圓柱與圓錐鑲嵌中側(cè)面交線的軌跡問題①

侯寶坤

(上海市向明中學(xué) 200020)

1 問題的發(fā)現(xiàn)與提出

在生產(chǎn)生活中，我們經(jīng)常遇到如圖1所示的機(jī)械設(shè)備，它是一個(gè)幾何結(jié)合體.其制作關(guān)鍵是兩個(gè)幾何體在對(duì)方側(cè)面上留下的軌跡是什么. 這是一個(gè)高中階段鮮有涉及的數(shù)學(xué)建模問題.本文將對(duì)圓柱與圓錐鑲嵌問題做一些研究，揭示這類機(jī)械設(shè)備的制作原理，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一些有趣的曲線.當(dāng)圓錐與圓柱的底面相互垂直時(shí)稱為垂直鑲嵌，當(dāng)圓錐與圓柱的底面相互平行時(shí)稱為平行鑲嵌.

2 問題的探索與解決

圖1是一個(gè)圓錐垂直鑲嵌在圓柱上，在側(cè)面形成對(duì)稱的兩段交線.圖2是它的立體原理圖，其中A為交線的最高點(diǎn)，B為最低點(diǎn)，G為線段AB的中點(diǎn)；過交線上任一點(diǎn)C作平行于圓柱底面的截面，其圓心為O，與交線的另一交點(diǎn)為E，交圓柱母線AB于H；過C、E作平行于圓錐底面的截面，圓心為O1，交圓錐母線SA于F；OH、CE、O1F相交于D.設(shè)AB=2l0，SA=ρ0，SG=h0，圓錐母線與底面所成角為θ0，OH=R，O1C=r，CE=2CD=2l，∠COD=α，∠CO1D=β.

圖2 機(jī)械原理圖

圖3 y2=a+bcos cx的典型

2.1 交線在圓柱側(cè)面上的軌跡

將圓柱側(cè)面由母線AB向兩側(cè)展開成平面圖形，再以直線AB為y軸，線段AB的中垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)對(duì)稱性，我們只推證C滿足x≥0的情形：

故y2=O1D2=O1C2-CD2=r2-R2sin2α

結(jié)論1交線在圓柱側(cè)面的軌跡方程為

是一個(gè)與三角函數(shù)相關(guān)的對(duì)稱曲線.

于是，我們可以構(gòu)造一般曲線y2=a+bcoscx，(abc≠0)，并畫出它們的圖象.

2.2 交線在圓錐側(cè)面上的軌跡

以S為原點(diǎn)，SA為極軸建立極坐標(biāo)系.SC為極徑ρ，側(cè)面展開圖的圓心角∠ASC為極角θ.

所以，極坐標(biāo)方程為

結(jié)論2在圓錐側(cè)面的極坐標(biāo)方程為

特別地，當(dāng)h0=R時(shí)，得到化簡的極坐標(biāo)方程：

于是，可以構(gòu)造更一般的極坐標(biāo)方程：

由于a，b變化時(shí)圖象的形狀大致相同，下面畫出a=b=1，k在變化的一些圖象(如圖4)供大家欣賞：

2.3 溯源尋根

一般地，曲線ρ=coskθ(**)稱為玫瑰線，具有如下性質(zhì)：

(1)m，n都為奇數(shù)，曲線關(guān)于極軸對(duì)稱，不關(guān)于極垂線對(duì)稱；周期為mπ.

(2)若m，n一奇一偶數(shù)，曲線關(guān)于極軸對(duì)稱，也關(guān)于極垂線對(duì)稱；周期為2mπ.

證明因?yàn)?ρ，θ)適合方程(**)，(ρ，-θ)也適合方程(**)，故圖象關(guān)于極軸對(duì)稱.

圖象關(guān)于極垂線對(duì)稱的充要條件是：對(duì)任意適合方程(**)的(ρ，θ)，存在整數(shù)k，使得(ρ，2kπ+π-θ)或(-ρ，2kπ-θ)也適合方程(**).

所以必須有2tm=n(2k+1)或(2t+1)m=2kn.

(1)若m，n都為奇數(shù)，顯然兩式都不可能成立.

周期性證明如下：

所以，曲線的周期為mπ.

而θ=θ0+2mπ，代入顯然重合.所以，曲線的周期為2mπ，不是mπ.

同理，若n為偶數(shù)，m為奇數(shù)，亦如此. 證畢.

同理可證如下：

(1)若m，n都為奇數(shù)，曲線關(guān)于極軸對(duì)稱，不關(guān)于極垂線對(duì)稱；周期為mπ.

(2)若m，n一奇一偶數(shù)，曲線關(guān)于極軸對(duì)稱，也關(guān)于極垂線對(duì)稱；周期為2mπ.

圖5 半周期與全周期圖

3 問題的拓展延伸

當(dāng)原問題得到較圓滿的解決后，通常會(huì)類比提出相似的實(shí)際問題或純理論的數(shù)學(xué)問題，來驗(yàn)證原研究的思路和結(jié)論，盡量擴(kuò)大問題所蘊(yùn)藏的思維價(jià)值.

3.1 圓柱垂直鑲嵌在圓錐上

如圖6，A為交線的最高點(diǎn)，B為最低點(diǎn)，過交線的任一點(diǎn)G作平行于圓錐底面的平面，截圓錐為圓O1，截圓柱為矩形EFHG，EF的中點(diǎn)為D.設(shè)SO1=h0+d，CD=d，OE=r0，O1G=r，∠GO1D=α，∠COE=β，圓錐母線與其底面所成角為θ0.

圖6 圓柱鑲嵌在圓錐側(cè)面示意圖

3.1.1 交線在圓柱側(cè)面上的軌跡

將圓柱側(cè)面由母線AC向兩側(cè)展開成平面圖形，以直線AC為y軸，以過AC與ST交點(diǎn)的圓柱底面展開線為x軸，設(shè)G(x，y)，則有x=βr0，根據(jù)對(duì)稱，只研究0≤β≤π部分.

結(jié)論5在圓柱側(cè)面軌跡方程為

即(h0+r0-r0cosβ)cotθ0≥r0sinβ(***)對(duì)β∈[0，π]恒成立.

化簡，有(h0+r0)cosθ0≥r0cos (β-θ0)，

圖7 在圓柱側(cè)面上的幾個(gè)軌跡圖象

3.1.2 交線在圓錐側(cè)面上的軌跡

以SA所在直線為極軸，向兩側(cè)展開圓錐，展開圖的圓心角∠ASG=θ，SG=ρ.

=(2r0-ρsinθ0+h0)(ρsinθ0-h0)，

結(jié)論6交線在圓錐側(cè)面上的極坐標(biāo)方程為

(2r0-ρsinθ0+h0)(ρsinθ0-h0)

所以，極角θ范圍為

圖8 在圓錐側(cè)面上的幾個(gè)軌跡圖象

特別地，當(dāng)h0=0時(shí)，

取不同的r0，k，畫出圖象(如圖9)供大家欣賞：

圖9

如果對(duì)周期比較大的曲線畫出不同區(qū)間的圖象(如圖10)，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)曲線都有以最短極徑為半徑的內(nèi)切圓和以最長極徑為半徑的外切圓.

圖10

3.2 圓柱與圓錐平行鑲嵌

如圖11，圓柱和圓錐平行鑲嵌，交線的最高點(diǎn)為A，最低點(diǎn)為E，圓錐底面圓心為D，圓柱底面圓心為O，P為交線上任一點(diǎn)，PT垂直底面于T.設(shè)圓柱的底面半徑為r，∠EOT=β，圓錐的底面半徑為R，∠EDQ=α，SD=h0，SE=ρ0，AC=l0.

3.2.1 交線在圓柱側(cè)面上的軌跡

結(jié)論7圓柱與圓錐平行鑲嵌時(shí)，交線在圓柱側(cè)面的軌跡方程為

3.2.2 交線在圓錐側(cè)面上的軌跡

又r2=DT2+(R-r)2-2DT(R-r)cosα，再利用(*)化簡得：

結(jié)論8圓柱與圓錐平行鑲嵌時(shí)，交線在圓錐側(cè)面的軌跡方程為

圓柱與圓錐平行鑲嵌時(shí)，圖象比較簡單，這里不再畫出.

4 探究啟示

許多數(shù)學(xué)問題來源于現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)學(xué)研究的初步設(shè)想往往是生活需求激發(fā)的，本文就是由生活中的發(fā)現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)探究.但數(shù)學(xué)又應(yīng)當(dāng)高于生活，生活給了研究的靈感，研究不應(yīng)局限于生活中最原始的例子，應(yīng)當(dāng)做適當(dāng)?shù)念惐?、挖掘，作更一般的推廣拓展，實(shí)現(xiàn)“由例到類”的思維跨越.后兩種情形探索既體現(xiàn)了研究過程對(duì)理論的自覺追求，又凸顯了理論對(duì)研究過程的引導(dǎo)與統(tǒng)率功能，從而提高了問題的思想深度，提升了研究的思維層次和理性價(jià)值.

通過上述探究過程發(fā)現(xiàn)，圓錐與圓柱鑲嵌時(shí)側(cè)面交線的軌跡與三角函數(shù)有緊密關(guān)聯(lián)，交線在圓柱側(cè)面上的軌跡圖形相對(duì)簡單，在圓錐側(cè)面上的軌跡圖形形式多樣，注意靈活選用坐標(biāo)形式，降低解題難度.在圓錐側(cè)面的軌跡變化多端、賞心悅目，所有變化與圓錐母線與底面夾角的關(guān)系特別緊密，主要體現(xiàn)在式(*)的反復(fù)應(yīng)用和曲線類型的變化上.組合體研究的關(guān)鍵在于發(fā)揮公共元素的橋梁作用，從而建立不同圖形間元素的聯(lián)系，解題時(shí)要抓牢、善用.對(duì)問題的研究要善于類比、挖掘問題的各種變化，努力尋找問題變化背后的規(guī)律，歸納出問題所蘊(yùn)含的思想根源，抓住典型問題，牽一發(fā)而動(dòng)全身，主動(dòng)實(shí)現(xiàn)思維提升.

高中階段對(duì)立體幾何軌跡的研究主要集中在平面上，對(duì)側(cè)面(曲面)上軌跡的研究極為少見.如果能對(duì)這類問題尋找一個(gè)適合的情境，提出的問題比較新穎，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高參與探究的積極性，研究過程有利于學(xué)生立體感的培養(yǎng)；通過底面、側(cè)面，以及不同幾何體間的切換，有利于學(xué)生綜合認(rèn)識(shí)組合體的性質(zhì)；利用圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中化曲為直的思維方式；直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的不同選擇，既體現(xiàn)了研究幾何問題的不同手段，也體現(xiàn)了算法工具與算法思想的化簡價(jià)值.本案例體現(xiàn)了生活處處有數(shù)學(xué)，本研究可以用作學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的素材，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)美，直、平、曲的自然出現(xiàn)、有機(jī)融合吸引了學(xué)生的目光、震撼了心靈，凸顯了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和深刻的思想性.