變易圖式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)模式*
——以“直線與圓的位置關(guān)系”為例

廣東省廣州市廣州大同中學(xué)(510545) 陳雪玲

“智慧課堂”是通過構(gòu)建智慧的學(xué)習(xí)環(huán)境,運用智慧的教學(xué)方法,讓學(xué)生用智慧方式解決問題的教學(xué),是促進學(xué)生全面發(fā)展的教學(xué),它強調(diào)移動智能終端的應(yīng)用,采用智能信息技術(shù),實現(xiàn)教學(xué)資源的智能推送、教學(xué)決策的智能評估、即時性的教學(xué)反饋以及多元化的交流互動,是新型的信息化、智能化課堂.把變易圖式引入到智慧課堂中,使師生互動、生生互動更多樣,為智慧課堂增添了課堂的活力.變易圖式是對教學(xué)內(nèi)容的一種處理,把教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵特征通過變易圖式推送給學(xué)生,課堂上及時收集學(xué)生的掌握數(shù)據(jù),變易圖式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)從內(nèi)容處理和模式構(gòu)建兩方面同時對高中數(shù)學(xué)教學(xué)進行研究,提高了教師教和學(xué)生學(xué)的效率.

1 變易圖式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)模式

變易圖式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)模式,根據(jù)課型的不同,模式的操作會有所不同,本文主要是高中數(shù)學(xué)概念課的操作,其中一般模式如圖1.以“直線與圓的位置關(guān)系”為例,談?wù)勛円讏D式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)處理.

圖1

2 變易圖式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)案例

下面以選擇性必修第一冊第二章“直線與圓的位置關(guān)系”為例,談?wù)勅绾卫米円讏D式與智慧課堂相結(jié)合,達到信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)深度融合的智慧課堂教學(xué).本節(jié)課要解決的內(nèi)容是直線與圓的位置關(guān)系的判斷,求弦長以及求圓的切線方程.

2.1 推送資源,個性學(xué)習(xí)

課前教師發(fā)布微課、學(xué)案、檢測、背景素材等學(xué)習(xí)資源,為學(xué)生提供富媒體方式的自主學(xué)習(xí)支架;學(xué)生在任務(wù)單的引領(lǐng)下進行課外自主學(xué)習(xí),以最適合自己的方式接受知識.在本節(jié)課上課之前,我給學(xué)生的平板推送了兩個小視頻,視頻1: 從初中純幾何的角度出發(fā),直線與圓的位置關(guān)系有相離、相切、相交,從初中直線與拋物線的交點問題類比出聯(lián)立直線與圓的方程,通過判斷方程組的解的個數(shù)確定直線與圓的交點個數(shù),從而判斷直線與圓的位置關(guān)系.這種方法稱為代數(shù)法;視頻2: 介紹通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷直線與圓的位置關(guān)系,并且?guī)椭鷮W(xué)生回顧了點到直線的距離公式,這種方法稱為幾何法.兩個視頻都簡短明了地介紹了原理和判斷的過程.學(xué)生自主學(xué)習(xí)后對下面表格的填寫都基本正確,可以看出學(xué)生對這兩種方法原理基本掌握.

2.2 創(chuàng)設(shè)情境,引入概念

情境創(chuàng)設(shè)是引入數(shù)學(xué)概念的重要基礎(chǔ),智慧課堂創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境,可以以圖片、視頻,畫板動態(tài)演示等方式呈現(xiàn)給學(xué)生,更能激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的興趣,從而為抽象的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)做好鋪墊,也可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活,又服務(wù)于生活.

本節(jié)課一開始就給出了一個海上日出的短視頻,把太陽視作圓,地平線視作直線,在日出的過程,體現(xiàn)了直線和圓的哪些位置關(guān)系? 視頻很唯美,很快就把學(xué)生吸引到課堂中.接著給出第二個情境: 一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報: 臺風(fēng)中心位于輪船正西70km 處,受影響的范圍是半徑長為50km 的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北70km 處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受臺風(fēng)的影響?

并讓學(xué)生思考: 輪船是否受臺風(fēng)的影響,本質(zhì)是研究什么數(shù)學(xué)問題.最后用GeoGebra 畫板演示輪船的行駛路徑,如圖2,動態(tài)的演示激起了學(xué)生去判斷輪船的行駛路徑所在直線與臺風(fēng)影響的圓的位置關(guān)系,從而引入了本節(jié)課的內(nèi)容.

圖2

這些都可以同屏給學(xué)生,直接投放到學(xué)生的平板上,讓大家可以更清晰、更直觀地看到老師的視頻或者PPT 等,讓教室的每個座位都是課堂的中心,提高學(xué)習(xí)的效率.

智慧課堂所能使用的資源非常多,選用的時候不能喧賓奪主,情境的引入一是為了激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性,最重要的還是引導(dǎo)學(xué)生從直觀的事物中抽象概括出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),進一步理解數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué).

2.3 辨析概念,典例示范

辨析概念、探究概念本質(zhì)與應(yīng)用規(guī)律是高中概念課教學(xué)的主要過程,在概念教學(xué)的過程中,要讓學(xué)生深入?yún)⑴c到概念知識的探究中.因此在概念教學(xué)過程中,概念的內(nèi)涵外延、概念的關(guān)鍵特征、概念知識的應(yīng)用非常重要,因此要注重變易探究,可以讓學(xué)生小組合作討論,生生互動的探究能促進數(shù)學(xué)意識的形成.同時,在教學(xué)中要對例題做好規(guī)范表達的示范,表達可以體現(xiàn)概念關(guān)鍵特征和嚴謹性,是概念學(xué)習(xí)的一個重要過程.

本節(jié)課學(xué)生課前觀看了推送到他們平板的兩個視頻學(xué)習(xí)資源,而且在初中也有相關(guān)的知識,因此學(xué)生對判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法還是能快速理解,對上面的表1 填寫也基本沒問題.在學(xué)生掌握了基本概念方法后,給出課本的典型例題:

表1 直線與圓的位置關(guān)系

表2 變易圖式1

表3 變易圖式2

表4 變易圖式3

例1.已知直線l: 3x+y-6=0 和圓C:x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.

題目考查的就是判斷直線與圓的位置關(guān)系,在上面的引入過程中學(xué)生已經(jīng)明確解決問題的兩種方法,同樣的對應(yīng)求弦長也是有兩種方法.通過讓學(xué)生把解答過程投屏發(fā)現(xiàn),幾何法和代數(shù)法都分別有很多人采用,隨后教師對兩種解答做了示范講解,對老師的示范解答,學(xué)生可以拍照記錄,也可以錄下來課后復(fù)習(xí),這也是為學(xué)生自己解題提供表達的規(guī)范參照.

為了加深學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系的判斷,給出了下面的變易圖式:

在保持圓方程不變的情況下,讓學(xué)生設(shè)計題目給同桌完成,學(xué)生積極性很高,課堂一下子“活”起來,學(xué)生完成后,再利用智慧課堂的點名搶答功能,展示部分學(xué)生解答,如下圖3:

圖3

在例題的講解中,教師是沒有引導(dǎo)學(xué)生去選擇哪種方法,是通過學(xué)生讓自己在完成圖式的過程中,自己學(xué)會對方法進行選擇.為了更好地全面了解學(xué)生的解題情況,設(shè)置了一個選擇題給學(xué)生: A.采用幾何法解題,B.采用代數(shù)法解題,得到了下面圖4 的數(shù)據(jù):

圖4

采用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系的占比達到了89.7%.從學(xué)生的解答來看,在整個過程,教師都沒有引導(dǎo)學(xué)生去選擇幾何法,但是學(xué)生通過自己設(shè)計題目,變易探究,自己去發(fā)現(xiàn)問題,自己去解決問題,在這個合作探究的過程中,他們可以明顯地感受到幾何法在計算上的優(yōu)勢,自然而然地絕大部分采用了幾何法解決直線與圓的位置關(guān)系判定.

上面的圖式,也可以保持直線方程不變,而改變圓的方程來進行探究.通過讓學(xué)生自己設(shè)計圖式進行探究,讓學(xué)生自己去感受數(shù)學(xué)的解題,不但調(diào)動了學(xué)生的積極性,培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力,更是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時借助智慧課堂的隨測功能,可以實時監(jiān)測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,在大數(shù)據(jù)的幫助下,可以更全面的了解學(xué)生的作答情況,緊扣學(xué)生為主體進行教學(xué).

2.4 變易探究,拓展思維

對概念的關(guān)鍵特征和應(yīng)用規(guī)律的探究,可以通過變易圖式,幫助學(xué)生去關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心知識點,讓學(xué)生在變中找到不變,讓學(xué)生在變化中審辯出不變的原則和方法,拓展思維,也就是“萬變不離其宗”的道理.同時,利用智慧課堂的功能,生成變易圖式的使用數(shù)據(jù),老師可以清晰快速地了解學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)解題方法的關(guān)鍵特征的掌握情況.

對課本的例題2: 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1 的切線l,求切線l的方程.

題目就是求過一點的圓的切線方程,但在處理這個例題時,我并沒有直接就讓學(xué)生完成,而是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)完成下面的變易圖式,保持圓的方程不變,你會把P(2,1)的坐標改為什么點讓你的同桌完成呢?

通過隨測功能,讓學(xué)生拍照上傳他們設(shè)計的圖式,學(xué)生的積極性依然很高,潛力也被有效激發(fā),非常積極的分享自己的圖式,所取的點坐標也是五花八門: (666,555),(π,e),(πe,eπ)......他們的想法都比較一致: 利用計算難倒同桌.在肯定了同學(xué)們的想法之后,我給出了下面的圖式:

接下來讓學(xué)生完成下面三個問題:

(1)分別過上面的三個點作圓的切線,切線條數(shù)是多少?

利用智慧課堂的隨測選擇題功能,設(shè)置選項為A.0 條B.1 條C.2 條,讓學(xué)生快速做出選擇.圖5-1、5-2、5-3 是學(xué)生的作答情況.

圖5-1

圖5-2

圖5-3

從上面的數(shù)據(jù)反映,絕大部分的同學(xué)都能快速判斷點與圓的位置關(guān)系,但仍有個別同學(xué)判斷錯誤.

(2)變易圖式這樣設(shè)計點坐標的意圖是什么?

前面學(xué)生給的例子意圖是考查計算,并沒有考慮到過一點求圓的切線方程,首先需要判斷點與圓的位置關(guān)系,讓學(xué)生明確我們設(shè)計變易圖式,要抓住數(shù)學(xué)的關(guān)鍵特征和主要特點進行設(shè)計,正是考慮到點的位置影響著圓的切線條數(shù)以及解題方法,所以才把點的坐標設(shè)計為在圓內(nèi)、圓上、圓外.通過這樣變易探究的過程,讓學(xué)生明白先判斷點的位置再求過該點的圓的切線.能根據(jù)數(shù)學(xué)概念和方法的關(guān)鍵特征設(shè)計圖式,深思熟慮的鉆研對待所學(xué)的知識,才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),提高學(xué)生提出問題、解決問題的能力.

(3)求上面第②、③圖式的切線方程.

在求切線方程的過程中,也是有幾何法和代數(shù)法兩種方法.幾何法: 設(shè)出切線的方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量的值,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨驗證,若符合題意則直接寫出切線方程.代數(shù)法: 設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元,利用?=0 求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在,可直接寫出切線的方程.過一點求圓的切線方程,一定要判斷該點是在圓上還是在圓外,在圓上只有一條切線方程,在圓外有兩條切線方程.

通過變易圖式的探究,讓學(xué)生一步步對問題進行思考,不斷地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和關(guān)鍵特征,而智慧課堂的使用則是更好地輔助我們精準地掌握學(xué)生的情況,及時進行課堂的調(diào)控.

同時,在變易探究的過程中,引導(dǎo)學(xué)生進行提煉,學(xué)生只有在探究的過程中準確提煉關(guān)鍵信息并實現(xiàn)對關(guān)鍵信息的有效總結(jié)才能真正理解并掌握概念知識.在此過程中,還需要不斷優(yōu)化變易圖式,通過圖式引導(dǎo)學(xué)生探究與提煉,讓學(xué)生學(xué)會辨析概念,應(yīng)用概念.教師拋磚引玉,以問題串的形式讓學(xué)生充分發(fā)揮,展開熱烈的探討,并對小組交流的結(jié)果進行展示,能提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和自信心,真正收到“學(xué)在其中,樂在其中”的效果.

2.5 隨堂測評,總結(jié)歸納

在教學(xué)中,課堂總結(jié)應(yīng)用尤為重要,它是對課題內(nèi)容的重要鞏固,也是教學(xué)內(nèi)容的延生.通過總結(jié)應(yīng)用,學(xué)生可以及時發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中存在的問題并加以完善,從而全面掌握整堂課的知識內(nèi)容,并發(fā)展反思能力.而總結(jié)后的隨堂測試,更是檢驗本堂課效果的重要依據(jù),也是課后作業(yè)布置和下一節(jié)教學(xué)處理的重要數(shù)據(jù)支撐.

為了檢測課堂學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,檢驗課堂目標的達成情況,在歸納總結(jié)后給出了兩個測試題,下面圖6 是學(xué)生的作答情況:

圖6

從數(shù)據(jù)上可以看出絕大部分同學(xué)掌握了課堂上講的基本方法,出現(xiàn)錯誤的幾個同學(xué)的主要原因是計算錯誤導(dǎo)致的.隨堂測試主要是為了檢測課堂效果,因此題目的選取要緊緊圍繞課堂的內(nèi)容來選取,對隨堂測試出現(xiàn)的問題要及時解決,同時反思課堂的教學(xué)環(huán)節(jié)有沒有出現(xiàn)問題,及時調(diào)整.在智慧課堂的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計下,對教師的教學(xué)效果評價能快速及時,同時對學(xué)生的評價也更具體、更客觀,也更精準.

2.6 推送作業(yè),分層布置

課前及課中的教學(xué)數(shù)據(jù)成為課后反思的強有力驅(qū)動,根據(jù)課中反饋的數(shù)據(jù),課后可以分層布置作業(yè).比如上面測試第一題答錯的四位同學(xué),平時基礎(chǔ)也比較薄弱,可以給他們推送基礎(chǔ)一些的題目;第二題雖然只有三位同學(xué)答錯,但在課中教學(xué)過程中學(xué)生求圓的切線方程對先判斷點與圓的位置關(guān)系這個知識點的掌握并不是很理想的,因此作業(yè)題目可以在這個方面有所側(cè)重.在智慧課堂數(shù)據(jù)的支撐下,作業(yè)的布置會更有針對性,對學(xué)生的評價也會更客觀,更多元化.

2.7 批改作業(yè),微課輔導(dǎo)

作業(yè)的批改,客觀題由系統(tǒng)自動批改,主觀題仍然需要老師進行批改,批改后可以得到學(xué)生的答題情況數(shù)據(jù),如圖7:

圖7

其中第6、7、10 題的正答率不是很高,根據(jù)得分率的情況,對作業(yè)中出現(xiàn)的問題,可以錄制微課推送給學(xué)生,以幫助學(xué)生更好地解決問題,同時也可以根據(jù)學(xué)生的個人的得分情況,課后對學(xué)生進行輔導(dǎo).同時,學(xué)生作業(yè)的答題情況,也為第二天的課前測試選題提供數(shù)據(jù)的參考.

智慧課堂課前、課中、課后所生成的數(shù)據(jù),為我們的教學(xué)提供有力的輔助,借助數(shù)據(jù)分析,幫助學(xué)困生樹立自信,幫助優(yōu)生做拓展訓(xùn)練,分層教學(xué)能更精準,全面了解學(xué)生,讓因材施教真正達成.

3 變易圖式下的高中數(shù)學(xué)智慧課堂教學(xué)反思

變易圖式下的智慧課堂,以促進學(xué)生的智慧生成為導(dǎo)向,以學(xué)生為中心,在教學(xué)內(nèi)容的處理上,通過變易,讓學(xué)生辨析概念和方法,拓展思維,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);在教學(xué)手段上,利用智慧課堂的技術(shù)和功能,借助數(shù)據(jù)分析,可以讓教師準確捕捉不同學(xué)生的認知動向,及時調(diào)整教學(xué)方案,對教學(xué)進行有效調(diào)控和分層教學(xué),同時對學(xué)生的評價也更多元,提高了學(xué)生學(xué)和老師教的效率.