數(shù)學(xué)美在初中數(shù)學(xué)思想方法中的體現(xiàn)與教學(xué)感悟

廣東省汕頭市第一中學(xué)(515000) 廖馥蘭

古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯說:“美就是和諧,整個(gè)天體是一種和諧,宇宙的和諧是由數(shù)組成的,因而構(gòu)成了整個(gè)宇宙的美.”世間萬物都有其獨(dú)特的美,而我們需要一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛.2020 年10 月,中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校美育工作的意見》,明確把美育納入學(xué)校人才培養(yǎng)全過程,健全面向人人的學(xué)校美育育人機(jī)制.美育不只是局限在音樂、美術(shù)等藝術(shù)課程,還應(yīng)包括各學(xué)科所蘊(yùn)含的學(xué)科美,比如數(shù)學(xué)美,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)學(xué)科過程中感受美、發(fā)現(xiàn)美、欣賞美.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》中總目標(biāo)提出: 通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,學(xué)生能了解數(shù)學(xué)的價(jià)值,欣賞數(shù)學(xué)美.[1]在教學(xué)過程中,啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的能力,是數(shù)學(xué)課程需要實(shí)現(xiàn)的一個(gè)重要目標(biāo).

1 中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀及存在的問題

從認(rèn)知發(fā)展的理論,我們知道青少年的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)從具體形象向抽象思維發(fā)展.初中階段的學(xué)生處于抽象思想的發(fā)展和完善階段,不再將思維局限于具體的事物上,開始運(yùn)用抽象的概念,能提出合理可行的假設(shè)并進(jìn)行驗(yàn)證.初中數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容也增加了不少抽象的概念和定理,如函數(shù)等,注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.但由于中考的升學(xué)要求,許多學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)注重學(xué)生的解題和應(yīng)試能力、對知識的理解和應(yīng)用、對題目的準(zhǔn)確作答,忽視數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),忽略數(shù)學(xué)美的欣賞.這樣的應(yīng)試教學(xué)不利于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識只停留在抽象的知識和解題的套路,沒有感受和欣賞數(shù)學(xué)美,對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣和熱情.

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)思想方法是十分重要的思維方法和解題技能,但對學(xué)生來說,它也是抽象、晦澀難懂的.如果我們在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)美,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識與方法的同時(shí)欣賞著數(shù)學(xué)的美,會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的趣味與美妙,而不再是枯燥無味的抽象理論,還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情.

2 數(shù)學(xué)美在初中數(shù)學(xué)思想方法中的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)的美是無處不在的,數(shù)學(xué)概念、定理、公式、解題思想方法等都有數(shù)學(xué)美的身影,它的美含蓄不張揚(yáng)卻讓人賞心悅目.數(shù)學(xué)美主要表現(xiàn)在簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美[2]等方面,我們在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美的能力,不應(yīng)只是簡單、直接地介紹,或是單純地欣賞數(shù)學(xué)美表面的美好,而是結(jié)合學(xué)科內(nèi)容,更深層次地融合數(shù)學(xué)思想方法去感受和欣賞數(shù)學(xué)美,體會數(shù)學(xué)美在學(xué)科知識和解題方法上的作用.數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識、方法和規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識,數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序,是數(shù)學(xué)思想的具體反映.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂,數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段,人們把它們合稱為數(shù)學(xué)思想方法[3].初中階段涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有: 數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想、函數(shù)思想、方程思想、反證法等,在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法過程中,融合數(shù)學(xué)美的欣賞和感悟,能提高學(xué)生的審美情趣,提高學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

2.1 簡潔美

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)而簡練的,它的簡潔美體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法上的簡潔.數(shù)學(xué)公式定理的表達(dá)就體現(xiàn)了符號語言的簡潔性,數(shù)學(xué)方法是為了實(shí)現(xiàn)將問題化繁為簡的目的.

2.1.1 轉(zhuǎn)化思想中的簡潔美

比如解一元二次方程,不管是配方法還是因式分解法,都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解,運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想對方程進(jìn)行降次化簡,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法上化繁為簡的簡潔美.這樣類似的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和簡潔美的體現(xiàn)還有很多,代數(shù)方面有運(yùn)用消元法將二元或三元方程組轉(zhuǎn)化為一元方程求解,有運(yùn)用“去分母”將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解等,幾何方面有將四邊形或多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形求解,有運(yùn)用“平面展開”將空間幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的面積求解,有運(yùn)用“截面法”將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何求解等.數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想將高次化為低次、多元化為一元、立體化為平面等化繁為簡的過程,無不讓人感受著數(shù)學(xué)的簡潔美.

2.1.2 整體思想、換元法中的簡潔美

例1(1)已知x0為方程x2-8x+9=0 的一個(gè)實(shí)數(shù)根,求的值;

(2)已知a,b為方程x2+x-2022=0 的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,求a2+2a+b的值.

解: (1)∵x20-8x0+9=0,∴x20-8x0=-9,

(2)∵a,b為方程x2+x-2022=0 的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,∴a2+a-2022=0,即a2+a=2022,且a+b=-1,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2022-1=2021.

如果例1(1)通過先求解方程的實(shí)數(shù)根再代入所求的式子,需要討論不同解的情況,將會花費(fèi)不少時(shí)間,但是利用方程的解滿足x20-8x0+9=0,把它看作整體代入式子直接求解,問題很快解決,方法簡單直接.例1(2)考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理):運(yùn)用數(shù)學(xué)的整體思想,不求解方程的實(shí)數(shù)根,直接代換,實(shí)現(xiàn)問題的解決,化繁為簡、化難為易,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.

圖1

當(dāng)所求問題很難或無法通過有限的列舉法得到時(shí),歸納思想就發(fā)揮了重要作用,讓學(xué)生從有限的項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律,歸納并寫出簡明統(tǒng)一的表達(dá)式,進(jìn)而可以求出任何一項(xiàng),表現(xiàn)了包含規(guī)律性的簡潔美.

2.2 對稱美

數(shù)學(xué)的對稱美主要表現(xiàn)在幾何圖形的對稱、一些定理公式的對稱等,在初中階段常見的有圖形的軸對稱和中心對稱,還有函數(shù)圖象的對稱性等.在解決一些問題時(shí),對稱美發(fā)揮了關(guān)鍵的作用.比如最短路徑問題、函數(shù)增減性的運(yùn)用問題等.

例3 如圖2,在等邊三角形ABC中,AD是BC邊上的高,E為AC的中點(diǎn),P為AD上一動(dòng)點(diǎn).若AD=12,試求PC+PE的最小值.

圖2

解: 如圖3,連接PB,BE.?ABC是等邊三角形,AD⊥BC,∴PC=PB.∴PE+PC=PE+PB≥BE,即當(dāng)B,P,E三點(diǎn)共線時(shí),PC+PE取得最小值為BE.∵AD=12,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),∴BE=AD=12.∴PE+PC的最小值是12.

例3 運(yùn)用等邊三角形的對稱性、垂直平分線的性質(zhì)將PC+PE轉(zhuǎn)化為PB+PE,利用“兩點(diǎn)間線段最短”求得最值.利用對稱性實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想,是數(shù)學(xué)對稱美的靈活運(yùn)用.

2.3 和諧美

數(shù)學(xué)的和諧美,或稱統(tǒng)一美,表現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)形式在不同層次的高度統(tǒng)一和協(xié)調(diào),是指在不同的數(shù)學(xué)對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律.[2]初中階段的數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等已初步展示了數(shù)學(xué)和諧美的特征.

2.3.1 數(shù)形結(jié)合中的和諧美

數(shù)形結(jié)合思想,把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì),或?qū)D形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的一種十分重要的思維策略.數(shù)與形的結(jié)合,使得幾何問題用代數(shù)工具解決,也使代數(shù)問題化為幾何直觀化,實(shí)現(xiàn)問題化難為易,是數(shù)學(xué)和諧美的完美體現(xiàn).

例4如圖4,菱形ABCD的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上,且邊長為則菱形ABCD的面積為_____.

圖4

圖5

2.3.2 方程思想中的和諧美

例5如圖6,將正方形紙片ABCD對折,使AB與CD重合,折痕為EF.如圖7,展開后再折疊一次,使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,折痕為GH,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,EM交AB于點(diǎn)N.若AD=2,則MN的長是多少?

初中數(shù)學(xué)的圖形折疊變換是一個(gè)考點(diǎn),解決折疊變換問題的一個(gè)關(guān)鍵思路是方程思想,找出圖形變換后的等量關(guān)系(如勾股定理),設(shè)未知量列出方程進(jìn)而求解.這種幾何圖形變換問題運(yùn)用代數(shù)方程思想來解決的方法,充分運(yùn)用代數(shù)工具協(xié)助解決幾何問題,展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.

3 教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)思想方法是揭示數(shù)學(xué)規(guī)律的重要工具,是實(shí)現(xiàn)將數(shù)學(xué)問題化繁為簡、化難為易的重要策略和方法,眾多巧妙的數(shù)學(xué)思想方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美遠(yuǎn)不止本文例子中提到的.數(shù)學(xué)美讓原本抽象的數(shù)學(xué)問題變得趣味和生動(dòng),讓人們在數(shù)學(xué)知識的海洋里感受數(shù)學(xué)美的熏陶并熱愛數(shù)學(xué).教師應(yīng)在自身感受、欣賞和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的同時(shí),將數(shù)學(xué)美傳播給學(xué)生.首先,從課本內(nèi)容中挖掘數(shù)學(xué)美.如數(shù)學(xué)概念的表達(dá)、公式的提出、定理的數(shù)學(xué)語言表達(dá)和證明,甚至數(shù)學(xué)家對問題的提出與證明過程等,都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美、和諧美等,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上不只是接收數(shù)學(xué)知識,還感受其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)美,感受數(shù)學(xué)美給數(shù)學(xué)家?guī)淼撵`感和幫助,數(shù)學(xué)課不再是枯燥無味的公式運(yùn)算,而是充滿數(shù)學(xué)美的欣賞與感悟.其次,在解題過程中找尋數(shù)學(xué)美.在解題思路和方法中,找尋數(shù)學(xué)思想方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美在解題中發(fā)揮的奇妙作用,讓解題從機(jī)械單調(diào)的運(yùn)算變成發(fā)現(xiàn)美和欣賞美的旅程,使學(xué)生帶著輕松和愉悅的心情解題,提高了學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)效率.最后,設(shè)置教學(xué)活動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美,結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)置有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng),如測量學(xué)校旗桿的高度、研究商場打折銷售策略、研究最短路徑問題等,讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題,感受數(shù)學(xué)的趣味性和應(yīng)用性,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的存在.

結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的能力,讓數(shù)學(xué)課堂生動(dòng)有趣、感受美的熏陶、陶冶情操,不僅激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,提高學(xué)習(xí)質(zhì)量,提高解決問題能力,還能培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.所以,我們要帶著發(fā)現(xiàn)美的眼睛,在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美的能力.