2022 年新高考I 卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的解法探究與推廣*

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(528000) 洪銳敏

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017 年版2020 年修訂)》提出把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進教學(xué)的課程基本理念,即以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,提高教學(xué)的實效性[1].因此,本文以2022 年新高考I 卷第22 題為例,基于GeoGebra 對該問題進行探究與推廣,并給出嚴格的邏輯推理證明,將信息技術(shù)與高考數(shù)學(xué)試題的變式研究結(jié)合起來,這不僅可以為試題的命制和變式提供參考,而且更有助于引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念和原理的本質(zhì).

2 原題呈現(xiàn)與解法探究

前提下無法直接求出方程根的準確值,故需將求方程根的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為求函數(shù)的零點問題,利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理探究根的個數(shù)和根的和差間的等量關(guān)系.由(1)知f(x) 在(-∞,0) 單調(diào)遞減,在(0,+∞) 單調(diào)遞增;g(x) 在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增,f(x)min=g(x)min=1,故若存在直線y=b與曲線y=f(x)、y=g(x)有三個不同的交點,則須b>1,且B點為曲線y=f(x)、y=g(x)和直線y=b的公共交點,x1<0

原題呈現(xiàn)(2022 年新高考I 卷第22 題) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．

(1)求a;

(2)證明: 存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

解法探究本題以極值點偏移為背景,既是近幾年高考的熱點[2],也是二輪復(fù)習(xí)時的綜合內(nèi)容,涉及多方面的知識點[3].第(1)問是根據(jù)函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx的導(dǎo)數(shù)研究f(x)和g(x)單調(diào)性的常規(guī)問題,考查學(xué)生的順向思維能力.根據(jù)兩個函數(shù)有相同的最小值這一條件求a的值,通過分類討論,分別確定f(x) 和g(x) 的最小值f(x)min和g(x)min,令f(x)min=g(x)min,解關(guān)于a的方程,即可得到a的值.第(2) 問中,不妨設(shè)從左到右的三個交點分別為A,B,C,橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,即要證明x1+x3=2x2,實質(zhì)是討論方程ex-x=b(2.1)與方程x-lnx=b(2.2)根的和差間的等量關(guān)系.由于方程(2.1)和(2.2)是包含指數(shù)和對數(shù)的方程,學(xué)生不借助信息技術(shù)的

因此,存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x) 和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

本題是以極值點偏移為背景的壓軸題,考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)運算、指數(shù)與對數(shù)的互化、等差數(shù)列的概念等知識點,解題過程體現(xiàn)出對轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和分析法的綜合考核,要求學(xué)生有較強的邏輯推理素養(yǎng)和逆向思維能力.往年較為常見的以極值點偏移為背景的試題以對不等式證明的考查為主[4],解題過程需要結(jié)合題意構(gòu)造出新的函數(shù)[5],本題的不同之處在于不設(shè)置證明不等式的題目,而是要求證明直線與曲線交點橫坐標(biāo)和差間的等量關(guān)系(x1+x3=2x2或x2-x1=x3-x2),且解題過程不需要構(gòu)造新的函數(shù),這是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊以極值點偏移為背景命制試題的第一個創(chuàng)新點.其次,這是自2014 年新高考政策在浙江省和上海市試點實施以來,全國I 卷首次將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題與數(shù)列結(jié)合起來進行考查,也是本試題在考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的第二個創(chuàng)新點,從命題的形式上看比較新穎,既遵循了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017 年版2020 年修訂)》提出的引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)的課程基本理念,也是新高考試題命制的靈活性和敢于突破常規(guī)的體現(xiàn),對后續(xù)高考試題中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的命制和一線教師的教學(xué)有一定的借鑒意義,下文筆者將借助GeoGebra 繼續(xù)對該解答題進行探究與推廣.

3 探究思路和過程

2022 年新高考I 卷第22 題第(2) 問是證明存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x) 和y=g(x) 共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,得到x1+x3=2x2,即x2-x1=x3-x2=b,線段AB=BC=b.下面筆者借助GeoGebra 探究直線y=c(c> 1,c≠b)與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有四個不同的交點的情況,如圖1 和圖2,先繪制出直線y=c與兩條曲線y=f(x)=ex-x和y=g(x)=x-lnx的圖象,作出直線y=c(c> 1,c≠b) 動態(tài)變化的效果[6].設(shè)從左到右的四個交點分別為A,B,C,D,橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,探究x1,x2,x3,x4的和差間的等量關(guān)系,以及以A,B,C,D四點為端點的各線段長度與之間存在的等量關(guān)系.通過GeoGebra 對相關(guān)線段的長度關(guān)系進行動態(tài)追蹤和探究,分別得到下列4 個結(jié)論,然后通過邏輯推理證明結(jié)論的嚴謹性,為試題的命制和變式提供參考.

圖1 1 < c < b 時直線y=c 與曲線y=f(x)和y=g(x)的圖象

圖2 c > b 時直線y=c 與曲線y=f(x)和y=g(x)的圖象

4 結(jié)論與證明

結(jié)論1直線y=c(c> 1,c≠b)與兩條曲線y=f(x)和y=g(x) 共有從左到右的四個不同的交點,設(shè)交點坐標(biāo)分別為A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),則總有線段AB=CD恒成立.

5 教學(xué)建議

本文在對2022 年新高考I 卷第22 題解題探究的基礎(chǔ)上,借助GeoGebra 探究直線與曲線交點橫坐標(biāo)和差間的等量關(guān)系和以交點為端點的線段長度與之間存在的等量關(guān)系,通過圖象和數(shù)據(jù)直觀發(fā)現(xiàn)以上4 個結(jié)論并給出證明過程,是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊與解析幾何板塊知識點的結(jié)合,根據(jù)以上探究過程,筆者給出以下四點教學(xué)建議:

5.1 注重信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

以GeoGebra、幾何畫板等軟件為代表的信息技術(shù)工具是數(shù)學(xué)教師設(shè)計并實施數(shù)學(xué)實驗的良好載體,是落實引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合的課程基本理念,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的有效途徑.教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)注重信息技術(shù)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用,這不僅能將數(shù)學(xué)問題從抽象轉(zhuǎn)化為具體,有助于學(xué)生對問題情境的理解,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

5.2 注重加強數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力

以極值點偏移為背景的問題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的高頻考點,要求學(xué)生在熟練掌握函數(shù)與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識的前提下對知識進行運用、分析并解決實際問題,屬于“多想多算”,且注重對分析法的考核,因此,學(xué)生必須在平時的練習(xí)過程中加強數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊在數(shù)學(xué)運算上容易出錯的知識點包括冪、指數(shù)、對數(shù)的互化,含有指數(shù)、對數(shù)的不等式求解,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)等.邏輯推理不僅體現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的解題過程對分析法的運用上,還滲透在學(xué)生能夠有邏輯地思考問題,形成重依據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)上.

5.3 重視引導(dǎo)學(xué)生建立多知識點或不同知識板塊間的聯(lián)系,深化轉(zhuǎn)化與化歸思想

由于2022 年全國新高考I 卷第22 題將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和數(shù)列結(jié)合起來進行考查,本文探究發(fā)現(xiàn)并證明的4 個擴展結(jié)論涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和解析幾何板塊知識點的結(jié)合,因此,教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生建立多知識點或不同知識板塊間的聯(lián)系,深化轉(zhuǎn)化與化歸思想,鼓勵學(xué)生將難題轉(zhuǎn)化和歸結(jié)為已習(xí)得的知識進行求解.例如,把對方程根的個數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)零點的個數(shù),將二次項系數(shù)為負數(shù)的一元二次不等式化歸為二次項系數(shù)為正數(shù)的一元二次不等式進行求解等.

5.4 夯實變式訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和問題解決能力

將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)與數(shù)列結(jié)合起來進行考查是2022 年全國新高考I 卷第22 題試題命制的創(chuàng)新點,以證明直線與題干所給的兩條曲線從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列設(shè)問,是發(fā)揮高考對人才選拔功能的體現(xiàn),因此,教師在設(shè)計題目時,要注意深挖試題內(nèi)涵,從試題測評的層面檢驗學(xué)生是否真正認識到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),突出教育評價的指揮棒作用,并對試題進行變式和創(chuàng)新,使學(xué)生能從不同的角度或難度層次上進行解題訓(xùn)練,進而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和問題解決能力.