拱壩水平拱圈的動力穩(wěn)定條件研究

孫敦本 任青文

(1.南京林業(yè)大學 土木工程學院, 南京 210037;2.河海大學 力學與材料學院, 南京 211100)

拱壩由于性能優(yōu)良和工程造價相對較低,成為優(yōu)選的壩型之一.拱壩在形狀上呈凸向上游的擋水面,在庫水壓力作用下主要承受壓應(yīng)力,拉應(yīng)力較小,使混凝土材料的強度得到充分發(fā)揮.隨著混凝土強度等級的提高及優(yōu)化設(shè)計技術(shù)的發(fā)展,拱壩的設(shè)計厚度有相對越來越薄的趨勢.有些建成的薄高拱壩雖然滿足壩體強度及拱座穩(wěn)定的設(shè)計要求,但在使用過程中仍然會發(fā)生壩體嚴重開裂甚至毀壩的現(xiàn)象,如奧地利的Kohlbrein拱壩.通過對一些典型拱壩嚴重事故成因的剖析,一些學者從結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性方面探討拱壩的破壞特征,認為壩體過薄的拱壩可能存在穩(wěn)定問題,由于不滿足穩(wěn)定條件而導致壩體嚴重開裂,最終釀成嚴重事故.黃文熙[1]首先提出了拱壩的屈曲穩(wěn)定問題,將薄壁拱壩簡化為由水平拱段和豎向懸臂梁組成的網(wǎng)格結(jié)構(gòu),導出了靜荷載作用下兩個方向的臨界荷載.楊樹高等[2]基于拱梁分載法,用有限元軟件分析了拱壩的拱圈和懸臂梁在靜載作用下的穩(wěn)定性問題,得出了拱壩壩頂拱圈最易失穩(wěn)的結(jié)論.王正中等[3]基于圓弧拱圈的大曲率穩(wěn)定理論來分析拱壩的穩(wěn)定性,導出了臨界荷載的計算公式,對Kohlbrein拱壩失事的主要原因進行了分析,認為該拱壩失事的主要原因并非強度問題,而是該壩體設(shè)計過薄,整體剛度太小導致壩體發(fā)生屈曲失穩(wěn)破壞.任青文等[4]將水平拱圈假定為受勻布水壓力的彈性圓拱,研究了拱壩強度破壞與失穩(wěn)破壞的條件,在特定的條件下,壩體的破壞是由失穩(wěn)引起的.這些研究都是從靜力的角度對薄拱壩進行穩(wěn)定性分析的,而實際上在地震作用下對拱壩的動力穩(wěn)定分析更為必要.

由拱、梁分載法可知,在高拱壩的中上部,梁的作用變?nèi)?主要是水平拱圈起控制作用.拋物線變曲率拱能夠較好地解決壩體應(yīng)力和拱座穩(wěn)定這對矛盾,因而在工程中較常采用.按照我國混凝土拱壩設(shè)計規(guī)范(SL282—2018)對拱壩布置的要求,目前設(shè)計的有部分拱壩,拱圈的矢跨比小于1/5,從而可簡化為扁拱(淺拱).Pi等[5-6]在分析扁拱壩的承載力時發(fā)現(xiàn),由于扁拱存在非線性現(xiàn)象,實際承載能力要小于經(jīng)典理論得到的結(jié)果,即按經(jīng)典方法高估了扁拱的實際承載能力.黃朝煊[7]應(yīng)用淺拱的非線性屈曲理論,通過定量簡化計算分析,得出了拱壩柔度系數(shù)上限值與壩高之間的非線性函數(shù)關(guān)系式.

以上學者的研究多是從靜力的角度研究拱壩穩(wěn)定的臨界荷載,沒有研究動荷載下拱壩的穩(wěn)定條件及位移隨著頻率變化的突變特性.本文在研究扁拱非線性振動的基礎(chǔ)上[8],研究扁拱型拱壩水平拱圈動力穩(wěn)定的條件及對應(yīng)的物理、幾何參數(shù)與地震系數(shù)之間的關(guān)系,進一步分析了拱壩不發(fā)生動力失穩(wěn)破壞的“動力穩(wěn)定裕度”,這也是保證大壩安全的必要條件.

1 非線性動力方程的建立

拋物線型雙曲拱壩是一種實際工程中常被采用的壩型.隨著設(shè)計施工水平的提高,從安全性和經(jīng)濟性的角度出發(fā),在拱壩的體型上已趨向扁平化[9].設(shè)水平拱圈的初始拱軸線為理想拋物線,坐標方程為y0(x)=4hx(l-x)/l2,如圖1所示.假定拋物線型扁拱截面的抗彎剛度EI和橫截面積A為常量,材料的密度為ρ,扁拱的跨度為l,矢高為h.

圖1 雙鉸扁拱計算模型

設(shè)

式中:U0為地面加速度的幅值;k為地震系數(shù);g為重力加速度.式(6)成為

2 拱圈振動的突變特性及穩(wěn)定條件

拋物線型扁拱的振動方程(8)中,Y(t)為拱軸變形后的坐標;對于拱壩來說ω20通常小于零,為表示方便仍記為ω20;常數(shù)項Rk僅影響拱軸坐標的量值,不影響拱軸非線性變化的規(guī)律,分析時可略去.

設(shè)

可將式(8)化為振幅為D的雙尖點突變模型,其平衡曲面(如圖2所示)的標準形式為z3+az+b=0.

圖2 雙尖的突變模型

兩個尖點坐標為o1(α1,β1),o2(α2,β2),其中

當β的取值范圍在o1與o2的中間部分,即滿足-32α32/81f2＜β＜-32α31/81f2時,振動系統(tǒng)具有很微弱的非線性特征,可視為線性穩(wěn)定振動,位移不會發(fā)生突跳.由式(7)可知β＞0,且當β＞-32α31/81f2時,隨著地震頻率參數(shù)α的變化,系統(tǒng)共振發(fā)生畸變,拱圈振動位移會發(fā)生突跳.由于地震波的頻率是隨機的,所以當β＞-32α31/81f2時,在地震作用下水平拱圈可能會發(fā)生非線性振動而破壞.

下面以一薄高拱壩為例進行動力穩(wěn)定性分析.拱壩位于深凹的“V”型峽谷中,當?shù)氐脑O(shè)防地震加速度為0.557g,最大壩高200 m.現(xiàn)取壩頂拱圈進行分析.該拱圈水平跨度180 m,厚度2 m,拱矢高12 m,該壩水平拱圈呈扁平拱.對該水平拱圈進行動力分析時,考慮動水壓力的影響,將動水壓力等效為附加在壩面上一定質(zhì)量水體的慣性力[10]:

式中:H為壩前水深;ρ為水體的密度;h為待分析壩面處的水深.計算時取庫水為滿庫,取壩頂1 m 高的拱圈進行計算,壩體材料的彈性模量E=2.0×1010N/m2,阻尼比按規(guī)范要求取0.03～0.05,本文取0.03.由計算可知β=0.570,β1=0.568,β＞β1,根據(jù)拋物線型扁拱的穩(wěn)定條件,拱圈不符合系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,振動時位移存在突變現(xiàn)象.

圖3為拱圈振動幅值與頻率參數(shù)α之間的關(guān)系,當頻率參數(shù)α從大到小變化時,拱軸坐標振動幅值逐漸增加,但并不是在自振頻率處發(fā)生共振,而是在偏離自振頻率一定范圍處振幅最大,之后振幅突然跳到較小值;當頻率參數(shù)α從小到大變化時,振動幅值也會發(fā)生突跳現(xiàn)象.在激勵頻率的變化過程中振幅的這種突跳會對拱圈造成很大的沖擊,使拱圈的體形發(fā)生突變,導致拱圈破壞.地震過程中地震波的頻率范圍很廣,在拱圈發(fā)生非線性振動時,很容易造成拱圈失穩(wěn)破壞.可見,薄高拱壩既然存在著動力非線性振動現(xiàn)象,因此在設(shè)計拱壩時就應(yīng)避免這種現(xiàn)象的出現(xiàn),通過選取合理的幾何、物理參數(shù)使拱壩處于穩(wěn)定振動狀態(tài).

圖3 位移幅值-頻率的平法差α

設(shè)η=ξω0,當β＞0,所以β對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域為β∈(0,β1),扁拱的穩(wěn)定條件為

式中:Rξ=(-6ξ2+2ξ9ξ2+3)3.式(14)是薄高拱壩頂部的水平拱圈不發(fā)生動力失穩(wěn)破壞的必要條件.當式(14)不滿足動力穩(wěn)定的條件時,地震波頻率參數(shù)α很容易穿過分叉集從而造成大壩拱圈的失穩(wěn)破壞,因此,失穩(wěn)條件可以作為水平拱圈的地震破壞準則.

3 拱圈動力穩(wěn)定裕度分析

理論上,公式(14)右邊與左邊之比＜1時,表明水平拱圈在某些地震頻率成分下會發(fā)生動力失穩(wěn);反之,水平拱圈是動力穩(wěn)定的,且右邊與左邊之比越大越不容易發(fā)生動力失穩(wěn).實際工程中,由于混凝土是脆性材料,在振動過程中混凝土容易開裂,造成水平拱圈的剛度降低,當公式(14)右邊與左邊之比＞1也可能發(fā)生動力失穩(wěn),這個比值的限值肯定要比1大,那么比值要為多少才不會發(fā)生動力失穩(wěn)呢? 本文把這個最小的比值定義為“動力穩(wěn)定裕度”.這需要通過實驗或?qū)嶋H震害調(diào)查才能確定.混凝土拱壩遭受震害的實例較少,還未有直接因地震作用而潰壩的實例[11].

本文通過上述的分析結(jié)果與其他學者的模型試驗或數(shù)值分析結(jié)果的對比來確定穩(wěn)定裕度.大崗山拱壩高210 m,設(shè)計水平地震加速度為0.557g,是目前設(shè)防烈度最高的拱壩.鐘紅等[12]進行了幾何比尺為273的動力模型試驗和數(shù)值模擬,所得的破壞形態(tài)兩者基本一致,均在頂拱中部附近出現(xiàn)破壞.周晶等[13]對黃河上的一座雙曲拱壩進行了動力模型試驗研究,該壩最大壩高165 m,頂拱弧長422 m,壩底最大厚度45 m,壩頂厚度8.0 m.試驗結(jié)果表明壩頂中部是壩體抗震的薄弱部位.當加速度為0.8g時,壩頂中部出現(xiàn)縱橫宏觀裂縫,局部發(fā)生破壞.王海波等[14]對小灣拱壩進行了1∶300的振動臺模型試驗,小灣拱壩最大壩高294.5 m,壩頂拱冠梁厚度12 m,拱頂上游弦長798.5 m,寬高比2.73,厚高比0.25.試驗中考慮了壩體與庫水、山體與壩體的動力相互作用,所得結(jié)果也是壩頂中部率先發(fā)生破壞.可見拱壩頂部的拱圈是抗震的薄弱部位.

針對以上3個試驗,本文根據(jù)前述的理論分析,選取大壩頂部的拱圈,使用實際工程中的物理幾何參數(shù)對其進行動力穩(wěn)定分析,所得結(jié)果見表1.

表1 動力穩(wěn)定裕度計算表

由表1可知,對拱壩模型進行振動臺試驗破壞時對應(yīng)的最小穩(wěn)定裕度按式(14)計算不應(yīng)小于5.54,這是通過3組試驗結(jié)果對比得到的比較安全的穩(wěn)定裕度限值,小于這個限值可能發(fā)生非線性動力失穩(wěn).

進一步根據(jù)搜集到的資料,對一些典型的拱壩進行了動力穩(wěn)定裕度分析,并與相關(guān)學者的數(shù)值模擬結(jié)果進行了對比,結(jié)果見表2.

表2 一些典型拱壩穩(wěn)定裕度計算表

表2中加速度幅值加下劃線(用“”表示)者為設(shè)計加速度.從該表可以看出我國設(shè)計的拱壩均大于前述的動力穩(wěn)定裕度限值5.54,表明在我國規(guī)范規(guī)定的地震設(shè)防加速度下,這些拱壩不可能發(fā)生地震作用下的動力失穩(wěn)破壞.以沙牌拱壩為例,壩址的基本設(shè)防烈度為7度,拱壩以100年基準期、超越概率2%確定設(shè)計概率水準,相應(yīng)的水平地震加速度峰值為0.137 5g.以此進行拱壩設(shè)計,對應(yīng)本文的動力穩(wěn)定裕度為76.52,遠高于最小穩(wěn)定裕度5.54的限值要求.汶川地震時沙牌壩址的水平向地震加速度峰值0.262g,對應(yīng)的動力穩(wěn)定裕度為40.16,該壩經(jīng)受了此次大地震的考驗[20].王仁坤等[20]分析了沙牌拱壩在水平向地震加速度峰值為0.8g時也是安全的,該峰值加速度對應(yīng)的動力穩(wěn)定裕度為13.15,也處于動力穩(wěn)定狀態(tài),不會發(fā)生動力失穩(wěn).涂勁等[23]分析了小灣拱壩的抗震性能,在1.3倍最大可信地震作用下,即對應(yīng)的峰值加速度為0.55g時該壩破壞.本文分析的結(jié)果是,在該峰值加速度下,由式(14)計算得到小灣拱壩對應(yīng)的動力穩(wěn)定裕度為5.56,略高于最小穩(wěn)定裕度5.54的限值要求,處于發(fā)生動力失穩(wěn)的邊緣、接近破壞.二灘拱壩在地震加速度為0.31g時,采用式(14)判別的穩(wěn)定裕度為6.48,高于5.54的限值,壩體動力穩(wěn)定,與文獻[21]的結(jié)論一致.白鶴灘拱壩在地震超載系數(shù)為4.0時,文獻[26]只給出裂縫貫通的結(jié)論,按照本文的分析已經(jīng)失穩(wěn)破壞.

4 結(jié) 論

本文根據(jù)突變理論,導出拋物線形拱壩水平拱圈的地震破壞準則.在對比他人振動模型實驗和數(shù)值研究的基礎(chǔ)上,提出了“動力穩(wěn)定裕度”的概念,給出拱壩水平拱圈動力穩(wěn)定裕度的最小限值為5.54.該限值與其他學者對一些拱壩的抗震評估結(jié)果吻合較好.本文提出的動力穩(wěn)定裕度的限值可為拱壩的初步設(shè)計及地震評估提供有益的參考.