超聲波空化效應(yīng)沖流壓的模擬分析

高金澤,黃斐君,韓潤澤,張 昊,景鵬飛

(1. 北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875; 2. 中國科學(xué)院高能物理研究所 粒子天體物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100049)

本文探究的問題源于第34屆國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)的課題之一:浸潤在超聲波水浴中的細(xì)管像泵一樣把水提升到一個(gè)相當(dāng)?shù)母叨?如圖1. 這一現(xiàn)象被稱為超聲毛細(xì)現(xiàn)象,它是由超聲波空化效應(yīng)產(chǎn)生的沖流壓造成的[1,2]. 空化效應(yīng)是指存在于液體中的微氣核空化泡在聲波的作用下振動(dòng),當(dāng)聲壓達(dá)到一定值時(shí)發(fā)生的生長和崩潰的動(dòng)力學(xué)過程,氣泡被壓縮直至崩潰的一瞬間,會(huì)產(chǎn)生巨大的瞬時(shí)壓力[3].

圖1 未超聲浴與超聲浴對(duì)比示意圖

關(guān)于此現(xiàn)象,有的研究認(rèn)為造成細(xì)管內(nèi)液面顯著升高的空化效應(yīng)與超聲波聲壓幅值大小成正相關(guān)[2],有研究說明了超聲功率、液面高度等不同因素對(duì)空化效應(yīng)的空間分布特性的影響[4],但均未探究空化效應(yīng)產(chǎn)生的沖流壓的具體數(shù)值與在水浴內(nèi)的分布.實(shí)際上,根據(jù)超聲波聲壓、環(huán)境壓強(qiáng)和空化泡半徑等物理量將能計(jì)算空化效應(yīng)的沖流壓大小,進(jìn)而得到液面上升高度的理論值. 為了方便閱讀,本文用到的所有物理量及其含義列在表1中.

表1 物理量及其含義

1 空化效應(yīng)基本理論

1.1 宏觀力學(xué)分析

超聲波聲源位于水浴底部,近似看作點(diǎn)源. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明[5,6],僅由聲壓作用造成的水面上升高度比實(shí)際觀察到的高度要小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上,且只有聲壓幅值達(dá)到空化效應(yīng)的閾值時(shí),水面才出現(xiàn)顯著的上升。因此,聲壓對(duì)超聲毛細(xì)現(xiàn)象的直接貢獻(xiàn)很小,主要通過影響空化強(qiáng)度間接影響管內(nèi)水面的高度。故本文探究水位提升的原因主要由兩部分組成:毛細(xì)作用和超聲波特有的空化效應(yīng)導(dǎo)致的沖流壓.

液面在細(xì)管中上升的高度記為ΔH,其由毛細(xì)作用產(chǎn)生的ΔHc和超聲波的作用產(chǎn)生的ΔHp兩部分引起,如圖2所示,產(chǎn)生的總壓強(qiáng)Δp滿足

圖2 未超聲浴與超聲浴管內(nèi)水面高度對(duì)比示意圖

Δp=ρgΔH

(1)

未打開超聲波泵時(shí),毛細(xì)管內(nèi)水面在毛細(xì)作用下上升一段高度ΔHc并保持平衡,其滿足[7]

(2)

其中σ為表面張力系數(shù),ρ為液體密度,g為重力加速度,r0為細(xì)管半徑,θ是浸潤角.由于水與管壁的浸潤,對(duì)于水和潔凈的玻璃,近似有

θ≈0

(3)

則表面張力的附加壓強(qiáng):

(4)

打開超聲波泵,水面繼續(xù)上升ΔHp,滿足[6,8]

ps=ρgΔHp

(5)

ps為宏觀沖流壓,即空化效應(yīng)產(chǎn)生的壓強(qiáng)[9,10].

1.2 COMSOL仿真聲壓分布

通過COMSOL Multiphysics仿真軟件進(jìn)行仿真,得到系統(tǒng)的聲壓分布.其中,超聲波泵的超聲功率P=80 W,超聲頻率f=40 kHz,聲速c=1 482 m/s,超聲波波長λ=0.037 05 m,液體密度ρ=1 000 kg/m3.

在壓力聲學(xué)的頻域(ACPR)模塊模擬,超聲波在水浴中傳播的聲壓pr滿足亥姆霍茲方程

(6)

其中,ω為超聲波的角頻率。圓柱形水浴半徑10 cm,高20 cm,令半徑0.3 cm,高30 cm的細(xì)管插入水浴中,得到聲壓分布,如圖3所示.

圖3 容器內(nèi)聲壓分布圖

圖4 空化效應(yīng)顯著范圍示意圖

圖5 空化泡半徑R(x,t)

圖6 空化泡半徑變化率dR/dt

根據(jù)聲壓幅值可以判斷空化效應(yīng)的有效發(fā)生區(qū),并將對(duì)應(yīng)數(shù)值代入式(7) ～(11)進(jìn)行計(jì)算.

1.3 宏觀沖流壓

空化泡急劇壓縮、崩潰的瞬間會(huì)產(chǎn)生巨大的瞬時(shí)壓力,在水中形成高速噴射的沖流,沖流定向移動(dòng)產(chǎn)生宏觀沖流壓ps[11],使得細(xì)管內(nèi)液面顯著上升.

設(shè)空化泡運(yùn)動(dòng)過程絕熱,空化泡穩(wěn)態(tài)半徑為R0,瞬態(tài)半徑為R.設(shè)環(huán)境溫度為T=308.15 K,根據(jù)公式計(jì)算得介質(zhì)比熱為γ=1.33,表面張力系數(shù)為σ=0.070 4 N/m,黏度為μ=7.43×10-4Ns/m2,環(huán)境壓強(qiáng)p0=1.013×105Pa,水的飽和蒸汽壓為pv=5.63×103Pa,則由空化泡振蕩模型理論[12]：

(7)

其中pt=p0-pv+2σ/R0為與時(shí)間無關(guān)的壓強(qiáng)量,κ(R)=(R0/R)3γ為絕熱過程帶來的無量綱數(shù),與空化泡瞬態(tài)半徑有關(guān),pa是超聲浴內(nèi)的聲壓幅值.

由pt、κ、pv可以表示泡內(nèi)氣體壓強(qiáng)pin(R):

pin(R)=pv+pt*κ(R)

(8)

單個(gè)空化泡崩潰時(shí)的沖擊波產(chǎn)生的壓強(qiáng)為[13]

(9)

其中p1、p2滿足

其中r是某點(diǎn)距空化泡的距離,Λ=Rmax/Rmin,pe是周圍液體介質(zhì)的靜壓強(qiáng),pgl是空化泡達(dá)到最大半徑時(shí)泡內(nèi)的壓強(qiáng),即(8)式pgl=pin(Rmax).Rmax是空化氣泡在超聲波的負(fù)壓相逐漸膨脹的最大半徑,Rmin是之后空化氣泡在超聲波正壓相下壓縮至的最小半徑,二者可以通過MATLAB計(jì)算的R和dR/dt隨時(shí)間變化的圖像中得到,如圖7—圖9所示.

圖7 pa=1.1×105Pa時(shí)R(t)與

圖8 pa=1.4×105Pa時(shí)R(t)與

圖9 pa=1.7×105Pa時(shí)R(t)與

空化效應(yīng)發(fā)生需要液體聲壓達(dá)到一定閾值,為確定空化效應(yīng)的發(fā)生范圍,需要用到超聲波水浴中聲壓大小的分布.空化效應(yīng)發(fā)生的聲壓閾值滿足Blake聲空化閾表達(dá)式[12]：

(10)

聲壓在該閾值pB以上的區(qū)域稱為有效發(fā)生區(qū),如圖4.假設(shè)空化效應(yīng)的有效發(fā)生區(qū)為距聲源距離為D的半球形區(qū)域,設(shè)細(xì)管底部距離容器底部的距離為d,外部水面距離容器底部的距離為H.

在實(shí)際情況中,一定時(shí)間一定體積內(nèi)存在著多個(gè)空化泡,存在多個(gè)空化泡的形成和潰滅,該相變過程稱為成核事件[14].設(shè)單位時(shí)間單位體積內(nèi)成核數(shù)為成核率J,則空化效應(yīng)產(chǎn)生的壓強(qiáng)和成核率成正相關(guān),成核率滿足[15]

(11)

在室溫T=308.15 K情況下,J0滿足文獻(xiàn)[11]中定義,由式(11)可得成核率J=7.5×105sm3.

根據(jù)式(9),位于r位置的氣泡對(duì)水面的沖流壓為p(|r-d|),如圖4采用的是球坐標(biāo),θ是空間點(diǎn)的俯仰角,則空化有效發(fā)生區(qū)內(nèi)總沖流壓ps為

(12)

通過MATLAB求解常微分方程式(7),得到R和dR/dt隨時(shí)間變化的圖像,從而得到相應(yīng)的Rmax、Rmin代入式(9),再通過積分得到宏觀沖流壓ps,根據(jù)式(5)得到液面上升高度隨距聲源距離變化的理論曲線.

2 MATLAB程序模擬

設(shè)置超聲頻率f=40 kHz, 聲速c=1 482 m/s,超聲波波長λ=0.037 05 m,液體密度ρ=1 000 kg/m3,利用MATLAB模擬計(jì)算.圖5、6分別展示了空化泡半徑和空化泡半徑變化率隨時(shí)間、空間的變化情況.可見,空化泡半徑隨著時(shí)間周期性變化,且離聲源的距離越遠(yuǎn),空化泡半徑的值也越小.

分別令聲壓幅值pa為1.1×105Pa,1.4×105Pa,1.7×105Pa,空化泡的半徑及其變化率隨時(shí)間的變化如圖7～9所示.隨著聲壓幅值的增加,空化泡半徑在一個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間的振蕩現(xiàn)象顯著減弱,氣泡超聲空化現(xiàn)象的劇烈程度迅速增加.

分別將不同將聲壓幅值情況下的Rmax、Rmin從計(jì)算結(jié)果中提取出來,代入式(9),通過式(12)積分得到宏觀沖流壓ps.

3 實(shí)驗(yàn)探究

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖10所示,實(shí)驗(yàn)裝置由超聲波清洗機(jī)、有機(jī)玻璃細(xì)管、鐵架臺(tái)、刻度尺組成．

圖10 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

超聲波清洗機(jī)提供超聲波,鐵架臺(tái)用來固定細(xì)管入水深度,刻度尺用來測(cè)量細(xì)管內(nèi)液面上升高度．超聲波清洗機(jī)的超聲功率為80 W,超聲頻率為40 kHz.有機(jī)玻璃細(xì)管外徑3.0 mm,內(nèi)徑1.7 mm．實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖如圖11所示．實(shí)驗(yàn)過程中,通過手機(jī)錄像調(diào)制幀率60 fps,記錄細(xì)管管底距聲源不同距離時(shí)管內(nèi)液面上升高度,并用Tracker軟件逐幀追蹤取上升高度關(guān)于時(shí)間的平均值ΔHp.

圖11 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及理論驗(yàn)證

將有機(jī)玻璃細(xì)管置于距聲源不同距離進(jìn)行實(shí)驗(yàn),得到相應(yīng)的液面上升高度ΔHp. 實(shí)驗(yàn)值與式(12)得到的理論曲線對(duì)比如圖12,二者基本相符.橫坐標(biāo)的誤差棒由刻度尺誤差決定,縱坐標(biāo)的誤差棒由細(xì)管內(nèi)液面高度隨時(shí)間變化的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì),Tracker內(nèi)置算法、攝像時(shí)差和視頻標(biāo)點(diǎn)等的誤差約為1 mm[16],相較于液面高的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差可忽略不計(jì).

圖12 液面上升高度與距聲源的距離關(guān)系圖象

由于超聲波清洗機(jī)的超聲功率和超聲頻率不可變,本文只驗(yàn)證了液面上升高度隨管底距聲源的距離的關(guān)系. 由上述分析,超聲功率只對(duì)COMSOL模擬的聲壓有影響,超聲功率越大,聲壓幅值越大,與管底距聲源的距離減小帶來的效應(yīng)是相似的;而超聲頻率會(huì)影響空化泡的振蕩過程,在我們的理論中只用到了振蕩過程中的空化泡半徑最大值和最小值,所以對(duì)超聲毛細(xì)現(xiàn)象沒有影響. 這兩方面的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證需要功率與頻率可調(diào)節(jié)的超聲波發(fā)射儀.

4 總結(jié)

本文根據(jù)超聲空化理論對(duì)細(xì)管內(nèi)液面升高的超聲毛細(xì)現(xiàn)象進(jìn)行了解釋,探究了插有細(xì)管的超聲波水浴內(nèi)的沖流壓大小,將上升高度的實(shí)驗(yàn)值與理論值相比較,驗(yàn)證了沖流壓作用使得管內(nèi)液面高度出現(xiàn)顯著的上升.

在空化泡動(dòng)力學(xué)理論部分,通過COMSOL模擬水浴內(nèi)聲壓分布,得到聲壓的大小.利用MATLAB解偏微分方程并積分得到空化泡半徑及其變化率隨空間、時(shí)間的變化情況.計(jì)算了在不同聲壓幅值條件下空化泡半徑及其變化率隨時(shí)間的變化情況,進(jìn)而積分計(jì)算沖流壓的大小.

在實(shí)驗(yàn)操作部分,通過實(shí)驗(yàn)裝置記錄細(xì)管距聲源不同距離時(shí),管內(nèi)液面上升高度的平均值?Hp.將實(shí)驗(yàn)值與理論值對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論相符,通過空化效應(yīng)理論解釋了超聲毛細(xì)作用導(dǎo)致的細(xì)管內(nèi)液面高度上升現(xiàn)象.