)量積的定義以及正弦定理化簡(jiǎn)得出cosB的值,結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值.

圖6

視角3 恒等式問(wèn)題

變式5 如圖7所示,已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α.

圖7

(1)證明:PBsin∠ABC＝ABsinα.

(2)若∠ABC＝90°,AB＝BC＝1,求PC.

此變式主要考查正弦定理、余弦定理,題目條件簡(jiǎn)潔、精煉,解題關(guān)鍵在于考生能挖掘隱藏的角度關(guān)系,很好地考查考生思維的全面性、靈活性.

4 從教與學(xué)的角度優(yōu)化高考備考策略

4.1 從學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)興趣入手

在平時(shí)學(xué)習(xí)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意課前預(yù)習(xí)、課堂提問(wèn)、課后總結(jié).在定期檢測(cè)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做好習(xí)題反思與總結(jié).解三角形在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用,在建筑學(xué)、航海學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著作用,教師可創(chuàng)設(shè)豐富的問(wèn)題情境,使學(xué)生感受解三角形的奇妙之處,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生應(yīng)根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況,制訂學(xué)習(xí)任務(wù),及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)計(jì)劃和策略,有意識(shí)地定期“回頭看”.

同時(shí),教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀理解能力,對(duì)題目的理解程度會(huì)影響學(xué)生的解題速度.如在2023年新高考Ⅰ卷的條件“A＋B＝3C”中,學(xué)生能快速得出這個(gè)結(jié)論,并且挖掘出“A＋B＋C＝π”這個(gè)隱藏的條件,便可將條件“2sin(A－C)＝sinB”化為只有角A的式子,緊接著使用三角和差公式便能順利求得結(jié)果.如果學(xué)生閱讀理解能力不足,便隨時(shí)有可能因?yàn)闂l件挖掘不到位而掉入陷阱中.教師在講解例題時(shí)可向?qū)W生示范如何理解題目:首先,先粗讀一遍題目,明確題目所求;其次,標(biāo)出題目已有條件,將隱藏條件先列到題目旁邊或者草稿紙上;最后沒(méi)有解題思路或者思路遇到障礙時(shí),應(yīng)檢查是否還有隱藏條件未挖掘到位.閱讀理解能力的本質(zhì)是對(duì)條件分析概括提取的能力,是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累,可以通過(guò)有意識(shí)的訓(xùn)練得以提升.

4.2 高屋建瓴,用思維導(dǎo)圖構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系

在高三復(fù)習(xí)階段,部分學(xué)生專注于“刷題”,而忽略了知識(shí)的本源,容易產(chǎn)生知其然而不知其所以然的問(wèn)題,遇到新題型時(shí)總是不知從何下手.在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重新推導(dǎo)并證明公式,使學(xué)生經(jīng)歷定理產(chǎn)生的過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生邏輯推理、歸納概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力的發(fā)展,感悟化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想.例如,在證明正弦定理時(shí),可從初中學(xué)習(xí)過(guò)的三角知識(shí)入手,先從直角三角形開始,再?gòu)匿J角三角形、鈍角三角形中構(gòu)造直角三角形,將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題,再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量自主證明余弦定理,感受知識(shí)的橫向聯(lián)系,促進(jìn)思維發(fā)展.當(dāng)學(xué)生有一定的基礎(chǔ)時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生自行搭建思維導(dǎo)圖,讓學(xué)生在各種概念和定理之間能夠建立聯(lián)系,使學(xué)生在腦海中形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系.

4.3 挖掘教材,關(guān)注問(wèn)題本質(zhì)

在2023年新高考Ⅱ卷第17題中,平面向量基本定理與三角形求模的問(wèn)題來(lái)源于人教A 版數(shù)學(xué)必修二的第26頁(yè)例1,平行四邊形鄰邊與對(duì)角線問(wèn)題來(lái)源于人教A 版數(shù)學(xué)必修二的第21頁(yè)例11.因此,在日常的教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考,注重不同的知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系,提升學(xué)生的思維水平.

4.4 鉆研試題,注重不同知識(shí)板塊的相互聯(lián)系,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)

根據(jù)已有的統(tǒng)計(jì)顯示,基于“SOLO 分類理論”層次劃分的方法,未來(lái)對(duì)于“三角與三角函數(shù)”關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查趨勢(shì)維持關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平,且有向拓展結(jié)構(gòu)水平發(fā)展的趨勢(shì).結(jié)合教材題源以及往年的高考真題分析,解三角形除了考查正弦、余弦定理的應(yīng)用,通常還會(huì)結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)、平面向量、基本不等式等知識(shí)綜合考查.新高考試題命制的趨勢(shì)越來(lái)越傾向于考查能力,有一定數(shù)量的創(chuàng)新形式題,因此教師應(yīng)專注于概念深入的教學(xué),專注于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),以提高學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變的能力.

(完)