例談臨界值法求解不等式恒成立問題

湖南省懷化市鐵路第一中學(418000)高用

一、什么是臨界值法

文[1]從幾何直觀的角度對導數(shù)中的不等式恒成立問題展開研究,揭示了不等式恒成立問題的幾何解釋:“f(x,a)≥0,即函數(shù)f(x,a)的圖象在x軸以上,由于函數(shù)f(x,a)中帶參數(shù)a,則參數(shù)a起到調(diào)整函數(shù)f(x,a)圖象形狀或位置的作用.因為a要滿足純粹性,所以a的值要使得函數(shù)f(x,a)圖象在x軸以上,又a滿足完備性,所以a要一直取到使得函數(shù)f(x,a)圖象與x軸第一次相切且該點的橫坐標為函數(shù)的極小值點時的值.”由此提出了臨界值法,即在處理不等式恒成立問題時可以先考慮臨界情況,即當函數(shù)f(x,a)圖象與x軸相切時,就可以得到a的取值的臨界值,再結(jié)合參數(shù)a對函數(shù)圖象的影響即可確定a的范圍.

本文在文[1]的基礎(chǔ)上進一步深入應(yīng)用臨界值法,以求解幾道2023 屆高三模擬試題中的不等式恒成立問題為例,是對文[1]中臨界值法的在應(yīng)用方面做進一步擴充.

二、臨界值法的應(yīng)用

應(yīng)用一:直接求解

例1(廣州越秀區(qū)2023 屆高三10 月統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=2x-lnx.

(1)當x≥1,證明:;

(2)若f(x)+ae3x+lna≥0,求a的取值范圍.

解析(1)略.

(2)記g(x)=f(x)+ae3x+lna=2x-lnx+ae3x+lna,則不等式g(x)≥0 恒成立,即函數(shù)g(x)的圖象在x軸以上,由于g(x)的圖象是隨a取值的變化而變化的,先考慮臨界情況,即g(x)的圖象與x軸相切時,設(shè)切點為(x0,0),則有g(shù)(x0)=0 且g＇(x0)=0,即

評注該題是臨界值法最常規(guī)的應(yīng)用,其思路是:先考慮臨界情況,即g(x)的圖象與x軸相切時,則有g(shù)(x0)=0 且g＇(x0)=0 成立,從而得到兩個方程,消元解方程即可.多數(shù)情況都需要解超越方程,這就要利用單調(diào)性和取根.這道題方程的求解還算容易,且有唯一解,進而得到參數(shù)a的臨界值,最后利用a對函數(shù)圖象的影響,即把g(x)看作a的增函數(shù),從而確定a的取值范圍.

應(yīng)用二:設(shè)而不求

例2(豫南名校2023 屆高三10 月質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2.

(1)當a=e 時,證明:f(x)+2x≤0;

(2)記函數(shù)g(x)=(x-1)ex -f(x),若g(x)為增函數(shù),求a的取值范圍.

(2)不等式a(x-1)ex≥|f(x)|等價于-a(x-1)ex≤x-alnx-1 ≤a(x-1)ex.

(2)g(x)=(x-1)ex-f(x)=(x-1)ex-xlnx+ax2,則g＇(x)=xex-lnx-1+2ax.

由題意g(x)是增函數(shù),考慮g＇(x)≥ 0,即不等式xex -lnx -1 + 2ax≥0 恒成立,令h(x)=g＇(x),則不等式h(x)≥0 恒成立,即函數(shù)h(x)的圖象在x軸以上,由于h(x)的圖象是隨a取值的變化而變化的,先考慮臨界情況,即h(x)的圖象與x軸相切時,設(shè)切點為(x0,0),則有h(x0)=0 且h＇(x0)=0,即

令m(x)=xex,x >0,則m＇(x)=(x+1)ex >0,所以m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.那么,則代入②式,得所以當時h(x)的圖象與x軸在x0處相切,且不難驗證此時h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,則h(x)≥h(x0)=0 成立.又因為當a變化時,函數(shù)h(x)=xex -lnx-1+2ax是關(guān)于a的增函數(shù),則當時h(x)≥0 恒成立.經(jīng)檢驗,當時,g(x)是增函數(shù),滿足題意.

焊接工件首先需要滿足的是在厚度上與螺柱直徑相匹配，一般情況下螺柱直徑與工件厚度的比例不大于3:1。如在非對稱或不規(guī)則的工件進行焊接，如不采取相應(yīng)的防護措施，極有可能造成電弧偏移螺柱中心的現(xiàn)象，即“磁偏吹”現(xiàn)象。磁偏吹表現(xiàn)為螺柱與工件間的電弧不穩(wěn)定，導致螺柱與工件接合處金屬熔化不規(guī)則，接合面積小于螺柱面積，這樣的接頭必然會存在一定缺陷，從而影響焊接質(zhì)量。

例4(2023 屆安徽十校高三第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-a2ex,a ∈R.

南國電影劇社改組成立簡稱 “南國社”，而擴大其范圍為文學、繪畫、音樂、戲劇、電影五部，定其宗旨為“團結(jié)能與時代共痛癢之有為青年作藝術(shù)上革命運動”，也是民國十六年即一九二七年的事。所以南國藝術(shù)學院便是包含文學、繪畫、戲劇等部的研究機關(guān)。至一九二八年夏，學院以種種原因停頓，而學生仍相依不去，我便由研究室開始向社會作實際活動，當時的環(huán)境比較的最適于我們活動的是戲劇，于是南國乃以戲劇運動多少為社會所注目，直到最近之美術(shù)部習作展覽止，社會上只知道南國社是戲劇團體。[26]110

應(yīng)用三:端點效應(yīng)

例3(廣東省實驗中學2023 屆高三第一次段考)已知函數(shù)f(x)=x-alnx-1,a>0.

(1)若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上不單調(diào),求a的取值范圍;

不等式g(x)≤0 恒成立,即函數(shù)g(x)的圖象在x軸以下,由于g(x)的圖象是隨a取值的變化而變化的,先考慮臨界情況,即g(x)的圖象與x軸相切時,設(shè)切點為(x0,0),則有g(shù)(x0)=0 且g＇(x0)=0,即

解析(1)略.

注意到x0=0 是上方程的一個解,此時a=1,即當a=1時,g(x)的圖象與x軸在x=0 處相切.因為當a變化時,函數(shù)g(x)不是關(guān)于a的單調(diào)函數(shù),函數(shù)g(x)圖象的變化趨勢難以把控,從而不易得到a取值范圍.

解析(1)略.

(2)令g(x)=f(x)+a=ln(x+ 1)- a2ex+a,則.

評注該題中因為當x=1 時g(x)恒為零,與a的取值無關(guān),則可以調(diào)整a直到g(x)在x=1 處取極值.考慮臨界情況,g(x)圖象在x=1 處與x軸相切,則有g(shù)＇(1)=0,進而得到a的臨界值,再根據(jù)a對函數(shù)的影響確定a的取值范圍.可以看出這種情況下臨界值法與“端點效應(yīng)”法本質(zhì)上是一致的,可以說,“端點效應(yīng)”法是臨界值法的特殊情形.

應(yīng)用四:必要條件

評注與例1 不同,在解方程的過程中,可以確定方程有唯一解,但卻無法求出具體的解,此時利用“設(shè)而不求“的方法,利用x0所滿足的等式整體代換,將超越式ex0代換成,從而求出a的臨界值,最后利用a對函數(shù)圖象的影響,即把h(x)看作a的減函數(shù),從而確定a的取值范圍.

(1)若a=-1,求實數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)若f(x)+a≤0 恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.

安定劉氏江山。漢初商山四皓曾輔助太子，安定劉氏江山。事見《史記·留侯世家》、《漢書·張良傳》。唐 白居易 《題四皓廟》詩：“臥逃秦亂起安劉，舒卷如云得自由。”唐·杜牧 《題商山四皓廟》詩：“南軍不袒左邊袖，四老安劉是滅劉 ?！?/p>

我國具有產(chǎn)出大型礦床的有利地質(zhì)環(huán)境，西部大部分地區(qū)勘查程度低、潛力大。此外，地球科學的探索性、成礦作用的特殊性和復雜性、現(xiàn)代科學技術(shù)的有限性也奠定了我國深部找礦的可行性，加之大量的深部成功找礦案例更證明了深部找礦工作的可行性，我國山東招遠界河金礦的起死回生，美國卡拉馬祖大型斑巖銅礦的發(fā)現(xiàn)等都是源自深部找礦。由此可見，全面開展深部找礦工作迫在眉睫，也是一種必然趨勢，深部找礦已成為一種勢在必做的勘查工作。

解析(1)略.

該系統(tǒng)中地暖的概念不僅僅局限在制熱，而是升級為全年可用的地面調(diào)溫系統(tǒng)，地暖的利用率增加了兩倍以上。通過和傳統(tǒng)地暖對比，可以很明了地看出其優(yōu)越性（見表2）。

先考慮x-alnx-1 ≤a(x-1)ex恒成立,令g(x)=x-alnx-1-a(x-1)ex,x≥1,則注意到g(1)=0,不等式g(x)≤0 恒成立,即g(x)的圖象在x軸以下,由于g(x)的圖象是隨a取值的變化而變化的,先考慮臨界情況,即g(x)的圖象與x軸在x=1 處相切時,則有g(shù)＇(1)=0,得,即當時g(x)的圖象與x軸在x=1 處相切,此時令則因為且(x+ 1)ex >1,所以h＇(x)>0,從而h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,則h(x)≥h(1)=1+e,故所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,故而g(x)≤g(1)=0.又因為當a變化時,函數(shù)g(x)=x-alnx-1-a(x-1)ex是關(guān)于a的減函數(shù),則當時g(x)≤0 恒成立.類似地處理不等式-a(x-1)ex≤x-alnx-1 恒成立即可得到問題得答案.

(2)若不等式a(x-1)ex≥|f(x)|對?x ∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

《明報》之后，他的江湖早只剩下了武俠的江湖，曾經(jīng)縱橫論政、夜半文章的政論世界早已消失。但如果靠著他的武俠小說，他建造的這個江湖世界也許真的可做到以一人敵一國，那是母語的力量，是他用母語造出來的一個世界。可以說，他創(chuàng)造了一個人的江湖，這里有水深浪闊、風波不息，也曾有俠骨柔情、劍膽琴心，哪怕如今只留下渾渾噩噩、茍茍且且。

她越走越近。我發(fā)現(xiàn)她的穿著非常素雅，攜著一只有拉丁文字的手包。她走路的姿勢有一點像時裝店里的名模，但絕對沒有搖擺得那么夸張，那是一種讓人一見便仰慕不已的姿勢，是一種極有品味的步態(tài)。她臉上仿佛蒙了一層面紗，看不清楚，但讓人想象她相貌不美簡直是不可能的。

問題到這里,似乎卡住了.但細細想想也并不是一無所獲,至少得到了a取值范圍的一個臨界值a=1,以及此時g(x)的圖象與x軸在x=0 處相切,也就是說一旦a>1 或者a<1,g(x)在x=0 附近的值就可能大于零,于是可以利用g(x)在x=0 處的函數(shù)值小于等于零便可以得到一個使原不等式恒成立的一個必要條件,而且這個必要條件范圍的端點就是臨界值a=1,然后試圖證明其充分性.具體過程如下:

恒成立,則必有g(shù)(0)≤0,得a≥1.下面證明當a≥1 時,ln(x+1)-a2ex+a≤0 在x>-1 時恒成立,

因為x > -1 時,ln(x+ 1)≤x,只需證明對任意的x ∈(-1,+∞),x - a2ex+a≤0 恒成立,令g(x)=a2ex-x-a,則g＇(x)=a2ex-1,由g＇(x)=a2ex-1=0,得.

(1)當-2 lna≤-1 即時,g＇(x)≥ 0 在(-1,+∞)上恒成立,則g(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,于是;

綜上所述，“臨時工程”不應(yīng)計入“待攤投資—臨時設(shè)施費”，而應(yīng)計入“建筑安裝工程投資”。在日常會計核算中按施工對象歸集，設(shè)置會計科目為：一級科目“建筑安裝工程投資”；二級科目“建筑工程投資”；三級科目“臨時工程”；底層明細：導流工程、施工道路、房屋建筑工程、其他大型臨時工程。（見 《水利建設(shè)單位財務(wù)管理與會計核算范例》），在編制竣工財務(wù)決算時，按交付使用資產(chǎn)的類別將臨時工程成本歸集到相應(yīng)的資產(chǎn)項目內(nèi)。如果臨時工程是為兩個以上資產(chǎn)項目工程施工而修建的，通過按實際投資額比例分配的方法，將臨時工程成本分配歸集到相應(yīng)的資產(chǎn)項目內(nèi)，再按《規(guī)程》規(guī)定將“待攤投資”分攤計入資產(chǎn)價值。

(2)當-2 lna > -1,即時,g(x)在(-1,-2 lna)上單調(diào)遞減,在(-2 lna,+∞)上單調(diào)遞增,于是

Assuming that the transconductance of NMOS and PMOS is equal, the input noise power of the integral phase is:

令h(a)=2 lna-a+1,則則h(a)在上單調(diào)遞增,于是h(a)≥h(1)=0,所以g(x)≥0 恒成立.

綜上,當a≥1 時,不等式x-a2ex+a≤0 恒成立.因此,正數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

華誼兄弟可以將品牌效應(yīng)延伸到房地產(chǎn)開發(fā)領(lǐng)域，即通過一部電影或電視劇來推廣拍攝地點，帶動當?shù)匦纬陕糜物L景區(qū)。或通過影視作品中演員的服飾延伸至時尚品牌、通過影視形象和故事延伸至主題公園或展覽會的建設(shè)、旗下藝人可通過進行文學創(chuàng)作延伸打造圖書品牌。

青花，釉下彩，是用氧化鈷做呈色劑并在坯體上繪畫，罩釉后經(jīng)1300度左右高溫燒成，呈現(xiàn)白底青花的效果。青花瓷最早出現(xiàn)在唐代，但制作粗糙數(shù)量較少，直到元代青花瓷才成批出現(xiàn)，其主要原因則是因為蒙古人崇白尚藍。本文中提到的傳統(tǒng)青花在時間的概念上主要是指新中國以前。但僅以此判斷在學術(shù)上并不嚴謹，在這個時間之后也有許多仿古青花瓷出現(xiàn)，而仿古青花瓷的目的就是為了復刻出傳統(tǒng)的青花瓷，因此這種裝飾形態(tài)的青花瓷依舊被稱之為傳統(tǒng)青花瓷。

評注當解方程遇到困難無法求出方程的解時,如果能發(fā)現(xiàn)方程的一個解,便可以先利用這一個解得到參數(shù)的臨界值,進而利用參數(shù)對函數(shù)圖象的影響得到一個取值范圍,這個范圍是原不等式恒成立的一個必要條件,最后只要能論證它的充分性,那么問題也就得到了解決.

這道題的困難在于參數(shù)對函數(shù)圖象的影響是不能判斷的,從而不能利用上述的方法有效得出的必要條件,問題至此卡死.但關(guān)閉了“一扇門”卻打開了另一扇“窗”,通過a的臨界值與x0的關(guān)系的分析,對x0處的函數(shù)值的限制,便能得到一個與臨界值有關(guān)的必要條件,而且充分性可證.從某種程度上講,臨界值法破解了通過賦值得到必要條件的神秘性——為什么是利用g(0)≤0 而不是其他的值? 同時,這道題的求解也補充了文[1]中臨界值法只能求解函數(shù)是關(guān)于參數(shù)單調(diào)的情形——即不單調(diào)時,只需在臨界值對應(yīng)的x0處賦值滿足原不等式,就能得到一個必要條件,再論證充分性即可.