基于粗糙集理論和優(yōu)劣解距離法的多目標(biāo)決策方法研究

李 平, 張 明, 張海燕*, 熊奉奎

(1.綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院, 四川 綿陽 621000; 2.四川輕化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 四川 宜賓 644000)

0 引言

復(fù)雜產(chǎn)品的設(shè)計(jì)方案存在多解性,亟待解決的問題是方案的評(píng)價(jià)優(yōu)選,以此求得最優(yōu)解[1].因此,建立快速、準(zhǔn)確又科學(xué)的決策系統(tǒng)迫在眉睫,但涉及到產(chǎn)品的技術(shù)要求、客戶需求和經(jīng)濟(jì)適用性,評(píng)判因素往往具有較強(qiáng)的模糊性和不確定性,使得設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)不夠合理和客觀[2].多目標(biāo)決策是從20世紀(jì)70年代中期發(fā)展起來的一種決策分析方法.目前常用的多目標(biāo)決策方法有線性加權(quán)法、層次分析法、目標(biāo)規(guī)劃法、多屬性效應(yīng)法、優(yōu)劣解距離法[3-5]等.

當(dāng)前研究對(duì)多目標(biāo)或多指標(biāo)的權(quán)重計(jì)算較為單一,多偏客觀或主觀,應(yīng)用起來具有一定的局限性或者計(jì)算方法不容易掌握.本文針對(duì)主客觀賦權(quán)法的優(yōu)劣,為使屬性權(quán)重的確定更加真實(shí)可靠,選擇粗糙集理論的客觀賦權(quán)和二元對(duì)比法的主觀賦權(quán)相結(jié)合的組合賦權(quán)法,實(shí)現(xiàn)主客觀的內(nèi)在統(tǒng)一,并應(yīng)用優(yōu)劣解距離法決策出最優(yōu)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案.數(shù)控機(jī)床作為生產(chǎn)零部件的重要加工設(shè)備,對(duì)我國的經(jīng)濟(jì)建設(shè)和國防軍事工程有著非常重要的作用,因此刀庫換刀系統(tǒng)作為數(shù)控機(jī)床設(shè)計(jì)的其中一個(gè)重要環(huán)節(jié),設(shè)計(jì)方案的決策評(píng)價(jià)必須合理.

1 指標(biāo)權(quán)重計(jì)算

上世紀(jì)80年代,波蘭科學(xué)家Z.Pawlak[15]提出了一種處理不完備數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)分析方法,即粗糙集理論.它主要從給定的樣本數(shù)據(jù)出發(fā),僅考慮數(shù)據(jù)本身,不需要額外的附加信息或參數(shù),因此依據(jù)粗糙集來計(jì)算屬性的權(quán)重是比較客觀的[16].

圖1 集合的上下近似概念示意圖

定于X關(guān)于R的上下近似及邊界域?yàn)?

(1)

(2)

(3)

對(duì)于任意X∈U,集合X中關(guān)于屬性R提供的數(shù)據(jù)數(shù)量的多少,這個(gè)數(shù)量被稱為重要度,則X關(guān)于R的重要度SR(X)和劃分π(U)關(guān)于R的重要度SR[π(U)]的計(jì)算公式為:

(4)

(5)

式(4)、(5)中:0≤SR(X)≤1,SR(X)越大,表示X能夠表達(dá)R的程度就越大.若SR(X)=1,則集合X可以完全表達(dá)屬性R;若SR(X)=0,則集合X完全不能表達(dá)屬性R.|·|表示集合的基數(shù),即集合內(nèi)元素的數(shù)量.

1.1 基于屬性重要度的指標(biāo)客觀權(quán)重計(jì)算

基于屬性重要度計(jì)算指標(biāo)權(quán)重的關(guān)鍵思路是,先確定屬性的上近似和下近似范圍,根據(jù)重要度定義計(jì)算屬性的重要度,從而發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)據(jù)中的規(guī)則[18],然后計(jì)算關(guān)于這個(gè)屬性的重要度,最后得到此指標(biāo)權(quán)重值.

根據(jù)屬性的重要度,系統(tǒng)中含有多個(gè)指標(biāo),分別計(jì)算各個(gè)指標(biāo)權(quán)重值:

(6)

依據(jù)上述算法計(jì)算指標(biāo)的客觀權(quán)重,其流程圖如圖2所示.

圖2 依屬性重要度計(jì)算客觀權(quán)重流程圖

1.2 基于屬性依賴度的指標(biāo)客觀權(quán)重計(jì)算

基于屬性依賴度計(jì)算指標(biāo)客觀權(quán)重的關(guān)鍵思路是,依據(jù)粗糙集理論,對(duì)屬性的依賴度理論進(jìn)行深入研究[19],首先是計(jì)算各屬性的依賴度,然后計(jì)算得到指標(biāo)的權(quán)重值.假設(shè)知識(shí)庫K=(U,R),?P,Q∈IND(K),屬性Q依賴于P的依賴度γP(Q)計(jì)算公式為:

(7)

式(7)中:0≤γP(Q)≤1,γP(Q)越大,表明Q對(duì)P的依賴度越高,若γP(Q)=1,表明P中包含Q的全部數(shù)據(jù),Q對(duì)P的依賴度為完全依賴;若γP(Q)=0,表示P中不包含Q的任何數(shù)據(jù),Q與P是絕對(duì)獨(dú)立的;而0≤γP(Q)≤1,說明P中僅包含Q的部分?jǐn)?shù)據(jù),記Q對(duì)P的依賴度為k.

根據(jù)屬性的依賴度,計(jì)算各個(gè)指標(biāo)權(quán)重值:

(8)

依據(jù)上述算法計(jì)算客觀權(quán)重,其流程圖如圖3所示.

圖3 依屬性依賴度計(jì)算客觀權(quán)重流程圖

1.3 指標(biāo)綜合權(quán)重計(jì)算

將由粗糙集理論確定的指標(biāo)客觀權(quán)重同由二元對(duì)比法確定的指標(biāo)主觀權(quán)重按照評(píng)價(jià)者的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行權(quán)重配比,得出指標(biāo)的綜合權(quán)重,避免了單獨(dú)采用主觀或客觀賦值法的不足[20-22].記ωi為第i個(gè)指標(biāo)的綜合權(quán)重.

ωi=αω1i+βω2i+(1-α-β)ω3i,i=1,2,3,…,n

(9)

式(9)中:ω3i為由二元對(duì)比法確定的指標(biāo)權(quán)重;1-α-β為經(jīng)驗(yàn)因子0≤α+β≤1,1-α-β越小,表示越注重客觀權(quán)重.

2 基于優(yōu)劣解距離法的多目標(biāo)決策模型

假定某產(chǎn)品存在m個(gè)設(shè)計(jì)方案Ai(i=1,2,3,…,m),每個(gè)方案對(duì)應(yīng)n個(gè)決策指標(biāo)Cj(j=1,2,3,…,n).決策團(tuán)隊(duì)使用1,3,5,7和9分對(duì)每個(gè)方案相對(duì)于各個(gè)決策指標(biāo)的認(rèn)可程度進(jìn)行打分[13].其中1,3,5,7和9分別代表“非常不認(rèn)可”、“不認(rèn)可”、“一般”、“認(rèn)可”和“非常認(rèn)可”.由此第k個(gè)決策專家的決策矩陣為:

(10)

(11)

由于決策團(tuán)隊(duì)里有多個(gè)領(lǐng)域的專家,決策矩陣較多.這里采用算數(shù)平均法將多個(gè)決策專家的評(píng)價(jià)進(jìn)行綜合.按照下面的公式整理后得到綜合決策值.

(12)

再利用如下公式計(jì)算加權(quán)后的綜合決策值.

(13)

式(13)中:ωj為用公式(9)得到的第j個(gè)指標(biāo)的綜合權(quán)重.

此時(shí)設(shè)計(jì)方案選擇問題可以看作一個(gè)典型的多目標(biāo)決策問題.優(yōu)劣解距離法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution,TOPSIS)是一種較常用的根據(jù)多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)將多個(gè)方案與最優(yōu)解方案進(jìn)行比較排序的綜合評(píng)價(jià)方法[23].該方法對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量及分布沒有嚴(yán)格限制,能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息,其結(jié)果能精確地反映各評(píng)價(jià)方案之間的差距,是一種非?？旖莸?、合理的方法[24,25].TOPSIS法的基本過程如圖4所示.

圖4 TOPSIS法流程圖

(14)

(15)

(16)

(17)

繼而就可以定義貼合度以確定所有的備選方案的排序.第i個(gè)設(shè)計(jì)方案對(duì)應(yīng)的貼合度ρ為:

(18)

貼合度的值一般在0～1之間,該值越大表示對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案越接近最理想方案,反之,該值越小表示對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)方案越接近最劣方案.

3 應(yīng)用實(shí)例

下面以某數(shù)控機(jī)床制造企業(yè)的刀庫換刀系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案為例來說明所提出的多目標(biāo)決策方法的合理性和適用性.此刀庫換刀系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案有3種:方案A1為鏈?zhǔn)降稁?機(jī)械手換刀(如圖5所示),方案A2為斗笠式刀庫+主軸換刀(如圖6所示),方案A3為圓盤式刀庫+機(jī)械手換刀(如圖7所示).決策團(tuán)隊(duì)包括產(chǎn)品研發(fā)、市場銷售和客戶代表等領(lǐng)域的專家4名.以產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的經(jīng)濟(jì)性、可靠性、功能多樣性和售后支持作為評(píng)價(jià)指標(biāo).

圖5 鏈?zhǔn)降稁?機(jī)械手換刀方案示意圖

圖6 斗笠式刀庫+主軸換刀方案示意圖

圖7 盤式刀庫+機(jī)械手換刀方案示意圖

表1給出了4位專家對(duì)于設(shè)計(jì)方案A1的評(píng)價(jià).其他方案的評(píng)價(jià)形式類似,如表2、表3所示.

表1 專家對(duì)設(shè)計(jì)方案A1的評(píng)價(jià)值

表2 專家對(duì)設(shè)計(jì)方案A2的評(píng)價(jià)值

表3 專家對(duì)設(shè)計(jì)方案A3的評(píng)價(jià)值

這里采用算數(shù)平均法來收集各個(gè)決策者的評(píng)價(jià).整理后得到刀庫換刀系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案的綜合評(píng)價(jià)值,如表4所示.

表4 刀庫換刀系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案的綜合評(píng)價(jià)值

依據(jù)粗糙集理論,按照公式(4)～(8)計(jì)算各個(gè)指標(biāo)基于屬性重要度和屬性依賴度的客觀權(quán)重,并按照公式(9)將二元對(duì)比法計(jì)算得到的主觀權(quán)重與客觀權(quán)重相結(jié)合,這里賦予客觀較大的權(quán)重,取α=β=0.35,并將其與應(yīng)用層次分析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如表5所示.

表5 指標(biāo)權(quán)重計(jì)算

(19)

(20)

圖8 設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)指標(biāo)決策柱狀圖

從圖8可以看出,方案3的經(jīng)濟(jì)性和可靠性的指標(biāo)值最高,功能多樣性和售后支持的指標(biāo)值最低,而方案1和方案2的各項(xiàng)指標(biāo)值沒有明顯的優(yōu)勢及劣勢.因此,單從柱狀圖無法判斷各個(gè)方案的優(yōu)劣.

利用優(yōu)劣解距離法,根據(jù)公式(14)、(15)計(jì)算得出最優(yōu)方案D+和最劣方案D-.

D+=(0.164,0.240,0.146,0.082)

(21)

D-=(0.146,0.180,0.122,0.062)

(22)

三種設(shè)計(jì)方案與最優(yōu)方案D+、最劣方案D-的評(píng)價(jià)結(jié)果的雷達(dá)圖如圖9所示.從圖9可以看出,方案A3的線條與最優(yōu)方案D+的線條重合度最高.而方案A1的線條與最劣方案D-的線條重合度最高.

表6 貼合度及刀庫換刀系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案排序

從表6可以看出,設(shè)計(jì)方案A3的貼合度最高,即綜合考慮產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)性、可靠性、功能多樣性和售后支持4個(gè)指標(biāo),設(shè)計(jì)方案A3最優(yōu),這也與雷達(dá)圖的評(píng)價(jià)結(jié)果一致.結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),將基于粗糙集理論和優(yōu)劣解距離法的決策結(jié)果與應(yīng)用層次分析法的決策結(jié)果對(duì)比,在某數(shù)控機(jī)床刀庫換刀系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案中,方案A3的設(shè)計(jì)方案更為合理,應(yīng)優(yōu)先考慮方案A3.

4 結(jié)論

本文主要提出了一種基于粗糙集理論和優(yōu)劣解距離法相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法,并與層次分析法進(jìn)行了對(duì)比,通過某數(shù)控機(jī)床制造企業(yè)的刀庫換刀系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案實(shí)例驗(yàn)證了該多目標(biāo)決策方法的科學(xué)性和準(zhǔn)確性.其主要結(jié)論如下:

(1)該方法依據(jù)粗糙集理論中論域的劃分確定屬性的重要度和依賴度,計(jì)算得到評(píng)價(jià)指標(biāo)的客觀權(quán)重,將其與用二元對(duì)比法得到的評(píng)價(jià)指標(biāo)的主觀權(quán)重以一定配比相結(jié)合,得到了指標(biāo)的綜合權(quán)重,這一方法克服了傳統(tǒng)單一賦值法的缺陷,提高了權(quán)重分配值的合理性和科學(xué)性,從而避免了最終決策的單獨(dú)主觀或客觀的偏重.

(2)基于粗糙集理論的屬性重要度和屬性依賴度和二元對(duì)比法確定指標(biāo)的綜合權(quán)重與優(yōu)劣解距離法相結(jié)合的方法,給復(fù)雜產(chǎn)品的多目標(biāo)決策提供了一種研究思路.該方法快捷,有效.通過刀庫換刀系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案決策的案例驗(yàn)證了所提方法比層次分析法更加合理性,適用性更強(qiáng).

(3)本文未充分考慮決策者的偏好對(duì)決策的影響,未來將充分考慮針對(duì)不同領(lǐng)域的決策者給予一定的權(quán)重比例,以減少?zèng)Q策者的個(gè)人偏好對(duì)決策結(jié)果的影響.