四元數(shù)矩陣方程X2+BX+XB*+Q=0的Hermite正定解

姚祎雯, 黃敬頻

(廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 廣西 南寧 530006)

0 引言

本文研究二次四元數(shù)系統(tǒng)

X2+BX+XB*+Q=0

(1)

的Hermite正定解,其中B∈n×n,Q>0(Hermite正定)是已知四元數(shù)矩陣,X∈n×n是未知四元數(shù)矩陣.

二次矩陣方程(1)是Lyapunov矩陣方程的推廣形式,它在穩(wěn)定性理論、最優(yōu)控制、高速信號(hào)處理及數(shù)字采樣控制等方面有廣泛應(yīng)用[1,2].關(guān)于Lyapunov類型方程的研究目前已取得許多成果[3-7].近年來對(duì)實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上非線性矩陣方程的研究較為活躍.例如,文獻(xiàn)[8,9]討論了與M-矩陣相關(guān)的一類實(shí)二次矩陣方程X2-EX-F=0解的性質(zhì)及其迭代方法; 文獻(xiàn)[10,11]研究了實(shí)二次矩陣方程XTDX+AX+XTB+C=0和AXA=XAX的解; 2019年,文獻(xiàn)[12]研究了實(shí)矩陣方程A0+A1X+A2X2=X的一般解, 同年,文獻(xiàn)[13]應(yīng)用保結(jié)構(gòu)加倍算法討論了非線性方程組X-A*Y-1A=In,Y-B*X-1B=In的正定解; 2021年,文獻(xiàn)[14]討論了復(fù)矩陣方程Xs+A*X-tA=Q的Hermite正定解存在條件及迭代方法,同年,文獻(xiàn)[15]在一定條件下通過轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的方法討論了四元數(shù)二次系統(tǒng)XAX-BX=P的正定解.綜合說明,有關(guān)四元數(shù)非線性矩陣方程的研究甚少,究其原因主要在于四元數(shù)乘法的非交換所致.本文目的是討論二次四元數(shù)系統(tǒng)(1)的Hermite正定解及其擾動(dòng)分析.

為A的復(fù)化算子.關(guān)于四元數(shù)矩陣A的復(fù)化算子具有下列運(yùn)算性質(zhì)[16]

1 正定解存在條件

定理1設(shè)B∈SCn(),Q>0,則矩陣方程(1)存在正定解的必要條件是B<0.

證明:由于B∈SCn(),Q>0,因此當(dāng)方程(1)存在正定解X時(shí),可得

BX+XB=-X2-Q<0

(2)

對(duì)矩陣B作酉對(duì)角分解:B=UΣBU*,其中ΣB=diag(λ1,λ2,…,λn),代入不等式(2)得

UΣBU*X+XUΣBU*=-X2-Q

于是有

ΣBU*XU+U*XUΣB=U*(-X2-Q)U<0

(3)

記U*XU=(xij)n×n,代入不等式(3)左邊得

(4)

由X>0可知xii>0(i=1,2,…,n),所以由不等式(4)可得λ1,λ2,…,λn<0,即B<0.

證畢.

定理2設(shè)方程(1)的系數(shù)矩陣B<0, 且存在正數(shù)δ1>1使得

2δ1M-δ12I≤Q≤2M-I

(5)

其中M=-B>0, 則方程(1)存在正定解X且有I≤X≤δ1I.

證明:定義正定矩陣集合

Ψ={X:I≤X≤δ1I,δ1>1}.

令φ(X)=MX+XM,則?X∈Ψ,MX的特征值滿足

又因?yàn)镸X+XM∈SCn(),且由特征值不等式有λ(MX+XM)>0, 因此φ(X)>0.易知當(dāng)X1,X2∈Ψ,X1>X2時(shí)有φ(X1)>φ(X2), 因此φ(X)在Ψ上嚴(yán)格遞增.下面把矩陣方程(1)等價(jià)地寫成

X=(MX+XM-Q)1/2

(6)

并記

h(X)=(MX+XM-Q)1/2

(7)

于是?X∈Ψ,利用φ(X)的單調(diào)性可得

所以h(Ψ)?Ψ.從而h(X)在凸集Ψ上必存在不動(dòng)點(diǎn)X,即方程(1)存在正定解X且I≤X≤δ1I.

證畢.

定理3設(shè)方程(1)的系數(shù)矩陣滿足P=I-(B+I)(B+I)*>0, 且存在正數(shù)δ2>0使得如下矩陣不等式成立

δ2BB*≤Q≤δ2P-δ22I

(8)

則方程(1)存在正定解X且0

證明：把矩陣方程(1)等價(jià)地寫成

X=(B+I)X(B+I)*+X2-BXB*+Q

(9)

記

f(X)=(B+I)X(B+I)*+X2-BXB*+Q

(10)

則方程(1)等價(jià)于X=f(X).現(xiàn)定義正定矩陣集合

Ω={X:0≤X≤δ2I,δ2>0}

?X∈Ω,利用條件P=I-(B+I)(B+I)*>0及不等式(8)可得

所以f(Ω)?Ω.從而f(X)在凸集Ω上必存在不動(dòng)點(diǎn)X,即方程(1)存在正定解X且有

0

證畢.

定理4設(shè)方程(1)的系數(shù)矩陣滿足B+B*<0,且存在正數(shù)δ3>0使得

δ32I+δ3(B+B*)+Q≤0

(11)

則方程(1)存在正定解X且0

證明:引入?yún)?shù)α>0, 使得αI-B非奇異,并把方程(1)等價(jià)寫成

(12)

記

(13)

則方程(1)等價(jià)于X=g(X).現(xiàn)定義正定矩陣集合

Φ={X:0≤X≤δ3I,δ3>0}

?X∈Φ, 注意到BXB*≥0,B+B*<0,以及條件(11)可得

0(αI-B)-1(δ3BB*+δ32αI+δ3α2I+αQ)
[(αI-B)-1]*=(αI-B)-1[δ3(αI-B)
(αI-B)*+δ32αI+δ3αB+δ3αB*+αQ]
[(αI-B)-1]*=δ3I+α(αI-B)-1
[δ32I+δ3(B+B*)+Q][(αI-B)-1]*≤δ3I

從而f(Φ)?Φ,因此f(X)在凸集Φ上必存在不動(dòng)點(diǎn)X,即方程(1)存在正定解X且0

證畢.

注下面討論當(dāng)系數(shù)矩陣B,Q給定時(shí),如何估計(jì)出使得不等式(5)、(8)、(11)成立的參數(shù)δi(i=1,2,3)的值.

(i)對(duì)不等式(5)中的參數(shù)δ1進(jìn)行估值.根據(jù)矩陣不等式(5)可得

由四元數(shù)Hermite矩陣的特征值不等式[17],可得

λmax(2δ1M)≤λmax(Q+δ12I)≤λmax(Q)+λmax(δ12I)

?δ12-2δ1λmax(M)+λmax(Q)≥0

這里假設(shè)M≥Q,則可選取

(14)

(ii)對(duì)不等式(8)中的參數(shù)δ2進(jìn)行估值.根據(jù)矩陣不等式(8)可得

因此由四元數(shù)Hermite矩陣的特征值不等式,可得

這里假設(shè)P≥2Q,則可選取

(15)

(iii)對(duì)不等式(11)中的參數(shù)δ3進(jìn)行估值.記R=-(B+B*)>0,則由不等式(11)可得

δ32I+Q≤δ3R

因此由四元數(shù)Hermite矩陣的特征值不等式,可得

δ32-δ3λmin(R)+λmin(Q)≤0

這里假設(shè)R≥2Q,則可選取

(16)

2 迭代格式的構(gòu)建

根據(jù)定理1～4的結(jié)果,當(dāng)方程(1)的系數(shù)矩陣B,Q滿足所給條件時(shí),我們可構(gòu)建出方程(1)的正定解迭代格式.

(i)當(dāng)M=-B>0時(shí),在定理2的條件下建立擬牛頓迭代格式如下:

(17)

其等價(jià)的復(fù)表示格式為:

(17c)

(ii)當(dāng)P=I-(B+I)(B+I)*>0時(shí),在定理3的條件下建立迭代格式如下:

(18)

其等價(jià)的復(fù)表示格式:

(18c)

(iii)當(dāng)B+B*<0時(shí),在定理4的條件下建立迭代格式如下

(19)

其等價(jià)的復(fù)表示格式:

(19c)

其中(·)σ表示四元數(shù)矩陣(·)的復(fù)化算子.實(shí)際計(jì)算時(shí),由于四元數(shù)乘法非交換原因,我們?cè)贛atlab軟件運(yùn)行時(shí)均按上述(17c),(18c),(19c)迭代格式來計(jì)算,最后把第k次近似解Xk還原回Xk=X1+X2j即為方程(1)的近似解.根據(jù)四元數(shù)矩陣與其復(fù)表示矩陣的Frobenius范數(shù)的關(guān)系,方程(1)的第k次近似解余項(xiàng)范數(shù)為

3 正定解的擾動(dòng)分析

設(shè)X是方程(1)的Hermite正定解,對(duì)給定的系數(shù)矩陣B,Q,假設(shè)我們分別引入了擾動(dòng)ΔB,ΔQ,且擾動(dòng)后方程的解為X+ΔX,則方程(1)擾動(dòng)后的方程為

(20)

將式(20)展開,并利用等式(1)可得

(21)

下面的定理給出了擾動(dòng)誤差ΔX的一個(gè)上界.

定理5設(shè)X是方程(1)的Hermite正定解,ΔB,ΔQ分別是對(duì)系數(shù)矩陣B,Q的擾動(dòng)且X+ΔX是擾動(dòng)后方程(1)的解.如果Υ=λn-‖B‖-‖ΔB‖>0, 則有

(22)

其中λn=λmin(X),‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖<Υ2.

證明：由式(21)及F范數(shù)的三角不等式得

‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖=
‖(B+X+ΔB)ΔX+ΔX(B+X+ΔB)*+(ΔX)2‖≥
‖(B+X+ΔB)ΔX+ΔX(B+X+ΔB)*‖-
‖(ΔX)2‖≥‖(B+X+ΔB)ΔX+
ΔX(B+X+ΔB)*‖-‖ΔX‖2≥
‖(B+X)ΔX+ΔX(B+X)*‖-
‖ΔBΔX+ΔXΔB*‖-‖ΔX‖2≥
‖(B+X)ΔX+ΔX(B+X)*‖-
2‖ΔB‖‖ΔX‖-‖ΔX‖2≥‖XΔX+ΔXX‖-
2‖B‖‖ΔX‖-2‖ΔB‖‖ΔX‖-‖ΔX‖2

(23)

由于X是Hermite正定的,因此可作對(duì)角分解

X=U∑U*

(24)

其中∑=diag(λ1,λ2,…,λn)且

λ1>λ2>…>λn>0.

記

U*ΔXU=(Δxij)n×n

根據(jù)F范數(shù)酉乘積不變性和式(24)可得

(25)

由不等式(23)和(25)可得

即

(26)

當(dāng)Υ=λn-‖B‖-‖ΔB‖>0時(shí),取F范數(shù)足夠小的擾動(dòng)矩陣ΔB,ΔQ使得

(27)

于是由不等式(26)可得

即不等式(22)成立.

證畢.

定理5是在B為一般四元數(shù)矩陣時(shí)討論方程(1)Hermite正定解的擾動(dòng)誤差界.當(dāng)B是自共軛矩陣時(shí),我們?cè)俜治銎湔ń獾臄_動(dòng)情況.根據(jù)不等式(23)的推導(dǎo)過程可知

(28)

由此可得

定理6設(shè)X是方程(1)的Hermite正定解,ΔB,ΔQ分別是對(duì)系數(shù)矩陣B,Q的擾動(dòng),且X+ΔX是擾動(dòng)后方程(1)的解.如果B+X>0且β=μn-‖ΔB‖>0, 則有

(29)

其中

證明:當(dāng)B+X>0時(shí),類似于定理5的證明過程可得

‖(B+X)ΔX+ΔX(B+X)‖≥2μn‖ΔX‖

(30)

其中μn=λmin(B+X).由不等式(28)和不等式(30)可得

‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖≥
2(μn-‖ΔB‖)‖ΔX‖-‖ΔX‖2

即

(31)

當(dāng)β=μn-‖ΔB‖>0時(shí),取F范數(shù)足夠小的擾動(dòng)矩陣ΔB,ΔQ使得‖ΔB·X+XΔB*+ΔQ‖<β2這時(shí)由不等式(31)得

即不等式(29)成立.

證畢.

注：在定理5和定理6的條件下,由擾動(dòng)誤差不等式(22)和(29)可知,當(dāng)擾動(dòng)因子(ΔB,ΔQ)→0時(shí),均有ΔX→0.

4 數(shù)值算例

下面舉例說明方程(1)的正定解求解方法.這里主要針對(duì)方程系數(shù)矩陣的特點(diǎn),根據(jù)定理2、定理3、定理4的結(jié)果,利用適當(dāng)?shù)牡M(jìn)行計(jì)算.

例1給定2個(gè)n階四元數(shù)矩陣

試建立適當(dāng)?shù)袷?求方程(1)的正定解.

由分解式

M=M1+M2j,Q=Q1+Q2j,

可得

直接計(jì)算可知

根據(jù)估計(jì)式(14)選取

這時(shí)條件(5)成立.因此根據(jù)定理2可知,方程(1)在區(qū)間I≤X≤1.162 5I存在正定解.我們采用擬牛頓迭代(17)進(jìn)行求解.取X0=I時(shí),當(dāng)n=5,計(jì)算可得

當(dāng)n=100,500,1000時(shí),迭代結(jié)果如表1所示.

例2給定2個(gè)n階四元數(shù)矩陣

試建立適當(dāng)?shù)牡袷?求方程(1)的正定解.

由分解式

B=B1+B2j,Q=Q1+Q2j

可得

直接計(jì)算可知

根據(jù)估計(jì)式(15)選取

這時(shí)條件(8)成立.因此根據(jù)定理3可知,方程(1)在區(qū)間0

當(dāng)n=100,500,1000時(shí)迭代結(jié)果如表2所示.

表2 迭代計(jì)算結(jié)果

例3給定2個(gè)n階四元數(shù)矩陣

試建立適當(dāng)?shù)牡袷?求方程(1)的正定解.

由B=B1+B2j,Q=Q1+Q2j,可得

直接計(jì)算可得

根據(jù)估計(jì)式(16)選取

這時(shí)條件(11)成立.因此根據(jù)定理4可知,方程(1)在區(qū)間0

當(dāng)n=100,500,1000時(shí)迭代結(jié)果如表3所示。

表3 迭代計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論

給出了四元數(shù)體上二次矩陣方程(1)存在Hermite正定解的一些必要和充分條件,以及迭代求解方法.在矩陣Q為正定的條件下,針對(duì)系數(shù)矩陣B的不同情況,通過引入適當(dāng)?shù)膮?shù)δi>0(i=1,2,3)建立矩陣不等式(5)、(8)和(11),從而應(yīng)用閉凸集上的不動(dòng)點(diǎn)理論獲得方程(1)存在Hermite正定解的必要和充分條件,并給出3個(gè)矩陣不等式中相應(yīng)參數(shù)δi>0(i=1,2,3)的選取方法.同時(shí)針對(duì)四元數(shù)矩陣B為負(fù)定,矩陣P=I-(B+I)(B+I)*為正定,B+B*為負(fù)定三種情況,分別構(gòu)建出收斂的迭代公式(17),(18)和(19).

此外,對(duì)方程(1)的解進(jìn)行了擾動(dòng)分析,給出了擾動(dòng)誤差ΔX的兩個(gè)上界.3個(gè)數(shù)值算例表明,當(dāng)方程的正定解存在時(shí),采用擬牛頓迭代具有較高的收斂速度.本文有關(guān)參數(shù)矩陣不等式的構(gòu)建與方程的求解方法,可推廣到其它類型非線性四元數(shù)矩陣方程正定解的求解上.