基于大單元理念下的探究性作業(yè)
——由圓的切線方程說起

廣東省廣州市育才中學(510080) 羅文娟

引言

在新課標、新教材、新高考的背景下,為有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng),最近大家對大單元教學的研究如火如荼,圍繞高中數(shù)學教材內(nèi)容,開展大單元教學設(shè)計研究,以完成單元教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化、關(guān)聯(lián)性、整體化的融合,促使學生在多元化的數(shù)學學習環(huán)境下,對本單元的數(shù)學內(nèi)容,形成系統(tǒng)化思維,夯實學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識,逐漸提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)與綜合學習實力.這里筆者設(shè)計了一個以“由圓的切線方程說起”為主題的大單元探究性作業(yè),筆者認為探究性作業(yè)也可以踐行大單元教學理念,也可以有效培養(yǎng)學生運用邏輯思維方法進行推理和證明的學科素養(yǎng).

1 問題的起源

高中人教A 版新教材選擇性必修一第二章直線和圓的方程

P92 例2 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1 的切線l,求切線l的方程.

解法一: 由圓心到切線的距離d=r求得切線的斜率k=0 或再由直線的點斜式方程得到切線方程.

解法二: 聯(lián)立圓方程和切線方程消元后由判別式?=0求的k=0 或再由直線的點斜式方程得到切線方程.

2 問題提出

(由以上問題得到啟發(fā),提出問題4,推廣到更為一般的情況)

問題4

(1)過曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m<0,n<0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為mx0x+ny0y=1?

(2)過曲線C:m(x-a)2+n(y-b)2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m< 0,n< 0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為m(x0-a)(x-a)+n(y0-b)(y-b)=1?

(3)過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

(4)過曲線y=(即xy=1)上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

根據(jù)以上問題的探究,不由地想進一步探究當曲線方程為任意的二元二次方程的情況.

問題5

過二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0)表示的曲線上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

3 問題解析

當然點P(x0,y0) 的坐標也滿足以上方程.所以過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線l的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

問題4

(1)過曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m<0,n<0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為mx0x+ny0y=1?

(由于曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m< 0,n< 0 不同時成立),不一定是圓,以上三問題能用的垂直,這里不能使用了,只能使用聯(lián)立方程組消元后使用判別式為零求證.)

探索過程

①如果過曲線O:mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m< 0,n< 0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的斜率存在,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),由

問題4

(2)過曲線C:m(x-a)2+n(y-b)2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m< 0,n< 0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是否為m(x0-a)(x-a)+n(y0-b)(y-b)=1?

問題4 的(2) 和問題4 的(1) 的探索方法是一樣的,只是方程表達式的復(fù)雜引起判別式?=0 的計算更為繁雜,原理都一樣,所以同理可以得到以下結(jié)論: 過曲線C:m(x-a)2+n(y-b)2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m<0,n<0 不同時成立)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是m(x0-a)(x-a)+n(y0-b)(y-b)=1.

問題4

(3)過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

探索過程:

①如果過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的斜率存在,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),

左達一手拿著一萬，一手拿著錢包，對著徐藝直搖頭，“你還是太緊張了，跟我第一次下賭場一樣。你得放松一點，別老想著錢包的事?！?/p>

②如果過曲線y2=2px(p> 0)上一點P(x0,y0)的切線l的斜率不存在,此時P(0,0),切線方程為x=0,也滿足y0y=p(x+x0).

綜上所述: 過曲線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)的切線l的方程是y0y=p(x+x0),即px-y0y+px0=0.

我們可以觀察發(fā)現(xiàn): 這里的切線方程只要把原曲線方程變?yōu)閥·y=p(x+x),然后二次項留一換一,一次項2x=x+x也留一換一就可以得到.

問題4

(由求得的切線方程y0x+x0y-2=0 的結(jié)構(gòu),可以看出: 把曲線方程xy=1,兩邊乘以2,得xy+xy=2 然后每個二次項留一換一所得,這與問題4(3)的發(fā)現(xiàn)一致.)

問題5

過二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0)表示的曲線上一點P(x0,y0)的切線l的方程又是什么呢?

根據(jù)以上曲線的方程和求得的切線方程的結(jié)構(gòu)對比分析可以得出以下結(jié)論:

4 設(shè)計意圖

4.1 本探究作業(yè)的操作

本探究作業(yè)讓學生在課后先思考,然后在堂上分小組分任務(wù)找代表主講,教師點評指引.

4.2 本探究作業(yè)取材于教材例題,深挖教材

由教材P92 例2 出發(fā),進行改編.由切線所過的已知點在圓外,改為在圓上;由圓的方程到圓錐曲線的方程,到一般的二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0).

4.3 本探究作業(yè)基于大單元教學理念考慮,能有效的提升學生的解決問題能力

4.3.1 本探究作業(yè)基于大單元教學理念考慮

圓的方程從圓心在原點處的簡潔形式x2+y2=r2到圓心不一定在原點的稍微復(fù)雜的(x-a)2+(y-b)2=r2形式,再到即將在下一章將會學習到的橢圓和雙曲線mx2+ny2=1(其中m,n為非零常數(shù)且m< 0,n< 0不同時成立) ,即當m> 0,n> 0,且m≠n時曲線mx2+ny2=1 表示橢圓,當m·n<0 時曲線mx2+ny2=1表示雙曲線,既然研究了橢圓、雙曲線就不差再研究一下拋物線(拋物線另外三種標準形式也可一樣研究),既然研究了除了二次項還帶一次項的方程,就不妨再研究一下帶x·y項的方程,而學生熟悉的只有y=所以就設(shè)計了問題1,問題2,問題3,問題4(1)(2)(3)(4).既然這些曲線方程都研究了,那它們的通式:

二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(其中A、B、C不同時為0)對應(yīng)的所有曲線是否也有此結(jié)論?所以提出了問題5.

上述想法就是把求切線的曲線方程從圓到圓錐曲線,從中心在原點到不一定在原點,從簡單到復(fù)雜,從特殊到一般,層層遞進,到更為一般的二元二次方程所表示的曲線,希望達到研究一點到觸通一類的目的.符合了根據(jù)數(shù)學知識、方法內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)性,對散落于教材中的教學內(nèi)容進行整合,形成教學主題單元,從碎片化的知識走向整體、主題式的知識團的大單元教學理念.

4.3.2 本探究作業(yè)能有效的提升學生的解決問題能力

舉例: 已知點P為直線l:x+y-2=0 上一動點,過點P作圓x2+y2=1 的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB恒過的定點的坐標為_____.

方法一設(shè)點P(m,n),則m+n-2=0,∵過點P作圓x2+y2=1 的切線,切點分別是A,B,∴PA⊥OA,PB⊥OB,∴P、A、O、B四點共圓,其中OP為直徑,所以圓心坐標為∴P、A、O、B四點確定的圓的方程為:半徑長為化為一般方程為:

即x2-mx+y2-ny=0 與x2+y2=1 聯(lián)立,求得AB所在直線方程為:

又因為其中m+n-2=0,即m=2-n代入①中,得:(2-n)x+ny=1,所以(y-x)n+2x-1=0,所以解得:直線AB恒過定點的坐標為故答案為:

方法二根據(jù)題意設(shè)P(m,-m+2),m是實數(shù),切點A(x1,y1),B(x2,y2),則過點P,分別以A,B為切點的圓x2+y2=1 的切線方程分別為lPA:x1x+y1y=1,lPB:x2x+y2y=1,因為這兩切線都過點P,所以把點P的坐標均代入兩切線方程得:x1m+y1(-m+2)=1,x2m+y2(-m+2)=1,此時說明A,B兩點得坐標均滿足直線方程xm+y(-m+2)=1,又因為兩點確定一直線,所以直線AB的方程就是xm+y(-m+2)=1,即m(x-y)+(2y-1)=0,所以由x-y=0,2y-1=0 解得線AB恒過定點的坐標為

以上兩種方法比較,明顯方法二比方法一簡單得多.如果把上題的題目中圓方程換為橢圓的方程或雙曲線方程或拋物線方程,依然求兩切點所在的直線方程則均可用以上方法二,計算方便簡潔,易于學生掌握,可提高教學的有效性,做到“舉一反三”,讓學生積累解題經(jīng)驗,在日常學習中提升數(shù)學學科素養(yǎng),避免“題海戰(zhàn)術(shù)”,有效的提升學生的解決問題能力,從而可見這種大單元為主題的探究性作業(yè)是非常有必要的.

4.4 本探究作業(yè)各問題的解法既可歸一,也可多樣性,能有效培養(yǎng)學生運用邏輯思維方法進行推理和證明的學科素養(yǎng),同時也增加了數(shù)學探究的趣味性

本探究作業(yè)設(shè)計成問題串,需要大膽地猜想,然后推理和證明,是訓練學生運用邏輯思維方法進行推理和證明能力的好素材.

這些問題串的通性通法是聯(lián)立方程組,讓判別式為零求切線的斜率.但是具體到不同的曲線又可以有其本身特色的解法: 如圓可以用d=r,或用kOP·kl=-1,來求切線的斜率,為了避免斜率存在與否的討論還可以發(fā)揮向量的工具性,用向量法來求切線方程;非標準的特殊雙曲線y=的方程本是熟悉的反比例函數(shù),函數(shù)特征明顯,求導數(shù)比較容易,用導數(shù)法求斜率更快捷.

本探究作業(yè)各問題的解法既可歸一,也可多樣性,讓學生領(lǐng)會到同類數(shù)學問題的研究可以有通法也可有具體問題具體分析的個性解法,數(shù)學探究趣味無窮!

5 結(jié)束語

這種大單元為主題的探究性作業(yè)教學設(shè)計,可以使知識更加系統(tǒng)化、科學化,更易于學生從“樹木”見“森林”,在具體問題中又比較容易從“森林”中識別出某“樹木”; 通過對教材內(nèi)容的深挖,讓學生理解基礎(chǔ)知識,掌握基本技能,掌握解題的基本方法,經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般再從一般到特殊,即經(jīng)歷“部分—整體—部分”的活動過程,感悟數(shù)學基本思想,從而積累數(shù)學基本經(jīng)驗,提升學科核心素養(yǎng),值得我們一線教師在日常的教學中不斷的去挖掘和設(shè)計出更多的這種大單元為主題的案例.