用指標表示法推導(dǎo)電磁場的守恒律

李照宇

(湖南理工學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006)

電磁場的能量、動量和角動量守恒律是電磁場物質(zhì)性的表現(xiàn).在我國現(xiàn)行的電動力學(xué)教材如文獻[1-3]中,在推導(dǎo)這幾個守恒律時,普遍對其中的矢量和張量采取實體表示法,如矢量E、并矢BB、張量T等.其優(yōu)點是表達凝練,但數(shù)學(xué)抽象性較強,學(xué)習(xí)難度大,在一定程度上會影響到對推導(dǎo)過程背后物理思想的理解.作為教學(xué)的補充,本文采用指標表示法來推導(dǎo)這三個定律.

1 指標表示法

1.1 符號約定

指標表示法在近代理論流體力學(xué)和計算流體力學(xué)中被廣泛使用[4],具有書寫簡潔,運算方便的優(yōu)點,特別是當(dāng)表達式中同時出現(xiàn)張量和矢量時,更顯示其優(yōu)越性.在三維空間中,建立起右手直角坐標系,引入直角坐標xi(i=1,2,3)和坐標單位矢量ei,使用指標表示法時作如下約定:

1) 自由標.當(dāng)一個指標符號僅出現(xiàn)一次時,則該指標為自由標,須遍歷該指標所有的取值.比如ai表示一個矢量,其中i是自由標,可取1、2、3,有3個分量;Tij表示一個二階張量,其中i、j是自由標,對i和j均進行遍歷取值,從而得到9個分量.

2) 啞指標.根據(jù)愛因斯坦求和約定,當(dāng)指標重復(fù)出現(xiàn)兩次時,則對該指標的索引項進行求和,該指標稱為啞指標.比如點乘可表示為a·b=aibi,散度可表示為?·A=?Ai/?xi.

3) 克羅內(nèi)克符號δij=ei·ej.根據(jù)直角坐標單位矢量的正交關(guān)系,當(dāng)i=j時,δij=1;當(dāng)i≠j時,δij=0.

4) 置換符號εijk=ei·(ej×ek).根據(jù)直角坐標單位矢量的正交和右手螺旋關(guān)系,當(dāng)i、j、k中有2個以上指標相同時,就有εijk=0;當(dāng)i、j、k為偶排列時,εijk=1;當(dāng)i、j、k為奇排列時,εijk=-1.使用置換符號可將叉乘表示為(a×b)i=εijkajbk,旋度表示為(?×A)i=εijk?Ak/?xj.

1.2 重要性質(zhì)

在上述約定下,可以得出幾個重要性質(zhì):1) 在同一項中,啞指標可以成對地替換,比如?Ai/?xi=?Aj/?xj;2) 若克羅內(nèi)克符號δij出現(xiàn)在乘積項中,則可將其消去,同時將該項中的i、j指標相互替換,比如δijaibj=aibi=ajbj;3) 任意兩個指標交換位置時,置換符號反號,比如εijk=-εjik;4)δij和εijk之間存在著如下恒等式:εijkεilm=δjlδkm-δjmδkl.這幾個運算性質(zhì)在本文的推導(dǎo)中會反復(fù)用到.

1.3 幾個電磁基本規(guī)律的指標表示形式

根據(jù)上述規(guī)則,麥克斯韋方程組4個式子的指標形式可寫為:

(1)

(2)

(3)

(4)

從式(1)和(2)中可將電荷密度ρ和電流密度矢量Ji用場表達:

(5)

(6)

洛侖茲力密度公式的指標形式為

fi=ρEi+εijkvjBk

(7)

設(shè)空間有一區(qū)域V,其邊界為閉合曲面S.由于電荷守恒,單位時間流入S的電荷量應(yīng)等于單位時間在V內(nèi)增加的電荷量,則電荷守恒定律的積分形式可寫為

(8)

利用高斯定理,可寫出對應(yīng)的微分形式:

(9)

2 電磁場的能量守恒定律

由于電磁場的能量守恒,單位時間流入S的電磁能量,等于單位時間內(nèi)在V內(nèi)增加的電磁能量,加上電磁場對V內(nèi)電荷做功的功率.類比于電流密度矢量Ji和電荷密度ρ,引入能流密度矢量Si和電磁能量密度w,則類比于式(8),電磁場能量守恒定律的積分形式可寫為

(10)

其中p為電磁場對單位體積電荷做功的功率.上式對應(yīng)的微分形式為

(11)

為導(dǎo)出Si和w的表達式,就需將p寫成上式右側(cè)的形式.利用式(6)和(7),可將p寫成

p=fivi=(ρEi+εijkvjBk)vi=JiEi=

(12)

上面最后表達式中的第1項可以寫成

(13)

其中第3個等號用到式(2).

第2項可以寫成

(14)

合起來即有

(15)

上式即為電磁場能量守恒定律的完整表達,與式(11)對比,可得電磁場能流密度矢量:

(16)

以及電磁場能量密度:

(17)

3 電磁場的動量守恒定律

由于電磁場的動量守恒,單位時間流入S的電磁動量,等于單位時間內(nèi)在V內(nèi)增加的電磁動量,加上電磁場對V內(nèi)電荷的作用力[5].類比于式(10),可寫出電磁動量守恒定律的一般形式,略有不同的是,由于動量是矢量,所以這一形式要對每個分量j都成立,即有

(18)

其中Tij被稱為電磁場的動量流密度張量,可理解為電磁動量第j分量的“流密度矢量”;gj稱為電磁動量密度;fj為電磁場對單位體積電荷作用力.

與式(18)對應(yīng)的微分形式為

(19)

為導(dǎo)出Tij和gj的表達式,就需將fj寫成上式右側(cè)的形式.

利用式(5)—式(7),可將fj寫成

fj=ρEj+εjklJkBl=

(20)

上面最后表達式中的第1項可以寫成

(21)

第2項可以寫成

(22)

其中最后一個等號用到式(3).

第3項可以寫成

(23)

其中第2個等號用到式(2).

合起來即有

(24)

上式即為電磁場動量守恒定律的完整表達,與式(19)對比,可得電磁場動量流密度張量

(25)

以及電磁場動量密度

gj=ε0εjklEkBl

(26)

4 電磁場的角動量守恒定律

由于電磁場的角動量守恒,單位時間流入S的電磁角動量,等于單位時間內(nèi)在V內(nèi)增加的電磁角動量,加上電磁場對V內(nèi)電荷的力矩[6].類比于電磁動量流密度張量Tij和動量密度gj,引入電磁角動量流密度張量Rij和角動量密度lj,則類比于式(18),電磁場角動量守恒定律積分形式可寫為

(27)

其中εjklrkfl為電磁場對單位體積電荷的力矩.上式對應(yīng)的微分形式為

(28)

為導(dǎo)出Rij和lj的表達式,就需將εjklrkfl寫成上式右側(cè)的形式.

利用式(19),可得

(29)

上式中,第3個等號利用了?rk/?xi=?(xk-x0k)/?xi=?xk/?xi=δki的結(jié)論,其中x0k為參考點O的坐標;最后一個等號利用了動量流密度張量為對稱張量的結(jié)論,由εjilTil=εjilTli=-εjliTli=-εjilTil,可知εjilTil=0.式(29)即為電磁場角動量守恒定律的完整表達,與式(28)對比,可得電磁場角動量流密度張量

Rij=εjklTilrk=-εjlkTilrk

(30)

以及電磁場角動量密度

lj=εjklrkgl

(31)

5 總結(jié)與討論

本文利用指標法推導(dǎo)了電磁場的能量、動量和角動量守恒定律.作為對比,在表1中列出了這幾種守恒律用實體表示法表達的形式,以及其在本文中對應(yīng)指標表達形式的公式序號.

表1 電荷以及電磁能量、動量和角動量守恒律的數(shù)學(xué)表達

從文中推導(dǎo)過程可以看出,使用指標表示法有如下特點:

1) 物理思想清晰,推導(dǎo)目的明確.推導(dǎo)過程均可歸結(jié)為由物理分析寫出守恒律的一般形式,將其中已知的耗散項展開,進而得到未知的流密度項與密度項表達式的過程.

2) 物理量引入自然、意義明了.指標表示的物理量易于在類比中引入和理解.如流密度張量可類比于流密度矢量引入,從而揭示兩者共同物理內(nèi)涵.

3) 數(shù)學(xué)運算方便,難度相對較低.推導(dǎo)過程中僅用到基本的微分運算法則,無需其它數(shù)學(xué)知識如矢量與張量分析公式等,因此可降低在數(shù)學(xué)上的學(xué)習(xí)難度.

電磁場的守恒律尤其是動量和角動量守恒律的推導(dǎo),是教學(xué)的難點.在教學(xué)實踐中,通過在守恒律的推導(dǎo)中引入指標表示法,有效地促進了學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解和吸收,取得了較好的教學(xué)效果.