張 瑞
(山東省濟(jì)南市章丘中學(xué))
從歷年高考試題中往往可以見到許多“教材題”的影子,所以我們有必要關(guān)注“教材題”.在研究“教材題”時(shí),我們要注意與之相關(guān)的變式題,因?yàn)橥ㄟ^變式分析、研究有利于充分感悟、體驗(yàn)“教材題”的基礎(chǔ)性和典型性.
例1 (北師大版教材數(shù)學(xué)必修5第51頁練習(xí)第2題)△ABC的三邊之比為3∶5∶7,求這個(gè)三角形的最大角.
設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=3k,b=5k,c=7k,其中常數(shù)k>0,顯然內(nèi)角C最大.因?yàn)?而0°<C<180°,所以C=120°,故△ABC的最大角為120°.
通過求解本題可知:如果一個(gè)三角形的三邊長之比為3∶5∶7,那么這個(gè)三角形的最大角為120°,據(jù)此可設(shè)計(jì)相關(guān)的變式題.
變式1 已知A,B,C三地不在一條直線上,且A,B兩地的距離為6km,B,C兩地的距離為10km,A,C兩地的距離為14 km,則△ABC的最大角為_______.
易知角B最大,由,從而可得B=120°,故△ABC的最大角為120°.
變式2 (北師大版教材數(shù)學(xué)必修5 第56 頁習(xí)題A 組第3題)如圖1所示,在△ABC中,已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),AD=5,AC=7,DC=3,求AB的長.
圖1
在△ACD中,由余弦定理得
從 而 可 得∠ADC=120°,∠ADB=60°.于 是,在
例2 (北師大版教材數(shù)學(xué)必修5第57頁習(xí)題B組第3題)在△ABC中,三邊長為連續(xù)的正整數(shù),且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三邊長.
通過求解本題可知:如果一個(gè)三角形的最大角是最小角的2倍,且三邊長為連續(xù)的正整數(shù),那么這個(gè)三角形的三邊長分別為4,5,6.
變式 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=4,b=5,c=6,求證:C=2A.
證明 在△ABC中,由余弦定理得
又因?yàn)?/p>
所以cosC=cos2A.
例3 (北師大版教材數(shù)學(xué)必修5第57頁習(xí)題B組第2題)如圖2所示,圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別 為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求 四 邊 形ABCD的面積.
圖2
連接BD,則在△ABD中,由余弦定理得
在△BCD中,由余弦定理得
通過本題的求解,我們應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn):一是求解不規(guī)則平面圖形的面積可以考慮采用“分割與組合思想”;二是變換三角形,多次靈活運(yùn)用余弦定理,可巧求角.
變式 某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖3 所示.經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定,棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面.該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地,測量可知邊界AB=AD=4萬米,BC=6萬米,CD=2萬米.
(1)請計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面半徑R的值;
(2)因地理?xiàng)l件的限制,邊界AD,DC不能變更,而邊界AB,BC可以調(diào)整,為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率,請?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P,使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大,并求最大值.(1)連接AC,在△ABC與△ACD中,由余弦定理得
(2)設(shè)AP=x,CP=y(tǒng),則由余弦定理得
又x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,所以xy≤28.于是,有
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng),即點(diǎn)P為圓弧ABC的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,故當(dāng)點(diǎn)P為圓弧ABC的中點(diǎn)時(shí),棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大,最大值為平方萬米.
關(guān)注對“教材題”的變式探究不但有利于鞏固所學(xué)知識(shí)、方法,而且有利于深刻感悟“教材題”的基礎(chǔ)性與典型性.
(完)