融合案例的線性代數(shù)課程教學(xué)實踐

周儒省，柴華金

融合案例的線性代數(shù)課程教學(xué)實踐

周儒省，柴華金

（廣東海洋大學(xué) 計算機科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 陽江 529500）

結(jié)合當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)所遇到的困擾——高度抽象脫離實際生活背景與現(xiàn)代工程技術(shù)應(yīng)用場景，且理論門檻高，缺乏具體形象化案例等，根據(jù)教學(xué)實踐，從知識內(nèi)容的理解與鞏固、理論框架的拓展與優(yōu)化等方面構(gòu)建不同類型的案例，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)其求知欲，提高學(xué)習(xí)效率，進而達到優(yōu)化課程教學(xué)的目的．

線性代數(shù)；案例教學(xué)法；課程優(yōu)化；課程教學(xué)

線性代數(shù)的理論與方法在現(xiàn)代工業(yè)技術(shù)、自然科學(xué)、管理學(xué)、社會學(xué)以及經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的研究中具有廣泛而重要的應(yīng)用[1-3]，是高校理工科及經(jīng)管類等專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，不僅為后續(xù)專業(yè)課程理論學(xué)習(xí)提供必備的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，更能促進學(xué)生抽象思維、邏輯演算、空間想象以及建模求解等能力的培養(yǎng)[4-7]，讓學(xué)生學(xué)會以線性代數(shù)的方法提出問題、分析問題以及解決問題[8-9]，進而提升的學(xué)生綜合素質(zhì)能力．

然而，傳統(tǒng)的線性代數(shù)課堂教學(xué)中，由于培養(yǎng)目標不明確，教學(xué)方式比較單一，教師更傾向于線性代數(shù)理論知識的傳授與演算，與現(xiàn)實結(jié)合的案例比較少，亦不注重知識內(nèi)容與相關(guān)專業(yè)的鏈接，這樣會導(dǎo)致學(xué)生難以建立起系統(tǒng)化的知識框架，對線性代數(shù)產(chǎn)生一種內(nèi)容抽象難懂且用處不大的錯覺，不清楚線性代數(shù)知識理論有何用途，能解決什么問題，無法將所學(xué)知識融合進專業(yè)學(xué)習(xí)中，進而極大地降低對相關(guān)知識的學(xué)習(xí)興趣，影響其學(xué)習(xí)效果．針對這些問題，眾多學(xué)者對線性代數(shù)的教學(xué)進行了較為系統(tǒng)的研究，如文獻[10]結(jié)合三元線性方程組，導(dǎo)入行列式的定義并引出“愛情行列式”等有趣的案例吸引學(xué)生注意力，激發(fā)其求知欲；文獻[11-16]從特征值、特征向量在大數(shù)據(jù)中的應(yīng)用和藥物配置引出向量線性相關(guān)性，以捕食者與被捕食者系統(tǒng)問題等為案例，以鞏固提高為主要目的進行了深入的教學(xué)探討．這些都是針對于某個知識點而言的，文獻[17-18]則從課程發(fā)展史、增強民族自豪感和文化自信感、利用特征值與特征向量在Google搜索引擎PageRank排序算法中的應(yīng)用激勵學(xué)生學(xué)以致用、報效祖國等不同的方面挖掘思政元素，充分地探討了如何進行線性代數(shù)課程思政，然而對線性代數(shù)整體的課堂或者課程教學(xué)相關(guān)研討卻比較少．以某個知識點導(dǎo)入，固然清晰明了且針對性強，但缺少全局架構(gòu)觀，不能以點繪線，以線拓面，多角度全方位地提升教學(xué)效果．

本文從理論知識的內(nèi)化、鞏固，知識結(jié)構(gòu)的提高與優(yōu)化等整個課堂教學(xué)架構(gòu)出發(fā)，考慮如何利用案例教學(xué)法來調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性，通過實例有步驟、有次序并帶有目的性地誘發(fā)其主動思考，積極探索，深入鉆研，激發(fā)其自主學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)時效，使線性代數(shù)課堂教學(xué)成為高效課堂；此外，通過實際的應(yīng)用案例，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合線性代數(shù)相關(guān)理論多方位、多角度地進行深層次的探究，使學(xué)生深刻理解內(nèi)容的相關(guān)背景與應(yīng)用實景，掌握知識的內(nèi)涵與外延，對知識能融會貫通并舉一反三，同時，可以讓學(xué)生明白所學(xué)線性代數(shù)理論知識并非毫無應(yīng)用價值，而是與現(xiàn)實生活及所學(xué)專業(yè)緊密聯(lián)系的．

1　實例情景導(dǎo)入，內(nèi)化理論知識

線性代數(shù)課程中有比較多的概念、性質(zhì)以及定理等，部分知識對學(xué)生來說極具抽象性，晦澀難懂，如若直接或僅以純數(shù)學(xué)理論背景引出相應(yīng)內(nèi)容，對部分初學(xué)者而言接受起來非常困難，只知其表不知其里，進而造成其對理論知識把握不牢固、理解不透徹、應(yīng)用不貫通，將嚴重挫傷學(xué)生深入鉆研的熱情．為此，教師應(yīng)當(dāng)引用一些鮮活的現(xiàn)實生活問題或?qū)嵗鳛榍腥朦c，引出相應(yīng)的理論內(nèi)容，讓學(xué)生親身領(lǐng)悟線性代數(shù)有其深厚的實際背景，與現(xiàn)實生活息息相關(guān)，并非“空穴來風(fēng)”，進而讓學(xué)生結(jié)合實例深入理解掌握定義和定理的內(nèi)涵，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，繼而提升課堂時效．

對于矩陣的概念與運算，目前較多教材均直接以數(shù)字表格進行導(dǎo)入，很大程度上給學(xué)生的印象也只停留于此，根本不清楚其在現(xiàn)實生活中有何應(yīng)用場景．若僅以教材中數(shù)字表格來引入，讓學(xué)生被動接受，將會極大程度地降低他們的求知欲，極易削弱其自主學(xué)習(xí)的積極性，因此不妨結(jié)合學(xué)生所熟悉的公交路線案例作為切入點，促使學(xué)生深入掌握矩陣的定義與運算，起到事半功倍之效．

案例1某縣城在A，B，C，D，E 5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)之間開通若干條公交線路，其通行情況見圖1．若甲家鄉(xiāng)在A鄉(xiāng)鎮(zhèn)想去鄉(xiāng)鎮(zhèn)C走訪親戚，但時間充裕，可以選一個其他鄉(xiāng)鎮(zhèn)游玩后再去走訪親戚，即由鄉(xiāng)鎮(zhèn)A中轉(zhuǎn)一次再到鄉(xiāng)鎮(zhèn)C，計算有多少種通行情況．

圖1 鄉(xiāng)鎮(zhèn)公交線路

圖形雖然直觀明了，但若鄉(xiāng)鎮(zhèn)增加到一定的情況時，線條將縱橫交錯，相應(yīng)的圖形看起來復(fù)雜且易出錯，進而引導(dǎo)學(xué)生換用表格表示，如“1”表示兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)開通公交線路，“0”表示兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)不開通公交線路，則鄉(xiāng)鎮(zhèn)間公交線路開通情況可用表1表示．

表1　鄉(xiāng)鎮(zhèn)間公交線路開通情況

公交路線案例貼切現(xiàn)實生活，既能使學(xué)生明白矩陣有其深刻的實際背景，促進其加深對矩陣的概念與運算更深入的認識，而非僅停留于矩陣只是個數(shù)表的表面理解，又能讓學(xué)生進一步地領(lǐng)悟課堂所學(xué)內(nèi)容源自于生活并應(yīng)用于生活，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實際生活積極探討相應(yīng)知識內(nèi)容的本質(zhì)，熟悉其內(nèi)在核心價值含義，拓展其知識涉及面，強化其知識理解，使其能潛移默化地結(jié)合生活關(guān)聯(lián)，逐步地探索求知，進而提升他們的學(xué)習(xí)興趣．

2　解決實際難題，強化知識技能

學(xué)生之所以覺得線性代數(shù)難學(xué)，很大程度上歸結(jié)于目前的課堂教學(xué)與教材過分局限于純數(shù)學(xué)理論知識的運算與推理，缺乏足夠的結(jié)合實際問題的應(yīng)用訓(xùn)練，只專注于理論內(nèi)容的掌握，雖對相應(yīng)知識技能有一定的熟練程度，卻無處發(fā)揮，只知理論不知何用，久而久之，相應(yīng)的技能因少用乃至不用而退化，繼而淡忘，終歸虛無，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率大打折扣，同時無形中影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性．為此，教師應(yīng)在課堂教學(xué)中穿插一些現(xiàn)實中遇到的問題，讓學(xué)生利用所學(xué)知識進行解答，使學(xué)生覺得知識學(xué)有所用，體會到學(xué)習(xí)的成功喜悅，這樣可以使學(xué)生鞏固掌握所學(xué)內(nèi)容，提高課堂教學(xué)效果．

線性無關(guān)是線性代數(shù)教學(xué)中一個難點，枯燥無味的理論使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅覺得抽象難懂，而且覺得毫無用處，聽教師講時覺得自己也會，但一到自己動手來做就無從下手，并且過了一段時間就會遺忘，因此導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高．若穿插生活中實際難題來引導(dǎo)學(xué)生進行解決，不僅可以吸引學(xué)生的注意力，讓其集中精力解決相關(guān)問題，在問題解決過程中鞏固知識，又能體會學(xué)有所用，切身體會到成功的喜悅感，促進學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高．

案例2某藥店有A，B，C，D４種藥物，可根據(jù)不同比例組成4種處方，各用量成分見表2．某病人需購買第4號處方，但第4號無庫存，不考慮處方復(fù)原細節(jié)要求，問該藥店能否結(jié)合庫存配出該病人要買的第4號處方．

表2　處方成分　 　　kg

對于線性表示一直都是學(xué)生感覺比較抽象難懂的，案例2結(jié)合藥方配置現(xiàn)實難題，逐步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識，能快速地讓學(xué)生明白線性表示的相關(guān)內(nèi)容，熟悉相關(guān)知識內(nèi)容的應(yīng)用之處，讓他們學(xué)以致用，體會到知識的用處，使其不僅能知其然更能知其所然，進而達到融會貫通．此外，通過解決生活中的難題能讓學(xué)生于生活中不斷領(lǐng)悟、探討、鉆研，將自身所學(xué)的東西應(yīng)用于實際生活，逐漸提升自己的綜合能力．

3　串聯(lián)專業(yè)背景，深化理論體系

線性代數(shù)與許多學(xué)科知識有著密切的關(guān)聯(lián)，教師在傳授理論知識的同時串聯(lián)專業(yè)應(yīng)用背景，對學(xué)生的學(xué)習(xí)會產(chǎn)生意想不到的效果，如學(xué)習(xí)到逆矩陣時，對于計算機專業(yè)的學(xué)生插入信息傳遞的保密性，利用逆矩陣對傳輸信息進行加密再解密，啟發(fā)學(xué)生，使其不由自主地將相關(guān)理論知識與自己所學(xué)專業(yè)內(nèi)容進行有機融合，這樣不僅能鞏固自己的知識內(nèi)容，更能拓展自己的理論架構(gòu)，強化知識體系，從更高的維度、多方面的角度對待不同的知識點，逐步形成自身的知識思維導(dǎo)圖，進而促使學(xué)生不斷地完善自己的學(xué)習(xí)方法，激發(fā)其產(chǎn)生強烈的求知欲，不斷探討、不斷積累、不斷提升，長此以往，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力會有較大的提升．

特征值與特征向量是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容，應(yīng)用方面也十分廣泛，但多數(shù)教材僅僅介紹其求法，教師于授課之時也僅局限于教材，導(dǎo)致學(xué)生對該知識點覺得過于抽象，只知求法，卻不知用法，更不了解其應(yīng)用背景，若通過實例加以引導(dǎo)，學(xué)生將對其有更加深刻的印象．

案例3假設(shè)某地級市總?cè)丝跀?shù)量不變，每年有30%的人口從鄉(xiāng)鎮(zhèn)遷移到城市，同時有10%的人口從城市遷移到鄉(xiāng)鎮(zhèn)，目前該地級市城市人口數(shù)量為400萬，鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)量為200萬，問題；（1）求1年后該地級市的城市人口和鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)量分別是多少；（2）隨著實際時間的變遷，城鄉(xiāng)人口會逐漸趨于穩(wěn)定，此時城市人口和鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)量分別是多少．

對于問題（1），很多學(xué)生會直接通過計算“不遷移人口+遷入人口”得到結(jié)果，此時教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的矩陣相關(guān)知識來求解．

對于特征值與特征向量相關(guān)內(nèi)容，由于課時的限制，教師往往就只傳授學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的求解，而對其有何應(yīng)用只字不提，學(xué)生無法體會其實用性，學(xué)習(xí)效果更是大打折扣．案例3結(jié)合人口遷移專業(yè)知識引導(dǎo)學(xué)生利用特征值與特征向量進行求解，能讓學(xué)生結(jié)合自己的專業(yè)更深入地學(xué)習(xí)線性代數(shù)，使其明白專業(yè)知識與線性代數(shù)緊密關(guān)聯(lián)，讓線性代數(shù)相關(guān)知識體系不再只局限于基礎(chǔ)理論課，拓展學(xué)生的理論體系，深化其對知識的理解，同時激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望．此外，學(xué)生在課堂知識結(jié)合專業(yè)理論的的案例引導(dǎo)下，不知不覺地養(yǎng)成將所學(xué)知識理論延伸至其他專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的思維習(xí)慣，各個知識要點不再是孤立的點或域，而是有機地串聯(lián)在一起，繼而促進學(xué)生各方面的學(xué)習(xí)，也提高了教師的課堂效果．

4　巧借軟件計算，優(yōu)化知識框架

線性代數(shù)在現(xiàn)代技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如計算機領(lǐng)域，借助先進的科學(xué)技術(shù)能大幅度地減少各方面的工作量．線性代數(shù)涉及的計算比較多，如計算行列式、矩陣的運算（數(shù)乘、乘法與冪次等）、矩陣的初等變換以及特征值和特征向量的求法等．對于低階的計算，通過簡單的手算即可，但高階運算不僅繁瑣，運算量也成指數(shù)倍增加，而且容易出錯，實際應(yīng)用中將會耗損大量的時間與精力，極大地降低了工作效率．在計算方面，在課堂教學(xué)中可結(jié)合現(xiàn)代計算技術(shù)軟件如Matlab等，僅需輸入幾行代碼就可得到相應(yīng)的結(jié)果，避免過度繁瑣的手工計算，從而大幅度地減少計算量，壓縮時間，提升工作效率．如此教學(xué)模式不僅使學(xué)生深感時代的進步，掌握相應(yīng)的技能，而且能大幅度地降低學(xué)生所面臨的計算壓力，使其集中精力于理解相應(yīng)的原理與應(yīng)用，進而優(yōu)化自己的知識框架，提升學(xué)習(xí)效率，此外，還能增加自身的動手操作能力．

對于案例1～3來說，手工計算還是需要過多的演繹，在實際工作生活中不僅耗費大量的時間精力，而且容易出錯，但若利用相關(guān)軟件，可以僅用幾行代碼就能輕松解決．這樣的優(yōu)劣對比式計算教學(xué)方式能夠吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在課堂上不由自主地緊跟教師的教學(xué)節(jié)湊，認真學(xué)習(xí)并掌握相應(yīng)的理論方法，同時，也促使學(xué)生在課后及時進行軟件操作演練．

A=[1 0 1 3；1 3 1 0；2 1 2 5；4 2 0 2]；sA=rref（A）

P=[3 -1；1 1]；inv（P）

A=[0.9 0.3；0.1 0.7]；[X,V]=eig（A）

知識原理的理解與技能的掌握對學(xué)生而言是必須的，而且是必不可少的，對于部分運算的計數(shù)，動手固然可以，卻過多損耗時間，繁而不必，結(jié)合現(xiàn)代先進軟件計算往往只需幾行代碼，可以大幅度地縮短耗時．教師在授課之時引入先進的軟件算法，使學(xué)生能將更多時間與精力集中于知識的原理與技能方面，日后可避免做過多的無用功，優(yōu)化學(xué)生的知識框架體系，促進他們更好地將理論與現(xiàn)代先進技術(shù)有機地融合．同時，先進軟件算法的使用能使學(xué)生緊跟時代步伐、與時俱進，在學(xué)習(xí)知識原理之時掌握部分現(xiàn)代先進技術(shù)，激發(fā)其求知探索欲望，不斷地促使其努力學(xué)習(xí)．

5　結(jié)語

如何提升課堂教學(xué)時效，優(yōu)化課程教學(xué)是一個不斷實踐探索的過程．在此過程中，學(xué)生是主體，教師是關(guān)鍵，教師應(yīng)結(jié)合自身的經(jīng)驗，從生活背景及專業(yè)應(yīng)用場景中構(gòu)建符合學(xué)生認知水平與知識體系的實際案例，誘發(fā)其自主思考、積極探索、奮力鉆研，不斷深入理解并掌握知識的內(nèi)涵與外延，拓展其思維框架體系．

對線性代數(shù)更是如此，在課堂教學(xué)過程中應(yīng)有效地融入適當(dāng)?shù)陌咐?，讓理論?lián)系實際并串聯(lián)專業(yè)背景，進而使抽象的知識內(nèi)容形象具體化，更利于學(xué)生接受新的知識，掌握新的技巧，并于此教學(xué)中學(xué)生能潛移默化地將遇到的實際生活問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題進行分析、探討并最終得到有效的解決，繼而使學(xué)生掌握必備知識技能之余激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，拓展其理論體系，開闊其學(xué)習(xí)視野，提高學(xué)生提出問題、分析問題以及解決問題的能力．構(gòu)建案例時要注意：（1）導(dǎo)入案例應(yīng)貼切實際生活，便于學(xué)生接受，易于掌握知識的內(nèi)涵與外延；（2）案例所涉及的知識內(nèi)容應(yīng)具有針對性強且難易程度適中等特點，利于學(xué)生對知識的鞏固與提升；（3）應(yīng)緊密結(jié)合學(xué)科背景構(gòu)建合適案例，促使數(shù)學(xué)知識融入專業(yè)知識，利于后期專業(yè)學(xué)習(xí)，此外應(yīng)融入適當(dāng)?shù)默F(xiàn)代技術(shù)，更利于學(xué)生多方位發(fā)展．簡而言之，構(gòu)建案例應(yīng)當(dāng)注重時序性，既要符合學(xué)生以往的學(xué)習(xí)積累，也要遵循學(xué)生目前的接納規(guī)律，還要注重為學(xué)生將來的專業(yè)學(xué)習(xí)或深造奠定基礎(chǔ)．適宜的案例既能優(yōu)化課堂時效，更能激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使其不斷地進步和提高．

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Practice of teaching linear algebra course with case integration

ZHOU Rusheng，CHAI Huajin

（School of Computer Science and Engineering，Guangdong Ocean University，Yangjiang 529500，China）

Based on the current difficulties faced by students in learning linear algebra，such as high abstraction and detachment from practical life backgrounds and modern engineering technology application scenarios，as well as the high theoretical threshold and lack of concrete and visualized cases，different types of cases are built from the understanding and consolidation of knowledge content，the expansion and optimization of the theoretical framework and other aspects according to the teaching practice．These help to attract students′ attention，stimulate their curiosity，improve their learning effect，and thus achieve the purpose of optimizing course teaching．

linear algebra；case teaching method；course optimization；course teaching

1007-9831（2023）09-0070-06

O151.21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.09.015

2023-02-25

2022年廣東海洋大學(xué)教育教學(xué)改革項目（PX-131223557）——案例教學(xué)法融入《線性代數(shù)》課程教學(xué)的研究與實踐

周儒省（1986-），男，廣東茂名人，講師，碩士，從事調(diào)和分析研究．E-mail：zrs@gdou.edu.cn