問題導(dǎo)向提升思維能力變式教學(xué)培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——以“橢圓中的定點定值問題”為例

江蘇省常州市戚墅堰高級中學(xué)(213000) 周舒儀

隨著普通高中課程改革和高考綜合改革的深入推進(高考數(shù)學(xué)科提出5 項關(guān)鍵能力: 邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力,以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng): 數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析).問題導(dǎo)向教學(xué)是一種以問題為中心,教師按照事先制訂的教學(xué)目標(biāo),與學(xué)生進行思維碰撞,發(fā)揮學(xué)生主觀能動性,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的教學(xué)方式.變式教學(xué)指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化的教學(xué)方式,它主張保持問題的本質(zhì)特征,將問題的非本質(zhì)屬性不斷遷移,通過深化認(rèn)知的一系列策略與途徑,在動態(tài)教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)[1].問題導(dǎo)向教學(xué)和變式教學(xué)都符合新課改的要求,同時對于提高學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)都具有重要意義.本文以“橢圓中的定點定值問題”為例,從2020 年全國卷的解析幾何題入手,設(shè)計了一系列變式和問題.

1 教學(xué)背景概述

1.1 教學(xué)目標(biāo)

表1 教學(xué)目標(biāo)

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對象為常州市戚墅堰高級中學(xué)高三理科班級學(xué)生.在前一階段的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已完成了解析幾何專題的一輪復(fù)習(xí),對用坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想解決曲線問題有了一定感悟.但橢圓中的定點定值問題對學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)要求較高.同時班級學(xué)生在知識整合、綜合運用方面的能力不足,對于此類問題有畏難情緒.

1.3 內(nèi)容分析

解析幾何中的定點定值問題一直是高中數(shù)學(xué)的熱點,也在高考試題中頻繁出現(xiàn),比如,2022 年新高考全國I卷第21題,2020 年高考全國I卷理科第20 題、2020 年高考山東卷第22 題、2019 年高考全國Ⅲ卷理科第20 題等,均涉及定點或定值問題.這類問題的綜合性強,解析過程中對邏輯思維和計算能力的能力要求較高.

2 基于變式教學(xué)的活動設(shè)計

2.1 概念性變式和過程性變式

概念性變式和過程性變式都注重探求問題的本質(zhì),但概念性變式旨在加深學(xué)生對概念的理解,掌握基本知識,側(cè)重研究“是什么”這個問題,多采用“一題多變”的形式;過程性變式注重引導(dǎo)學(xué)生積累活動經(jīng)驗,掌握基本思想和技能,強調(diào)回答“怎么做”問題,多采用“一題多解”、“多題歸一”的形式[2].

2.1.1 “一題多變”構(gòu)建知識框架

師: 現(xiàn)在老師將本題條件“P,Q是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點”刪除,將結(jié)論“kAP·kAQ=”變成條件,畫圖取特殊位置,根據(jù)橢圓對稱性和問題2 進行猜測,直線AB恒過定點是什么?

生2: 直線AB恒過原點.

2.1.2 “一題多解”把握問題本質(zhì)

整理得(4k2+1)x1x2+(4km-4k)(x1+x2)+4(m-1)2=0.

(*)代入得

(4k2+1)(4m2-4)+(4km-4k)(-8km)+4(m-1)2(1+4k2)=0.

整理得8m(m-1)=0,又∵m≠1,∴m=0,∴直線AB的方程為y=kx,∴直線AB恒過定點(0,0).

方法四: 平移坐標(biāo)系,齊次化構(gòu)造[2].

2.1.3 “多題歸一”掌握通性通法

變式1-2過橢圓=1(a>b> 0)上一點P(x0,y0)作斜率分別為k1,k2的兩條直線,交橢圓E于異于點P的A,B兩點.若k1·k2=λ,則直線AB恒過定點.

師: 根據(jù)剛才的探究,我們有哪些方法可以用于解決這類問題呢?

生3 小結(jié)思路:

①方法一: 畫圖,根據(jù)橢圓的對稱性,猜測定點位置.特殊位置,先猜后證.

②方法二: 設(shè)線解點,寫出A,B兩點坐標(biāo),點斜式寫出直線AB的方程,利用k1·k2為定值消參,找出定點.

③方法三: 設(shè)而不求,設(shè)直線AB的方程,韋達定理消元,找到直線AB方程中兩個參數(shù)的關(guān)系,從而消參找出定點.

④方法四: 平移坐標(biāo)系,齊次化構(gòu)造.

師: 很好! 同學(xué)們已經(jīng)掌握了這四種方法,當(dāng)我們解決其他橢圓中的定點問題時,這四種方法會有什么優(yōu)勢和局限呢? 請大家小組討論.

生4: 方法一更加適用于選擇填空題,或者是過原點這類特殊點的問題.方法二和方法三適用范圍比較廣,其中方法二在定點不是原點的情況下,計算難度較大.方法四對于求一類已知斜率之和和斜率之積的問題計算比較簡單,其他情況不適用.

2.2 水平變式和垂直變式

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授孫旭花研究表明: 每個數(shù)學(xué)問題可分解為表面形式特征和深層數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征.新問題相較于舊問題而言,僅出現(xiàn)表面形式的變化稱為水平變式,出現(xiàn)深層結(jié)構(gòu)的變化稱為垂直變式.

2.2.1 水平變式拓寬廣度

師: 問題1 這個常用結(jié)論是如何敘述的?

2.2.2 垂直變式延展深度

師: 讀題,請你來說說,本題和變式1-2 在題意上有什么聯(lián)系?

生6: 他們都是已知兩條直線的關(guān)系,求證直線過定點問題,針對解決這類問題的一種通性通法,我們可以利用關(guān)注方法三,即設(shè)而不求,設(shè)直線AB的方程,韋達定理消元,找到直線AB方程中兩個參數(shù)的關(guān)系,從而消參找出定點.

師: 根據(jù)方法三,我們會有如下解題過程:

師: 本題和變式1-2 在消參的過程中上有什么不同?

生7: 本題中雖有y1y2結(jié)構(gòu),但是沒有出現(xiàn)y1+y2,無法利用韋達定理直接代入消元.

師: 同桌討論,思考造出現(xiàn)這種“非對稱結(jié)構(gòu)”的原因是什么?

生8: 變式1-2 已知斜率的兩條直線是由一個點引出的,而變式1-4 是由兩個點引出的直線.

師: 如何將非對稱結(jié)構(gòu)變成對稱結(jié)構(gòu)呢? 我們可以試著從變式1-3 中找到思路.

師: 我們一起完成了兩個題目,分別解決了已知橢圓中直線的斜率之積、斜率之比為定值,直線過定點的問題,根據(jù)以上的探究,相信你也有了一些想法,你能否將題目條件稍做變化,編制一個變式1-5 的變式呢?

師: 非常好,同學(xué)們已經(jīng)能夠掌握問題的本質(zhì),將定點和定值問題的網(wǎng)成功編織起來了.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課從2020 年全國卷的解析幾何題入手,根據(jù)“手電筒模型”和“蝴蝶模型”之間的聯(lián)系設(shè)計了一系列問題和變式,在課堂中探究一類定點問題與定值問題的轉(zhuǎn)化.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生在解決問題的過程中不僅掌握基本知識,還進一步加強了學(xué)生思考問題的深刻性、跨越性、綜合性.

從本節(jié)課的教學(xué)實錄來看,將問題導(dǎo)向教學(xué)和變式教學(xué)作為手段,由淺入深、層層遞進,圍繞“定點定值問題的本質(zhì)是什么? ”、“如何解決定點定值問題? ”、“如何將復(fù)雜的非對稱結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為熟悉的對稱結(jié)構(gòu)? ”、“定點定值問題有什么聯(lián)系? ”設(shè)計了一系列的變式問題,引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的“變”與“不變”,設(shè)定合理的變量,準(zhǔn)確把握各變量的關(guān)系.同時以概念性變式和過程性變式為依托,探求問題本質(zhì);以水平變式和垂直變式“織網(wǎng)”,覆蓋知識性內(nèi)容的方方面面.在整個學(xué)習(xí)過程中,問題導(dǎo)向教學(xué)和變式教學(xué)的融合運用激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,主動構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),實現(xiàn)了知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)化,有效鍛煉數(shù)學(xué)思維能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).