數(shù)學(xué)建模在高職數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)改革與探索

顧麗娜

楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院文理學(xué)院 陜西咸陽 712100

一、概述

隨著社會(huì)的進(jìn)步與科技的發(fā)展,將數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得尤為重要。但是在日常教學(xué)中,部分學(xué)生還不能應(yīng)用建模思想來解決實(shí)際問題,這將導(dǎo)致數(shù)學(xué)課程在教學(xué)改革探索中存在紕漏。所以本著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)際情況,積極重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容,主動(dòng)更新數(shù)學(xué)建模理念,詳盡梳理數(shù)學(xué)方法,為數(shù)學(xué)建模在職業(yè)院校數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)改革與探索提出一條行之有效的發(fā)展路徑。結(jié)合實(shí)際情況,職業(yè)教育的改革仍然在路上,黨的二十大明確提出職業(yè)教育前景的發(fā)展大有可為,而對(duì)于職業(yè)教育的教學(xué)改革探索理應(yīng)持續(xù)深入。數(shù)學(xué)作為職業(yè)教育的基礎(chǔ)課程,對(duì)于加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維、專業(yè)應(yīng)用等都有重要意義,所以研究如何將數(shù)學(xué)建模思維更好地應(yīng)用到實(shí)際教學(xué)中是極其重要的。

眾所周知,在高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決問題變得越來越普遍。雖然諸多教師已在建模這方面給予了相應(yīng)重視,并且在教學(xué)設(shè)計(jì)中也將其納入改革[1-3]。但從目前教學(xué)方式的發(fā)展趨勢分析,部分教師在數(shù)學(xué)建模思想方面仍然存在很多不足,如不能巧妙地結(jié)合實(shí)際模型來分析課堂教學(xué)內(nèi)容,這在某種程度上確實(shí)制約了教學(xué)改革的進(jìn)步與發(fā)展。相較于本科院校,職業(yè)院校學(xué)生進(jìn)行專業(yè)課程及公共課程學(xué)習(xí)的總課時(shí)極其有限,所以大多數(shù)課程的設(shè)置都是遵循“必需,夠用”的原則進(jìn)行。但從長期從事的專業(yè)考慮,除具備過硬的專業(yè)本領(lǐng)外,更要依賴個(gè)人整體學(xué)習(xí)水平,如基本運(yùn)算能力和邏輯思維,所以決不能輕視公共數(shù)學(xué)課的作用。而將數(shù)學(xué)建模融入課堂,這對(duì)培養(yǎng)高素質(zhì)、高品行的人才起到了非常大的作用?？紤]高職數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn),以及學(xué)生專業(yè)理論知識(shí)與數(shù)學(xué)建模知識(shí)的融合[4-5],進(jìn)一步提高學(xué)生的人文素養(yǎng)和崗位素養(yǎng)顯得極其重要。

二、數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

(一)數(shù)學(xué)建模在日常生活中的應(yīng)用

高職數(shù)學(xué)課程體系構(gòu)建與高等數(shù)學(xué)體系基本一致,不過考慮到專業(yè)需求程度,故對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了一定的重構(gòu),在基本知識(shí)學(xué)習(xí)的同時(shí),融入了數(shù)學(xué)建模思想,確保課堂教學(xué)改革意義落到實(shí)處,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用效果。目前,數(shù)學(xué)建模思想其實(shí)已滲透到各行各業(yè)。如2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽E題,關(guān)于中藥材產(chǎn)地與種類的鑒定問題,既和專業(yè)結(jié)合,又與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法融合。實(shí)際生活中,例如在超市購物時(shí),發(fā)現(xiàn)每種物品擺放位置不一,這種情況其實(shí)也融入了數(shù)學(xué)建模思想,即通過調(diào)查獲取所需,進(jìn)而構(gòu)建合適的模型來決策貨物的擺放位置。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)改革中利用實(shí)際案例,引導(dǎo)學(xué)生思考,這樣才能使教學(xué)改革收到一定成效。

(二)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)概念中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動(dòng)之所以困難,主要原因在于概念、定理、公式等較為抽象,從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低、不能靈活應(yīng)用等。例如,在講授一些較為抽象的內(nèi)容時(shí),可以引入建模思想,從實(shí)際問題出發(fā),給出此內(nèi)容的應(yīng)用過程及方法等。這就將數(shù)學(xué)內(nèi)容由無形化為有形,由抽象化為具體,由復(fù)雜化為簡單。如拋出問題:椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)?引導(dǎo)學(xué)生考慮用數(shù)學(xué)語言將椅子的位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,逐步引出要構(gòu)建的模型,首先保證地面需要為連續(xù)曲面,進(jìn)而提出連續(xù)函數(shù)模型來表征椅子的位置和四只腳著地的關(guān)系,使抽象的概念等具體化,加深學(xué)生們的理解。如學(xué)習(xí)定積分概念時(shí),不但要知其然,還要知其所以然,這就要求學(xué)生不能只是死背硬記“分割、近似、求和、取極限”,還應(yīng)理解它的來源:利用割圓術(shù)的動(dòng)態(tài)圖演示定積分的概念,使無形的概念化為有形的圖解。所以,通過數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用同樣可以推動(dòng)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。

(三)數(shù)學(xué)建模在專業(yè)大賽中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)改革不僅僅局限于課堂,它包括各個(gè)方面,尤其對(duì)于職業(yè)教學(xué)改革中的實(shí)踐鍛煉、技能大賽都顯得尤為重要。目前,諸多大賽內(nèi)容其實(shí)與數(shù)學(xué)建模思想息息相關(guān),例如“互聯(lián)網(wǎng)+”、建筑信息模型(BIM)應(yīng)用、高鐵軌道精測精調(diào)、工業(yè)產(chǎn)品數(shù)字化設(shè)計(jì)與制造、土壤pH的測定、智慧物流作業(yè)方案設(shè)計(jì)與實(shí)施等大賽都融入了數(shù)學(xué)建模的思想。當(dāng)一個(gè)好的模型能夠成功建立時(shí),問題也就迎刃而解了,這集中體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì),即將理論融入實(shí)際專業(yè)大賽中。當(dāng)下,學(xué)生技能大賽對(duì)于學(xué)生就業(yè)非常重要,所以在數(shù)學(xué)教學(xué)改革中可以通過引導(dǎo)學(xué)生積極參與專業(yè)大賽,進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)存在的意義。

(四)數(shù)學(xué)建模在實(shí)操軟件中的應(yīng)用

眾所周知,編程的實(shí)現(xiàn)以及大數(shù)據(jù)分析與處理都涉及建模思想,若能夠在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中充分實(shí)操演練,以數(shù)學(xué)方法和思想訓(xùn)練代碼,繼而呈現(xiàn)出實(shí)際效果,學(xué)生必然能夠感受到數(shù)學(xué)中建模思想的體現(xiàn)。目前,可通過引入解決數(shù)學(xué)模型的一些實(shí)操軟件,例如Matlab、Spss、Python等數(shù)學(xué)軟件,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)建模的實(shí)際操作性,加強(qiáng)對(duì)此類軟件的學(xué)習(xí)及應(yīng)用,從而簡化數(shù)學(xué)建模步驟,降低數(shù)學(xué)建模難度。

(五)數(shù)學(xué)建模在實(shí)踐教學(xué)中的邏輯應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型用途廣泛,主要體現(xiàn)在邏輯推理、結(jié)果解釋、框架設(shè)計(jì)、改進(jìn)交流、指導(dǎo)行動(dòng)、擬合預(yù)測和對(duì)比探索方面。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí),往往需要疏通邏輯,然后借此逐步遞推。比如阿羅定理就是一個(gè)可以說明邏輯推理如何揭示不可能性的有效例子,此模型提出了個(gè)人偏好是否歸結(jié)為集體偏好的問題,偏好表示為各備選選項(xiàng)之間的排序情況。以對(duì)學(xué)校食堂學(xué)生用餐窗口為例,假設(shè)有5家窗口(飯菜質(zhì)量、種類一樣),分別用數(shù)字1～5表示,此模型有120種排序。阿羅定理特點(diǎn)是集體排序保持單調(diào)(若每個(gè)學(xué)生都將1排在2之前,則集體排序也是這樣)、獨(dú)立于無關(guān)的備選選項(xiàng),且是公平的。結(jié)果表明該設(shè)法矛盾,如果允許任何偏好都存在,則就不存在集體排序。同樣,邏輯可以揭示悖論。其他方面亦是如此。

三、融入數(shù)學(xué)建模的改革意義

數(shù)學(xué)建模本身就將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題巧妙地聯(lián)系起來,數(shù)學(xué)建模思想蘊(yùn)含知識(shí)較為豐富,不論是極限與導(dǎo)數(shù),抑或微分與積分都是其主要理論。知積分原理,方能探究積分與其存在的內(nèi)涵關(guān)系。眾所周知,數(shù)學(xué)的大多概念與定理都是極其抽象的,包括數(shù)學(xué)公式在內(nèi)的定義、性質(zhì)、推論等,對(duì)于多數(shù)學(xué)生來說理解起來難度較大。但若在數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)建模知識(shí),以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行演練講解,學(xué)習(xí)效果定會(huì)更佳。因此,選擇微分建模思想作為數(shù)學(xué)課程教學(xué)的第一個(gè)切入點(diǎn),通過具體案例介紹了極限問題的起源、本質(zhì)和應(yīng)用。此外,本課程結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn),加之高職學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課及通識(shí)課的需求,通過“三段六環(huán)”式教學(xué)方法,形成了以情景導(dǎo)引、案例導(dǎo)思、公式導(dǎo)析、方法導(dǎo)練、案例導(dǎo)用為主線的教學(xué)脈絡(luò),融合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有效達(dá)成了培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作和培養(yǎng)自身數(shù)學(xué)概括能力的教學(xué)目標(biāo)。綜上,現(xiàn)以函數(shù)的微分內(nèi)容為例,對(duì)其建模具體如下:

案例1:基于數(shù)學(xué)背景求出某城市與鄉(xiāng)村之間用時(shí)最短的路徑。

在探析函數(shù)微分概念時(shí),首先引入微分的實(shí)質(zhì)意義,并以數(shù)學(xué)知識(shí)為背景,探討某城市與鄉(xiāng)村之間兩點(diǎn)用時(shí)最短的路徑模型,以距離來衡量什么是可微,什么是可導(dǎo)。并設(shè)計(jì)了“若要富,先修路”的相關(guān)題目,設(shè)計(jì)此問題的實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用,明確數(shù)學(xué)不僅是要學(xué)懂課本,更要明晰在實(shí)際生活中的應(yīng)用。理解數(shù)學(xué)建模思想,實(shí)時(shí)獲取城鄉(xiāng)之間的經(jīng)濟(jì)差距與現(xiàn)實(shí)狀況。同時(shí)以此為契機(jī),感受微分幾何意義的“以直代曲”,充分把握微分的概念及其幾何意義。

案例2:利用人口普查現(xiàn)狀模型,分析某市人群年齡結(jié)構(gòu)的構(gòu)成,引入微分方程。

依據(jù)2021年第七次全國人口普查的結(jié)果,能夠了解到年齡結(jié)構(gòu)的合理對(duì)于社會(huì)發(fā)展極其重要。在學(xué)習(xí)和理解微分方程求解時(shí),可以以實(shí)際應(yīng)用為主,預(yù)測和計(jì)算當(dāng)下年齡結(jié)構(gòu)的合理程度。設(shè)計(jì)此案例,旨在讓學(xué)生不但要學(xué)習(xí)掌握函數(shù)的微分,更要掌握今后將要學(xué)習(xí)的微分方程模型,諸如人口增長模型、馬爾薩斯人口模型等。

四、“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)實(shí)施思路

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思維,有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用能力?，F(xiàn)對(duì)本課程數(shù)學(xué)建模具體實(shí)施思路表述如下:

(一)落實(shí)數(shù)學(xué)建模理念,倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)

本課程的數(shù)學(xué)建模理念強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)使學(xué)生既能理解、掌握和應(yīng)用知識(shí)的同時(shí),又發(fā)展了收集和處理科學(xué)信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析解決問題的能力,以及交流與合作的能力,特別是培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。此外,還將使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更富有個(gè)性化,對(duì)情感的體驗(yàn)、科學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成、正確價(jià)值觀的樹立也會(huì)有極大的促進(jìn)作用。只要將數(shù)學(xué)建模理念、思維能夠詳盡滲透到日常教學(xué)中,探究性學(xué)習(xí)定然會(huì)取得很大成效。

(二)圍繞“三全育人”,落實(shí)數(shù)學(xué)建?？刹僮餍?/h3>

為進(jìn)一步貫徹落實(shí)“三全育人”成效,在掌握數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上,應(yīng)積極探索數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用效果和實(shí)際操作性。在教學(xué)內(nèi)容中應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)建模元素,形成“全員育人、全程育人、全方位育人”的格局,全面推進(jìn)學(xué)校大學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的把控工作。日常教學(xué)中,數(shù)學(xué)理論枯燥無味,如何將理論與實(shí)踐結(jié)合起來,讓學(xué)生產(chǎn)生濃厚興趣,必然要從數(shù)學(xué)建模的可操作性出發(fā),所以以“三全育人”統(tǒng)領(lǐng)教學(xué),效果必然更佳。

(三)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)貼合專業(yè),庖丁解?；鬄樾?/h3>

依據(jù)教學(xué)內(nèi)容增設(shè)了動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn),體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的思想,進(jìn)一步加深了微分概念的印象,從而輕而易舉地引入函數(shù)增量。以循序漸進(jìn)的方式深化微分概念的學(xué)習(xí),明確微分概念“一看二化三近似”的關(guān)鍵點(diǎn),有效解決了微分概念理解難的問題。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn),以實(shí)例探索微分概念,化大為小,化難為易,逐一攻破,以解決紛繁復(fù)雜的問題。例如,在學(xué)習(xí)定積分求立體體積時(shí),可以用硬幣及不規(guī)則物體現(xiàn)場教學(xué)演示,讓學(xué)生“切片”親身體驗(yàn)“微元法”的思想。

五、數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源的配置

積極利用和開發(fā)數(shù)學(xué)建模課程資源是順利實(shí)施數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的重要組成部分,可以有效地發(fā)揮課程資源應(yīng)有的優(yōu)勢,達(dá)到提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的目的。教學(xué)資源是當(dāng)前教學(xué)能夠得以實(shí)施的必然要求,數(shù)學(xué)教學(xué)完全可以充分利用數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室展開興趣教學(xué),以Matlab、Spss軟件為操作對(duì)象,有效模擬實(shí)際數(shù)學(xué)模型,以實(shí)驗(yàn)調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣,教學(xué)效果事半功倍。加之配套教材的編寫使用,讓學(xué)生真切感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)的實(shí)踐意義。

(一)編寫與數(shù)學(xué)教材配合使用的數(shù)學(xué)建模參考書

學(xué)以致用,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,若能夠融入一些極其鮮活的實(shí)際模型,教學(xué)手段自然豐富,故應(yīng)結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和預(yù)期的教學(xué)效果,出書配套實(shí)際教學(xué),以此解析疑難問題,并對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提出針對(duì)性建議。只有將數(shù)學(xué)模型貫穿教學(xué)始終,學(xué)生才會(huì)舉一反三,逐步體悟數(shù)學(xué)建模的要義所在。

(二)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建模實(shí)訓(xùn)室的建設(shè)和投入

加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)和投入,既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活,也為優(yōu)秀學(xué)生的脫穎而出創(chuàng)造了條件。競賽使學(xué)生學(xué)會(huì)了如何綜合應(yīng)用各種所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,從而使學(xué)生的知識(shí)水平和綜合能力上了一個(gè)新臺(tái)階。數(shù)學(xué)建模實(shí)訓(xùn)室的作用決不可忽略,對(duì)于工科學(xué)生而言,動(dòng)手能力強(qiáng),對(duì)電子元件具有一定的觸感,故可借助實(shí)訓(xùn)室進(jìn)行實(shí)際模擬,用數(shù)學(xué)軟件模擬理論、模擬應(yīng)用,唯有如此,建模實(shí)訓(xùn)室才能發(fā)揮更大作用,提升教師教學(xué)水平。

(三)積極搭建數(shù)學(xué)建模課程平臺(tái),完善建模課程資源

積極建設(shè)數(shù)學(xué)建模在線開放課程,繼續(xù)完善和優(yōu)化混合課程建設(shè)平臺(tái)。在相關(guān)建設(shè)中不斷豐富完善各種建模課程資源,包括文字資源、教學(xué)課件、在線測試、數(shù)學(xué)文化、視頻資源等。當(dāng)前,慕課、精品在線開放課等資源已經(jīng)相當(dāng)豐富充裕,教師除自身搭建課程平臺(tái)之外,完全有能力適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)書籍和資源,日積月累,學(xué)習(xí)效果自然突出。只要理論完善,實(shí)踐操作就顯得尤為容易。這樣,數(shù)學(xué)建模課程平臺(tái)才能發(fā)揮出優(yōu)良效果。

結(jié)語

數(shù)學(xué)教育若無數(shù)學(xué)建模元素的引領(lǐng),數(shù)學(xué)課程將變得枯燥而乏味,數(shù)學(xué)建模教學(xué)的成功將成為改變這一現(xiàn)狀的有利契機(jī)。實(shí)踐出真知,教學(xué)亦是如此,故需要借數(shù)學(xué)建模這一有利因素,結(jié)合數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革,提高學(xué)生課堂參與度,有效提升“三全育人”之成效,啟發(fā)學(xué)生在任何時(shí)候都要有厚積薄發(fā)的數(shù)學(xué)情懷,積累豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用能力,使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到技能報(bào)國的作用,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同和自信。