柱狀透鏡陣列對(duì)物體隱形現(xiàn)象的探究

蘇詣博,王 拴,曹 峰,陳書湄,鄧柏昌

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) a.電子與信息工程學(xué)院;b.實(shí)驗(yàn)與創(chuàng)新實(shí)踐教育中心;c.理學(xué)院,廣東 深圳 518055)

柱狀透鏡陣列對(duì)物體的隱形現(xiàn)象是2022年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽的題目之一,柱狀透鏡陣列(Lenticular lenses)會(huì)對(duì)光線傳播產(chǎn)生扭曲從而使“物體隱形”. 柱狀透鏡陣列被廣泛應(yīng)用于印刷顯示、顯示屏等領(lǐng)域,透鏡陣列與交錯(cuò)的打印圖像共同作用可以實(shí)現(xiàn)3D、動(dòng)畫、翻轉(zhuǎn)、變形、縮放或各種組合等視覺效果[1-7]. 目前揭示柱狀透鏡陣列對(duì)物體隱形現(xiàn)象的物理原理和隱形效果[8-9]衡量方法的相關(guān)研究工作較少. 本研究工作綜合運(yùn)用幾何光學(xué)和光度學(xué)理論,較好地解釋了利用柱狀透鏡陣列實(shí)現(xiàn)對(duì)物體隱形現(xiàn)象的物理機(jī)制,通過類比高斯光束的能量分布[10],借鑒瑞利判據(jù)思想[11],提出了臨界隱形物距的概念,可作為衡量柱狀透鏡陣列隱形效果的關(guān)鍵參量,對(duì)設(shè)計(jì)制造具備較好光學(xué)隱形特性的柱狀透鏡陣列具有參考意義. 同時(shí),本文也通過光學(xué)物理場(chǎng)仿真和實(shí)驗(yàn)探究了透鏡單元間距、曲率半徑、折射率以及物體幾何形狀等因素對(duì)隱形現(xiàn)象的影響. 本研究所涉及的實(shí)驗(yàn)對(duì)器材及場(chǎng)地要求較少,可在實(shí)驗(yàn)室或居家完成,可作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)型項(xiàng)目,也可作為高校物理及光電信息相關(guān)專業(yè)課程內(nèi)容的拓展.

1 理論分析與物理場(chǎng)仿真

1.1 柱狀透鏡陣列單元的放大率

柱狀透鏡陣列是一系列圓柱狀微小透鏡排列組成的陣列,柱狀透鏡陣列單元為單個(gè)的柱狀透鏡,其厚度等于其焦距f,只有一面有曲率,另一面為平面,且有曲率的面只在1個(gè)維度上有曲率,這與普通凸透鏡(球狀面)在各個(gè)方向都有曲率不同.以O(shè)為原點(diǎn)建立空間笛卡爾坐標(biāo)系,如圖1(a)所示,由于柱狀透鏡陣列只在平行于x軸的方向上有曲率,故只討論物體沿x軸方向的寬度d,如圖1(b)所示.

(a)柱狀透鏡陣列示意圖

由于柱狀透鏡陣列成像的大部分光強(qiáng)能量處于物體中心軸線位置,對(duì)于隱形現(xiàn)象的觀測(cè)也主要位于中心軸線處,因此采用了傍軸條件對(duì)理論模型進(jìn)行簡(jiǎn)化.在傍軸光線條件[12]下,物體第1次成像(以O(shè)1為頂點(diǎn))為平面折射成像[見圖1(c)],由單球面折射的物像公式可得

(1)

其中,n0為柱狀透鏡陣列單元的折射率,空氣折射率近似等于1,p1為物體第1次成像的物距,p1′為第1次成像的像距,r為曲率半徑.對(duì)于平面有r→∞,易得第1次成像的放大率為k1=1,即平面不對(duì)物體產(chǎn)生放縮.第2次成像(以O(shè)2為頂點(diǎn))為單凹球面折射成像,由單球面折射的物像公式可得

(2)

其中,p2和為p2′分別是第2次成像的物距和像距.由圖1(c)可知,p2=p1′+f=n0p1+f,代入式(2)得第2次成像的像距為

(3)

進(jìn)而得到第2次成像的放大率為

(4)

故柱狀透鏡單元對(duì)物體2次成像的總放大率為

(5)

由幾何光學(xué)的符號(hào)法則和透鏡的幾何尺寸(一般r?p1)可知:k<0,|k|?1.故整個(gè)成像系統(tǒng)始終成倒立、縮小的實(shí)像.

1.2 光度學(xué)理論引進(jìn)及光學(xué)仿真

由于物體的不同物點(diǎn)相距很近,單個(gè)物點(diǎn)發(fā)出的光強(qiáng)近似服從余弦分布[13],且柱狀透鏡陣列存在像差,即第n個(gè)透鏡單元與相鄰2個(gè)透鏡單元(第n-1和第n+1個(gè)透鏡單元)成像時(shí)的光強(qiáng)會(huì)發(fā)生重疊從而導(dǎo)致圖像串?dāng)_,如圖2(a)所示.串?dāng)_效應(yīng)解釋了柱狀透鏡陣列對(duì)物體成像邊緣會(huì)有模糊延伸現(xiàn)象[14],圖2(b)為串?dāng)_成像示意圖,其中左側(cè)為成像物體,右側(cè)為經(jīng)過柱狀透鏡陣列后的成像.由于柱狀透鏡陣列的串?dāng)_效應(yīng),在討論其成像時(shí)必須引入光度學(xué)的概念來界定其隱形的臨界條件.

(a)光強(qiáng)重疊導(dǎo)致圖像串?dāng)_示意圖

1.2.1 物體空間光強(qiáng)分布

實(shí)際物體一般為不發(fā)光物體,其表面一般為漫反射表面,光強(qiáng)I具有近似余弦輻射的特性[圖3(a)].物體可近似看作余弦輻射體,其在空間內(nèi)的光亮度為定值L,設(shè)物體表面的光照度為M,則M與L有如下關(guān)系:

(6)

其中,θ和φ是立體角的2個(gè)輔助平面角.由式(6)可推導(dǎo)得到物體表面的光照度M為定值.

1.2.2 隱形條件的探究

首先，房地產(chǎn)開發(fā)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)產(chǎn)品具有著非標(biāo)準(zhǔn)性特點(diǎn)。具體一些解釋，由于各個(gè)樓盤的所處地理位置與開發(fā)核心都有所不同，因此導(dǎo)致樓盤的整體風(fēng)格也有著很大差異。房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目前需要展開綜合考量，其中包括開發(fā)區(qū)域的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、人文環(huán)境、居住需求等，有針對(duì)性的完成設(shè)計(jì)方案。

根據(jù)瑞利判據(jù)[15],考慮到可見光波長(zhǎng)平均值(λ≈550 nm)和瞳孔直徑(φ≈3 mm),人眼在明視距離(u≈25 cm)處能分辨的最佳特征[16]是d′=1.22usinθ=1.22uλ/φ≈0.056 mm.

借鑒瑞利判據(jù)思想[圖3(b)],柱狀透鏡陣列對(duì)物點(diǎn)成像,當(dāng)物距較小時(shí),放大率的絕對(duì)值較大,成像寬度較大,成像會(huì)有重合;物距增大,像縮小,由重合變?yōu)椴恢睾?即像分離,如圖3(c)所示.其中,Δx是相鄰2個(gè)透鏡單元成像的距離,由圖3(c)可知

Δx=(k+1)l,

考慮人眼對(duì)極小物體的分辨情況,柱狀透鏡陣列使物體隱形需同時(shí)滿足以下2個(gè)條件:

2)上述光斑的寬度小于人眼的分辨率(d′=0.056 mm) .

寫出上述條件的表達(dá)式為

kd>d′,kD<(k+1)l,

(7)

(8)

式(8)即為物體的臨界隱形物距表達(dá)式,即當(dāng)物體物距p1大于臨界隱形物距p0時(shí),可以觀察到物體的隱形現(xiàn)象.柱狀透鏡陣列物體的隱形效果會(huì)隨物距漸變,因此可以用臨界隱形物距p0的大小來衡量柱狀透鏡陣列對(duì)物體的隱形效果.p0越大,說明需要物體距離透鏡更遠(yuǎn)才能隱形,物體的隱形效果相對(duì)更差;反之亦然.

1.2.3 光學(xué)仿真

使用VirtualLab Funsion高速物理光學(xué)軟件進(jìn)行光學(xué)物理場(chǎng)仿真并測(cè)量光斑寬度D值. 選擇非序列模式,設(shè)置被觀測(cè)物體為平面矩形物體光源,并繪制三維柱狀透鏡陣列實(shí)體模型,進(jìn)行光線追跡并使用探測(cè)器進(jìn)行光照度探測(cè),得到光照度分布. 仿真的被觀測(cè)物體的光照度呈均勻分布,如圖4(a)～(b)所示. 經(jīng)柱狀透鏡陣列后的透射光光照度分布如圖4(c)～(d)所示,其中x軸光照度從中心向兩側(cè)遞減,且其形狀與高斯光束類似.根據(jù)這一特點(diǎn),可類比高斯光束的能量分布特點(diǎn)研究透射光光照度的分布情況.根據(jù)以上光學(xué)仿真,可以得到經(jīng)過柱狀透鏡陣列后透射光光照度分布圖4(d),其中Mmax為被觀測(cè)物體寬度d位置處的光照度(近似等于最大光照度),光照度降低至Mmax/e2時(shí),可以求得光斑寬度D(該光斑范圍內(nèi)包含約86.5%的光能).結(jié)合式(8)可求出該實(shí)驗(yàn)條件下柱狀透鏡陣列的臨界隱形物距p0.改變柱狀透鏡陣列成像的條件(如曲率半徑r、透鏡間距l(xiāng)、被觀測(cè)物體寬度d等)進(jìn)行光學(xué)仿真,即可獲得其他參量條件下的臨界隱形物距p0.

(a)被觀測(cè)物體光照度空間分布

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)器材

采用不同參量的柱狀透鏡陣列(材質(zhì)為PET)、不同顏色的卡紙、白板、刻度尺、光具座、高清攝像機(jī)等器材進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖5所示.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

利用式(8)計(jì)算柱狀透鏡陣列的臨界隱形物距理論值p0,取不同的物距觀察隱形現(xiàn)象,并用攝像機(jī)記錄物體的隱形情況,對(duì)比不同情況下的隱形效果,實(shí)驗(yàn)條件如表1～2所示.

表1 柱狀透鏡陣列參量及臨界隱形物距理論計(jì)算數(shù)據(jù) (物體寬度d=20.00 mm)

表2 不同物體寬度對(duì)應(yīng)的臨界隱形物距理論計(jì)算數(shù)據(jù) (透鏡1)

在實(shí)驗(yàn)中需要注意:

1)柱狀透鏡陣列只在1個(gè)方向有曲率,故只在1個(gè)維度(平行于柱狀透鏡陣列排列方向)上對(duì)物體有隱形作用;

2)被觀測(cè)物體需保證在垂直于柱狀透鏡陣列排列方向上的長(zhǎng)度不能過大,否則不能實(shí)現(xiàn)較為理想的隱形效果.

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

2.2.1 物距對(duì)成像的影響

通過柱狀透鏡陣列觀測(cè)物體隱形情況如圖6所示,其中圖6(a)和圖6(b)的實(shí)驗(yàn)過程為:保持柱狀透鏡陣列參量(曲率半徑r、透鏡間距l(xiāng))、被觀測(cè)物體寬度d不變,只改變物距p1,探究p1對(duì)隱形的影響.可以發(fā)現(xiàn)隨著p1不斷增大,物體成像逐漸模糊,隱形效果逐漸增強(qiáng);當(dāng)p1增加到臨界隱形物距p0時(shí),開始出現(xiàn)隱形現(xiàn)象,繼續(xù)增大物距時(shí)可實(shí)現(xiàn)完全隱形效果.同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn),在相同物距p1和相同物體寬度d的實(shí)驗(yàn)條件下,柱狀透鏡陣列的臨界隱形物距越小,隱形效果越好,如圖6(c)所示.

p1=145.0 mm p1=p0=186.0 mm p1=225.0 mm(a)物距對(duì)成像的影響(透鏡1,r=0.231 mm,l=0.251 mm,d=20.00mm)

2.2.2 柱狀透鏡陣列屬性對(duì)成像的影響

由理論和仿真可知,柱狀透鏡陣列單元間距l(xiāng)和曲率半徑r對(duì)臨界隱形物距p0具有重要影響.當(dāng)柱狀透鏡陣列的折射率相同時(shí),對(duì)于同一寬度d的物體成像,分別計(jì)算不同l和r值下的p0,增大l或者減小r,均可使p0減小,即柱狀透鏡陣列的隱形效果越好.圖6(c)的實(shí)驗(yàn)過程為:保持柱狀透鏡陣列部分參量(透鏡間距l(xiāng))、物距p1和被觀測(cè)物體的寬度d不變,只改變柱狀透鏡陣列曲率半徑r,探究柱狀透鏡陣列曲率半徑r對(duì)隱形效果的影響.在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),在相同物距條件下,r=0.142 mm的柱狀透鏡陣列隱形效果優(yōu)于r=0.231 mm的柱狀透鏡陣列,即曲率半徑越小,隱形效果越好;透鏡間距l(xiāng)較大的柱狀透鏡陣列的隱形效果更優(yōu)[對(duì)比圖6(a)和圖6(b)].

2.2.3 物體幾何形狀對(duì)成像的影響

圖6(d)的實(shí)驗(yàn)過程為:保持柱狀透鏡陣列參量(曲率半徑r、透鏡間距l(xiāng))、物體物距p1不變,只改變被觀測(cè)物體的寬度d,探究了被觀測(cè)物體寬度d對(duì)隱形的影響.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象表明:物體寬度d越大,實(shí)驗(yàn)觀測(cè)圖像與被觀測(cè)物體原圖像的相似程度越高,隱形效果越差;物體寬度d越小,圖像實(shí)驗(yàn)觀測(cè)圖像與被觀測(cè)物體原圖像的相似程度越低,隱形效果越好.

2.3 臨界隱形物距的適用性

本研究適用于傍軸光線條件,可以較好地解釋柱狀透鏡陣列屬性、物體幾何形狀對(duì)柱狀透鏡陣列隱形現(xiàn)象的影響及其物理機(jī)制,同時(shí)證明利用臨界隱形物距評(píng)估柱狀透鏡陣列的隱形特性具有較強(qiáng)的可行性和準(zhǔn)確性.對(duì)于其他構(gòu)型的透鏡陣列也具有推廣性,可通過幾何光學(xué)和光度學(xué)理論求得放大率表達(dá)式,并依據(jù)本文方法求得相應(yīng)的臨界隱形物距,從而確定其隱形特性.

非傍軸光線條件下,當(dāng)柱狀透鏡陣列透鏡單元曲率半徑較大、焦距較大、空間頻率較小時(shí),物體成像的不均勻重影現(xiàn)象以及柱狀透鏡陣列的廣義衍射現(xiàn)象(傅里葉光學(xué))[17]仍值得進(jìn)一步探究.

3 結(jié)束語

以幾何光學(xué)為基礎(chǔ),引進(jìn)光度學(xué)理論,通過類比高斯光束的能量分布,借鑒瑞利判據(jù)的思想,提出了臨界隱形物距的概念,借助該參量可以很好地衡量柱狀透鏡陣列隱形的效果,并利用光學(xué)物理場(chǎng)仿真模擬得到了柱狀透鏡陣列透射光的光照度分布,對(duì)柱狀透鏡陣列實(shí)現(xiàn)物體隱形現(xiàn)象的影響因素進(jìn)行了探究.本研究不僅豐富了光學(xué)隱形技術(shù)理論,同時(shí)對(duì)于設(shè)計(jì)和評(píng)估具備較好光學(xué)隱形特性的柱狀透鏡陣列具有參考意義.