關(guān)于對(duì)數(shù)平均的一個(gè)不等式的推廣

李鴻昌 徐章韜

(1.北京師范大學(xué)貴陽(yáng)附屬中學(xué) 550081；2. 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 430079)

1 引言

定義兩個(gè)正數(shù)a和b的廣義對(duì)數(shù)平均(Stolarsky平均)[1]為：

1975年，Stolarsky.K.B[2]證明了：當(dāng)a≠b時(shí)，Lr(a，b)是r的嚴(yán)格遞增函數(shù).

經(jīng)過(guò)計(jì)算，可得：

由Lr(a，b)的單調(diào)性和性質(zhì)1，得到：

性質(zhì)2當(dāng)b>a>0時(shí)，Lr(a，b)有不等式鏈

L-∞(a，b)<…

即

則上式即

G

(1)

1972年，B.C.Carlson[4]對(duì)G，L，A的關(guān)系進(jìn)行了探究，得到

(2)

2001年，J.Sandor[5]對(duì)G，I，A的關(guān)系進(jìn)行研究，得到

(3)

受(3)式的啟示，姜衛(wèi)東[6]研究了G，L，A之間的類似關(guān)系，得到

(4)

文[6]將(4)式進(jìn)行推廣，得到如下的一般結(jié)論.

L2<λG2+(1-λ)A2.

L2>λG2+(1-λ)A2.

筆者在研讀文[6]時(shí)，發(fā)現(xiàn)定理1中λ的范圍還可以修訂，而定理2是錯(cuò)誤的，應(yīng)改為：

定理2′設(shè)λ≥1，則L2>λG2+(1-λ)A2.

筆者繼續(xù)探索G，L，A之間的關(guān)系，然后將(2)、(4)式進(jìn)行推廣，且得到了更一般的結(jié)論.

2 一個(gè)引理

證明由(1)式知

(5)

即

引理得證.

3 主要結(jié)果及證明

經(jīng)過(guò)探索，筆者將(2)、(4)式進(jìn)行推廣，得到：

定理3設(shè)n>1，n∈N*，則

受到定理2′的啟示，筆者繼續(xù)探索，發(fā)現(xiàn)定理3中的指數(shù)n只要是大于0的實(shí)數(shù)都成立，于是將定理3推廣得到：

Ls<λGs+(1-λ)As.

(2)設(shè)λ≥1，s>0，則Ls>λGs+(1-λ)As.

證明不妨設(shè)b>a，令t=lnb-lna，

Ls-λGs-(1-λ)As

s(λ-1)(chx)s-1·shx

s(λ-1)(chx)s-1·shx

設(shè)

g(x)=xchx-shx+(λ-1)x2shx，x>0，

則

g′(x)=chx+xshx-chx+(λ-1)(2xshx+x2chx)

=x[(2λ-1)shx+(λ-1)xchx].

又λ-1<0，所以(λ-1)xchx<(λ-1)shx，

又shx>sh0=0，因此

g′(x)

=(3λ-2)xshx≤0.

從而g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)

顯然，ch0=1. 由洛必達(dá)法則，知

所以f(x)

對(duì)于(2)，當(dāng)λ≥1時(shí)，

又shx>sh0=0，λ-1≥0，所以

s(λ-1)(chx)s-1·shx

從而f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)=0，故Ls>λGs+(1-λ)As.

評(píng)析經(jīng)過(guò)恒等變形，把對(duì)數(shù)平均不等式問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化成了雙曲函數(shù)不等式問(wèn)題，形式簡(jiǎn)單、漂亮. 構(gòu)造函數(shù)f(x)，求導(dǎo)后利用引理進(jìn)行放縮，再結(jié)合λ的范圍，可得到f(x)的單調(diào)性，從而不等式得證. 定理的證明方法新穎，證明過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了.