探究“解三角形”章節(jié)的“教材題”

張 瑞

(山東省濟南市章丘中學)

從歷年高考試題中往往可以見到許多“教材題”的影子,所以我們有必要關(guān)注“教材題”.在研究“教材題”時,我們要注意與之相關(guān)的變式題,因為通過變式分析、研究有利于充分感悟、體驗“教材題”的基礎(chǔ)性和典型性.

1 根據(jù)三角形的三邊長,求最大角

例1 (北師大版教材數(shù)學必修5第51頁練習第2題)△ABC的三邊之比為3∶5∶7,求這個三角形的最大角.

設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a＝3k,b＝5k,c＝7k,其中常數(shù)k＞0,顯然內(nèi)角C最大.因為,而0°＜C＜180°,所以C＝120°,故△ABC的最大角為120°.

通過求解本題可知:如果一個三角形的三邊長之比為3∶5∶7,那么這個三角形的最大角為120°,據(jù)此可設(shè)計相關(guān)的變式題.

變式1 已知A,B,C三地不在一條直線上,且A,B兩地的距離為6km,B,C兩地的距離為10km,A,C兩地的距離為14 km,則△ABC的最大角為_______.

易知角B最大,由,從而可得B＝120°,故△ABC的最大角為120°.

變式2 (北師大版教材數(shù)學必修5 第56 頁習題A 組第3題)如圖1所示,在△ABC中,已知B＝45°,D是BC邊上的一點,AD＝5,AC＝7,DC＝3,求AB的長.

圖1

在△ACD中,由余弦定理得

從 而 可 得∠ADC＝120°,∠ADB＝60°.于 是,在

2 根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系,求三邊長

例2 (北師大版教材數(shù)學必修5第57頁習題B組第3題)在△ABC中,三邊長為連續(xù)的正整數(shù),且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三邊長.

通過求解本題可知:如果一個三角形的最大角是最小角的2倍,且三邊長為連續(xù)的正整數(shù),那么這個三角形的三邊長分別為4,5,6.

變式 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a＝4,b＝5,c＝6,求證:C＝2A.

證明 在△ABC中,由余弦定理得

又因為

所以cosC＝cos2A.

3 根據(jù)平面圖形,求解圓內(nèi)接四邊形的面積

例3 (北師大版教材數(shù)學必修5第57頁習題B組第2題)如圖2所示,圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別 為AB＝2,BC＝6,CD＝DA＝4,求 四 邊 形ABCD的面積.

圖2

連接BD,則在△ABD中,由余弦定理得

在△BCD中,由余弦定理得

通過本題的求解,我們應關(guān)注兩點:一是求解不規(guī)則平面圖形的面積可以考慮采用“分割與組合思想”;二是變換三角形,多次靈活運用余弦定理,可巧求角.

變式 某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖3 所示.經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定,棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面.該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地,測量可知邊界AB＝AD＝4萬米,BC＝6萬米,CD＝2萬米.

(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面半徑R的值;

(2)因地理條件的限制,邊界AD,DC不能變更,而邊界AB,BC可以調(diào)整,為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率,請在圓弧ABC上設(shè)計一點P,使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大,并求最大值.(1)連接AC,在△ABC與△ACD中,由余弦定理得

(2)設(shè)AP＝x,CP＝y(tǒng),則由余弦定理得

又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy,所以xy≤28.于是,有

當且僅當x＝y(tǒng),即點P為圓弧ABC的中點時,等號成立,故當點P為圓弧ABC的中點時,棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大,最大值為平方萬米.

關(guān)注對“教材題”的變式探究不但有利于鞏固所學知識、方法,而且有利于深刻感悟“教材題”的基礎(chǔ)性與典型性.

(完)