自組織理論下微積分課程教學(xué)研究

蔡 偉

(南京審計(jì)大學(xué)金審學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,江蘇 南京 210046)

微積分課程作為經(jīng)管類專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課,具有課程內(nèi)容豐富、實(shí)用性強(qiáng)等特點(diǎn),注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、合作探究能力等,是后續(xù)數(shù)學(xué)課程及專業(yè)學(xué)科課程學(xué)習(xí)與研究的理論基礎(chǔ),所以微積分的課程教學(xué)對于促進(jìn)高質(zhì)量應(yīng)用型人才培養(yǎng)具有重要意義.然而目前微積分課程教學(xué)現(xiàn)狀不容樂觀,傳統(tǒng)教學(xué)模式問題較多.學(xué)生普遍反映微積分內(nèi)容多、難度大、公式定理復(fù)雜等問題,導(dǎo)致大多數(shù)基礎(chǔ)薄弱學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低.教師沒有及時(shí)與學(xué)生溝通交流,仍然采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式,忽視對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng),不注重啟發(fā)式教學(xué),缺乏對學(xué)生探索創(chuàng)新能力的鍛煉,導(dǎo)致微積分教學(xué)狀態(tài)的惡性循環(huán).

針對這種教學(xué)現(xiàn)狀,國內(nèi)外的學(xué)者進(jìn)行了深入研究.賀金波[1]從歷時(shí)與共時(shí)兩個(gè)維度分析微積分教學(xué)引例的設(shè)計(jì),豐富了課程內(nèi)容,創(chuàng)新了講授模式,引發(fā)學(xué)生積極性與好奇心的同時(shí)加深了學(xué)生對微積分概念的理解.荊科[2]研究了在微積分教學(xué)過程中如何引入“陷阱”式教學(xué)案例,通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,從而加深抽象概念、性質(zhì)及定理的理解.程藝[3]、周西云等[4]、馬小雪[5]分別從物理、化學(xué)、電子專業(yè)中的實(shí)際問題出發(fā),結(jié)合專業(yè)課程與微積分之間的關(guān)系,探討微積分教學(xué)改革,切實(shí)提高教學(xué)效果.周巧娟[6]、張榮輝[7]研究了概念圖與思維導(dǎo)圖在微積分教學(xué)中的重要作用,陳梅香等[8]、康志林等[9]、劉春紅[10]將建模思想融入微積分教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐,將抽象的理論知識附著于生活中的實(shí)際問題,讓學(xué)生在應(yīng)用的背景中學(xué)習(xí)、理解微積分中的定義、定理等,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.馮海星等[11]、王小玉[12]、溫雅敏[13]分別探究了基于慕課、微課、翻轉(zhuǎn)課堂與對分課堂的混合式微積分教學(xué),旨在將新的教學(xué)模式與傳統(tǒng)微積分教學(xué)相結(jié)合,彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,提高學(xué)習(xí)效果.這些研究都旨在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分課程的興趣,幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系,提高整體教學(xué)質(zhì)量,但對如何提高學(xué)生的思維與創(chuàng)造能力、如何引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)展等方面研究較少.

近來學(xué)者們將自組織理論[14]應(yīng)用于課程教學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué),基于自組織理論的課程研究取得了一定的成果.母小勇等[15]通過研究高校課程的自組織作用機(jī)理,提出只有將課程本質(zhì)從“學(xué)校課程”“國家課程”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)生自己的課程”,才能真正實(shí)現(xiàn)課程的多樣化價(jià)值和功能.高翔等[16]等研究表明自組織方法論為突破簡單思維下的傳統(tǒng)教學(xué)提供了新的方法論視角,有利于教學(xué)的整體性思維,構(gòu)建教學(xué)的自組織機(jī)制.郭暢[17]研究表明高等數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)是非線性的,符合自組織特征,基于自組織理論的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革是可行的.王佳秋等[18]將利用自組織理論分析學(xué)生的思維結(jié)構(gòu),根據(jù)自組織機(jī)制充分營造大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“趣動(dòng)課堂”.田仕琴[19]提出應(yīng)將高等數(shù)學(xué)課程理解為達(dá)成個(gè)體經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)變的過程,倡導(dǎo)用自組織作為基本假設(shè)來設(shè)計(jì)非線性、開放性的課程,強(qiáng)調(diào)評價(jià)應(yīng)成為共同背景之中以轉(zhuǎn)變?yōu)槟康牡膮f(xié)調(diào)過程.李娟等[20]基于自組織特征,探討了經(jīng)管類專業(yè)線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容的組織設(shè)計(jì)、組織形式和教學(xué)評價(jià).李騰飛[21]通過探究性數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,論述了自組織理論應(yīng)用于高職院校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的必要性、有效性,并給出教學(xué)案例分析.

以上研究表明自組織理論應(yīng)用于高校數(shù)學(xué)教學(xué)成果較少,尤其是微積分教學(xué)更是寥寥無幾.本文針對微積分課程教學(xué)現(xiàn)狀,探究自組織理論應(yīng)用于微積分課程教學(xué)的可行性,給出基于自組織理論視角下教學(xué)案例的設(shè)計(jì)及教學(xué)評價(jià)的構(gòu)建,真正通過啟發(fā)式、探究式教學(xué)提高學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和探究能力.

1 自組織理論

自組織理論[14]于20世紀(jì)60年代初正式被提出,近些年來廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域和諸多社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域.自組織理論起初被用于研究復(fù)雜自組織系統(tǒng)的形成規(guī)律及發(fā)展機(jī)制問題,即在一定條件下系統(tǒng)如何自主地由混沌無序走向穩(wěn)定有序,由低級有序走向高級有序.

首先,系統(tǒng)必須是開放的.開放的系統(tǒng)才能與外界進(jìn)行物質(zhì)、能量和信息交換,為系統(tǒng)有序發(fā)展創(chuàng)造條件.具體來說,系統(tǒng)向外界獲取反應(yīng)物,促使系統(tǒng)內(nèi)部的有效能量不斷增加,有序度不斷提高,這是一個(gè)向內(nèi)部輸入負(fù)熵的過程;同時(shí),系統(tǒng)向外部輸出生成物,促使系統(tǒng)無效能量不斷減少,這是一個(gè)向外部輸出正熵的過程.一耗一散,使系統(tǒng)的熵值不斷降低,為系統(tǒng)走向高級有序奠定基礎(chǔ).

其次,系統(tǒng)必須遠(yuǎn)離平衡態(tài).非平衡是有序之源,只有遠(yuǎn)離平衡區(qū)域,系統(tǒng)才能朝著高級有序發(fā)展.相反,平衡態(tài)往往與封閉系統(tǒng)相關(guān)聯(lián),當(dāng)系統(tǒng)與外界沒有交流,系統(tǒng)也不可能得到發(fā)展.普利高津曾提出,系統(tǒng)只有脫離穩(wěn)定態(tài),進(jìn)入非線性區(qū)域,系統(tǒng)才能形成有序結(jié)構(gòu),才能可持續(xù)發(fā)展.

再者,系統(tǒng)必須存在非線性作用機(jī)制.非線性作用指系統(tǒng)內(nèi)部作用不是簡單的線性關(guān)系,整體不等于部分簡單疊加.各個(gè)子系統(tǒng)之間的交叉耦合作用是復(fù)雜的、非線性的,往往一個(gè)小的擾動(dòng),就會(huì)對系統(tǒng)整體產(chǎn)生巨大的能量和效果.在此機(jī)制下系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生協(xié)同競爭與合作,促使系統(tǒng)從雜亂無章變成穩(wěn)定有序.

最后,系統(tǒng)必須存在漲落.系統(tǒng)在非作用機(jī)制下離開平衡態(tài),隨著非線性作用力逐漸增強(qiáng),系統(tǒng)終將遠(yuǎn)離平衡態(tài),突破臨界閾值產(chǎn)生漲落.漲落是一種啟動(dòng)力,為系統(tǒng)打破平衡,完成新有序的自組織過程提供力量.

2 自組織理論運(yùn)用于微積分課程教學(xué)的可行性分析

微積分課程教學(xué)作為一個(gè)具體的教學(xué)系統(tǒng)本身就具備自組織特征,且蘊(yùn)含著豐富的自組織理論.通過探索各要素間的自組織特征,研究教學(xué)過程中的各種自組織現(xiàn)象,將自組織特征融入課堂教學(xué),構(gòu)建自組織教學(xué)模式,促使微積分教學(xué)系統(tǒng)朝著有序、高級的方向不斷發(fā)展.

2.1 開放性是微積分課程教學(xué)的重要前提

系統(tǒng)具有開放性是系統(tǒng)能夠與外界環(huán)境進(jìn)行物質(zhì)、信息、能量交換的前提條件,也是系統(tǒng)自組織發(fā)展且形成有序結(jié)構(gòu)的必要保證.微積分課程教學(xué)的開放性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

首先,教學(xué)內(nèi)容具有開放性.微積分課程作為財(cái)經(jīng)類學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課,表面看是教授同一門課程,實(shí)際教學(xué)涉及會(huì)計(jì)、審計(jì)、金融、經(jīng)濟(jì)、管理、信息等不同專業(yè)學(xué)生,那么需要教師將內(nèi)容與不同專業(yè)相結(jié)合,不斷吸收最新的學(xué)科專業(yè)研究成果,豐富學(xué)生的認(rèn)知.

其次,學(xué)生系統(tǒng)具有開放性.大腦作為一個(gè)高度發(fā)達(dá)的自組織系統(tǒng),所以學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)的、開放的及多層次的.學(xué)生想要獲得知識,進(jìn)行科學(xué)創(chuàng)造,就必須要與外界環(huán)境進(jìn)行物質(zhì)、信息和能量的交換.

再次,教學(xué)環(huán)境具有開放性.當(dāng)代大學(xué)生處在信息網(wǎng)絡(luò)飛速發(fā)展的時(shí)代,傳統(tǒng)的課堂教學(xué)不再是學(xué)生獲取知識和技能的唯一途徑,海量的學(xué)習(xí)資源、多渠道的學(xué)習(xí)路徑使得整體環(huán)境是開放的.

最后,教學(xué)方式具有開放性.開放式的教學(xué)課堂必然離不開多樣性的教學(xué)方式.相同的微積分內(nèi)容教學(xué),每個(gè)老師選擇的教學(xué)方式不盡相同.教學(xué)也不局限于某一種或幾種方式,盡可能的采用學(xué)生易于接受和理解的方式,才能讓學(xué)生學(xué)得輕松、想得更多、理解得更深刻.

微積分課程教學(xué)的自組織發(fā)展首要前提就是教學(xué)系統(tǒng)的開放,教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生系統(tǒng)的開放是固有屬性,配合上教學(xué)環(huán)境及教學(xué)方式的開放,才能構(gòu)建該課程教學(xué)的完整開放體系.

2.2 遠(yuǎn)離平衡態(tài)是微積分課程教學(xué)的根本屬性

比利時(shí)物理學(xué)家認(rèn)為,非平衡是有序之源,并且只有遠(yuǎn)離穩(wěn)定區(qū)域,系統(tǒng)才能朝更高層次的結(jié)構(gòu)演化,所以它是系統(tǒng)達(dá)到有序的先決條件.反之,平衡態(tài)往往與封閉系統(tǒng)緊密相關(guān),當(dāng)系統(tǒng)與外界環(huán)境沒有物質(zhì)、信息、能量等交換,新的有序系統(tǒng)就無法達(dá)到,系統(tǒng)就得不到更好的發(fā)展.

美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為,為了促使學(xué)生的思維處于非平衡狀態(tài),老師必須努力啟發(fā)學(xué)生自由靈巧的思考問題.自組織理論下的微積分課程教學(xué)要求教師以培養(yǎng)學(xué)生探究性思維方法為目標(biāo),啟發(fā)式的引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,讓學(xué)生不要滿足于現(xiàn)有知識與技能,養(yǎng)成學(xué)生不斷質(zhì)疑、開拓創(chuàng)新的精神,為后續(xù)課程、專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)理基礎(chǔ).

2.3 非線性作用是微積分課程教學(xué)的必要特征

系統(tǒng)的自組織發(fā)展離不開非線性作用,非線性作用是自組織的根本機(jī)制,其相互作用不是簡單的一次函數(shù)關(guān)系,微積分課程教學(xué)的非線性作用具體表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

其一,微積分課程教學(xué)過程中,教師和學(xué)生都需要與外界環(huán)境進(jìn)行物質(zhì)能量的交換,比如教師對學(xué)科最新科研成果的補(bǔ)充、學(xué)生將所學(xué)微積分知識與專業(yè)課程相結(jié)合、學(xué)生從網(wǎng)站獲取教學(xué)資源等,這都屬于教學(xué)系統(tǒng)與外界發(fā)生交互,這種信息交換本身就是非線性的,屬于微積分課程教學(xué)系統(tǒng)外部交互的非線性.

再者,微積分課程教學(xué)中的每一個(gè)學(xué)生就是一個(gè)非線性系統(tǒng),每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)態(tài)度、接受能力等都是有差異的.然而微積分教學(xué)過程中系統(tǒng)內(nèi)部各成員之間會(huì)在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下產(chǎn)生競爭與協(xié)同,在內(nèi)部各成員間形成相互耦合,催生有效的同向動(dòng)力,大大提升學(xué)生對微積分中問題的持續(xù)探究及集體研究能力,促使微積分課程教學(xué)更加有序發(fā)展.顯然整體的發(fā)展并非由各成員的發(fā)展簡單疊加而來,成員內(nèi)部之間的良性競爭與有效協(xié)作屬于微積分課程教學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部交互的非線性.

由此可見,微積分課程教學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部及外部的交互作用都是非線性的,非線性的內(nèi)、外動(dòng)力作用到整個(gè)微積分教學(xué)系統(tǒng)上時(shí),微小的擾動(dòng)通過非線性作用后帶來的可能是巨大的變化,從而引起系統(tǒng)質(zhì)變,導(dǎo)致系統(tǒng)走向非平衡,產(chǎn)生漲落現(xiàn)象,促使微積分課程教學(xué)系統(tǒng)走向更高級的有序.

2.4 隨機(jī)漲落是促使微積分課程教學(xué)走向有序的關(guān)鍵動(dòng)力

漲落是對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的偏離,出現(xiàn)這種偏離現(xiàn)象是隨機(jī)的、普遍的.開放的系統(tǒng)會(huì)在內(nèi)部或外部的擾動(dòng)下產(chǎn)生非線性作用力離開平衡態(tài)產(chǎn)生漲落,隨著作用力不斷變強(qiáng),最終系統(tǒng)會(huì)遠(yuǎn)離平衡態(tài),突破臨界閾值,從而轉(zhuǎn)變?yōu)楦呒壍挠行蚱胶?

微積分課程教學(xué)系統(tǒng)中的漲落主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一個(gè)是學(xué)生個(gè)體的單獨(dú)漲落,另一個(gè)是教學(xué)系統(tǒng)的整體漲落.學(xué)生通過與外界的信息交換,例如:與他人討論微積分難題、與教師溝通思路想法、網(wǎng)上學(xué)習(xí)微積分精品課程等,使得自己的知識技能體系、探究創(chuàng)新能力、情感意志品質(zhì)等不斷漲落,遠(yuǎn)離自己原有平衡狀態(tài),實(shí)現(xiàn)個(gè)體自組織發(fā)展.學(xué)生個(gè)體的漲落在非線性作用下必定對整個(gè)微積分教學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生影響產(chǎn)生漲落,隨著作用被放大,這種強(qiáng)大的動(dòng)力最終會(huì)破壞原有的教學(xué)系統(tǒng)平衡,為教學(xué)系統(tǒng)形成新的平衡創(chuàng)造條件.

然而漲落是柄雙刃劍.例如,在微積分教學(xué)過程中有同學(xué)提出了一個(gè)“奇怪”的問題,以下兩種做法會(huì)導(dǎo)致截然不同的結(jié)果.第一種是老師對于這位同學(xué)提出的問題讓同學(xué)們適度交流討論,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,這種做法極大的鍛煉了學(xué)生的思維、協(xié)作、探究能力,發(fā)揮了漲落的積極一面.另一種做法是對該學(xué)生的“奇怪”問題不聞不問,或者批評其是否在認(rèn)真聽講等,這影響了學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣,打擊了學(xué)生提問思考的積極性,此時(shí)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生失落與厭倦的情感,原本愛學(xué)數(shù)學(xué)的狀態(tài)被打破,產(chǎn)生的漲落就是消極的,個(gè)體與班級整體最終都會(huì)走向?qū)W習(xí)微積分的低級平衡狀態(tài).所以微積分課程教學(xué)過程中,要發(fā)揮好漲落的積極一面,促使教學(xué)系統(tǒng)朝著“有序—無序—高級有序”的方向發(fā)展.

上述分析表明,微積分課程教學(xué)系統(tǒng)符合自組織系統(tǒng)的四大特征,微積分課程教學(xué)過程關(guān)鍵在于,如何用好這四條理論,推動(dòng)學(xué)生個(gè)體系統(tǒng)和整體教學(xué)系統(tǒng)良好向上發(fā)展.

3 自組織理論下教學(xué)案例的設(shè)計(jì)與分析

3.1 教學(xué)案例設(shè)計(jì)的指導(dǎo)原則

自組織視角下的微積分課程教學(xué)是開放的、互動(dòng)的和啟發(fā)的,旨在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究和解決問題的能力.那么,在微積分教學(xué)過程中,教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生思維遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)的環(huán)境,讓學(xué)生敢于質(zhì)疑且發(fā)表自己的觀點(diǎn),形成創(chuàng)造性的思維模式.下面通過一則微積分教學(xué)案例——《無窮小量與無窮大量》,來說明如何在自組織視角下進(jìn)行啟發(fā)與探究式教學(xué).

3.1.1 創(chuàng)設(shè)情境,引出問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

首先在PPT上展示出歷史上三次數(shù)學(xué)危機(jī),通過快速簡單介紹三次數(shù)學(xué)危機(jī),吸引學(xué)生注意力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展并非一帆風(fēng)順,三次數(shù)學(xué)危機(jī)深刻影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展,從而引出本節(jié)課知識點(diǎn)“無窮小量”.由于此處是簡單介紹,部分學(xué)生可能會(huì)課后對所感興趣的內(nèi)容繼續(xù)查閱資料,與外界進(jìn)行物質(zhì)、能量交換,體現(xiàn)微積分教學(xué)的開放性.

3.1.2 舉出實(shí)例,引發(fā)討論,加深學(xué)生對概念的理解

引例：如何求解自由落體運(yùn)動(dòng)中t時(shí)刻的瞬時(shí)速度vt?

解：設(shè)t時(shí)刻物體處在A位置,想求此時(shí)瞬時(shí)速度,可以給t時(shí)刻一個(gè)非常微小的時(shí)間改變量Δt,那么物體就下落到B位置,由于時(shí)間非常短,可以近似的將這一段看成勻速直線運(yùn)動(dòng),AB段的路程可以表示為

(1)

AB段的平均速度可以表示為

(2)

那么當(dāng)Δt=0,B就是A,此時(shí)平均速度變?yōu)樗矔r(shí)速度,所求vt=gt.但前后出現(xiàn)矛盾,Δt做了(2)式的分母,不能為0;然而若Δt≠0,(2)式后半部分消不掉,即B位置永遠(yuǎn)不是A,得不到瞬時(shí)速度的結(jié)果.

此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生思考并分組討論問題“Δt到底是否為0?”“可以通過所學(xué)的什么知識就能完美解決?”.討論后歸納得出此處的Δt只需要趨于0即可,它與極限密不可分,就是無窮小量.

學(xué)生通過思考探究、合作討論,得到無窮小量的概念、易錯(cuò)點(diǎn),其實(shí)體現(xiàn)的是非線性作用機(jī)制中的競爭與協(xié)同,并且能夠積極促使學(xué)生打破現(xiàn)有認(rèn)知平衡,朝著學(xué)習(xí)微積分高級有序狀態(tài)發(fā)展.

3.1.3 獨(dú)立思考,類比探究,提高學(xué)生探究歸納能力

學(xué)生通過自主獨(dú)立思考,在已有“無窮小量”概念的基礎(chǔ)上,類比出“無窮大量”的概念,學(xué)生能夠從已有知識類比歸納出新的概念理論,體現(xiàn)自組織理論中“交流獲取—吸收消化—自我發(fā)展”的理念.

3.1.4 讓學(xué)生勇于發(fā)問,“奇怪”的問題是漲落的關(guān)鍵

學(xué)生通過思考可能會(huì)有一些“奇怪”的問題,這些問題是漲落的關(guān)鍵,可以幫助學(xué)生打破現(xiàn)有平衡態(tài),朝著高級有序方向發(fā)展.所以當(dāng)有學(xué)生提出這些問題時(shí),教師要給予肯定,積極引導(dǎo),幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我發(fā)展.

3.2 教學(xué)案例分析

在講授《無窮小量與無窮大量》這節(jié)內(nèi)容時(shí),有學(xué)生提出以下幾個(gè)問題,針對以下幾個(gè)問題及當(dāng)時(shí)處理方法,可以促進(jìn)學(xué)生打破現(xiàn)有平衡態(tài),朝著學(xué)習(xí)微積分的高級有序發(fā)展.

問題1：學(xué)習(xí)完無窮小的性質(zhì)后,學(xué)生提問這些性質(zhì)對無窮大量是否仍然成立?

處理方法：先讓學(xué)生思考討論,然后舉出一些例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論.

反思：該問題是書上未曾介紹的內(nèi)容,可視為一個(gè)漲落點(diǎn),目前而言有些部分可以解決,有些則不能.通過探究該漲落點(diǎn),學(xué)生可以充分認(rèn)識到類比是學(xué)習(xí)新知識的一種好方法,但是數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué),看似差不多的內(nèi)容類比后結(jié)果可能完全錯(cuò)誤,所以需要具體問題具體分析.

問題2：定理“有限個(gè)無窮小的和仍然是無窮小”中的條件“有限個(gè)”換成“無限個(gè)”定理是否仍然成立?

處理方法：先讓學(xué)生思考討論,然后舉出一些例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論.

例:求下列極限

從以上三題不難發(fā)現(xiàn),無限個(gè)無窮小的和可能是無窮小,可能是無窮大,其極限也可能是固定常數(shù).

反思：該問題可以被視為一個(gè)漲落點(diǎn),通過探究,得到的結(jié)論“無限個(gè)趨于0的量相加極限竟然可能變成無窮大”“科赫雪花曲線看似有頭有尾,只不過彎彎曲曲,其長度卻是無限”等,可能會(huì)顛覆學(xué)生的已有認(rèn)知,打破學(xué)生現(xiàn)有平衡,對于學(xué)生知識體系的構(gòu)建意義深遠(yuǎn),必將促使學(xué)生朝著高級有序發(fā)展.

問題3：無窮大量是不是也可以作比較?

處理方法：通過引導(dǎo)思考該問題答案是必然的,原因在于無窮大與無窮小可以相互轉(zhuǎn)換,“無窮大的階”可類比得到,學(xué)生通過查閱資料,整理該內(nèi)容的知識點(diǎn),下次課請學(xué)生上臺交流分享.

反思：該問題同樣可以被視為一個(gè)漲落點(diǎn),旨在鍛煉學(xué)生查閱文獻(xiàn)、歸納整理、合作探究、語言表達(dá)等能力,讓微積分的學(xué)習(xí)為今后論文寫作奠定基礎(chǔ).

4 自組織理論下教學(xué)評價(jià)的構(gòu)建

教學(xué)評價(jià)是教學(xué)活動(dòng)中不可或缺的環(huán)節(jié),是依據(jù)教學(xué)目標(biāo)對教學(xué)過程及教學(xué)結(jié)果做出價(jià)值判斷的過程,并為今后的教學(xué)決策提供指導(dǎo).后現(xiàn)代課程流派集大成者多爾曾指出,“評價(jià)的目的不是區(qū)分,而是旨在反饋,促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展”.那么就要求評價(jià)者在教學(xué)評價(jià)過程中,不能用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來評測每一位學(xué)生的發(fā)展,而應(yīng)采用多元化、動(dòng)態(tài)性的評價(jià)方式.

目前而言,微積分課程的教學(xué)評價(jià)的局限性表現(xiàn)在:評價(jià)主體唯一、評價(jià)內(nèi)容固定、評價(jià)方式簡單等.自組織理論下的微積分課程教學(xué)是開放的、互動(dòng)的,注重平等的師生交流,關(guān)注的是如何引導(dǎo)學(xué)生思考探究,促進(jìn)微積分的學(xué)習(xí)朝著高級有序發(fā)展.針對以上問題,教學(xué)評價(jià)應(yīng)該做好以下幾點(diǎn).

4.1 評價(jià)主體多樣性

自組織理論下的微積分課程教學(xué)評價(jià)主體應(yīng)該是多元的,教師、學(xué)生自己、組內(nèi)同學(xué)等均可參與其中.應(yīng)采用教師評價(jià)、學(xué)生自我評價(jià)、合作小組成員評價(jià)等相結(jié)合的方式,多方面的評價(jià)每一位學(xué)生的發(fā)展.

4.2 評價(jià)內(nèi)容多樣性

自組織理論下的微積分課程教學(xué)注重的不僅是學(xué)生對書本知識技能的掌握,更要注重學(xué)生思維、能力的發(fā)展,評價(jià)者應(yīng)該對學(xué)生的獨(dú)立思考能力、邏輯分析能力、合作探究能力、語言表達(dá)能力等做出評價(jià).

4.3 評價(jià)方式的多樣性

自組織理論下的微積分課程教學(xué)評價(jià)不能單憑一份期末試卷檢驗(yàn)學(xué)生對課程內(nèi)容的自我轉(zhuǎn)化與發(fā)展,教師可以采用以下方式與期末考試相結(jié)合,例如:階段性對學(xué)生進(jìn)行訪談,每一章內(nèi)容結(jié)束后請學(xué)生做知識點(diǎn)串講或概念圖構(gòu)建;布置課后小組研究課題,形成報(bào)告在班級分享、比賽等.

依據(jù)上述評價(jià)體系構(gòu)建原則,給出具體的教學(xué)評價(jià)指標(biāo)(表1):

表1 教學(xué)評價(jià)指標(biāo)量化表

5 小結(jié)

本文從微積分課程教學(xué)系統(tǒng)的開放性、遠(yuǎn)離平衡態(tài)、非線性作用、隨機(jī)漲落等特點(diǎn),論述了自組織理論運(yùn)用于微積分課程教學(xué)的必要性與可行性,并且探討了兼顧專業(yè)知識理解應(yīng)用與探究創(chuàng)新能力培養(yǎng)的教學(xué)案例設(shè)計(jì),構(gòu)建多元化、動(dòng)態(tài)性的課程評價(jià)體系.基于自組織理論的微積分課程教學(xué)可以鍛煉學(xué)生思維能力,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作探究能力,促使學(xué)生朝著學(xué)習(xí)微積分的高級有序狀態(tài)發(fā)展.