高中物理解題中數(shù)學(xué)思想與方法應(yīng)用舉例分析
——以“三角函數(shù)”為例

孫志峰

(福建省惠安第一中學(xué),福建 惠安 362100)

新時期,新的高考物理考試說明進(jìn)一步明確了考生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力的要求,高考生不僅需要在具體物理問題中找出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,而且需要根據(jù)數(shù)學(xué)的特點與規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo),并恰當(dāng)運用幾何圖形、函數(shù)圖像輔助物理判斷、得出物理結(jié)論.因此,探究數(shù)學(xué)思想與方法在高中物理解題中的應(yīng)用具有非常重要的意義.

1 高中物理解題中的數(shù)學(xué)思想

在高中物理問題求解中,可利用的數(shù)學(xué)思想與方法包括幾何法、估算法、函數(shù)法、圖解法、比值法、歸納法、微元法、極限分析法、特殊值法、分類討論法、極值法等.其中在物理問題求解中應(yīng)用頻率較高的數(shù)學(xué)思想與方法包括函數(shù)圖像、平面幾何、數(shù)列、解三角形、不等式、微積分初步等[1].

2 物理解題中的數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”思想與方法

2.1 三角函數(shù)定義

在高中物理問題求解中的“三角函數(shù)”思想與方法本質(zhì)上是將角、比值分別作為自變量、函數(shù)值的函數(shù),主要是:設(shè)a是一個任意角,a的正弦記為sina,a的余弦記為cosa,a的正切記為tana,a的余切記為cota,a的正割記為seca,a的余割記為csca[2].

2.2 三角函數(shù)定理

在高中階段物理問題解析過程中,常用的三角函數(shù)定理主要包括正弦定理、余弦定理、正切定理等.其中正弦定理是三角函數(shù)基本定理,特指:對于任意一個平面三角形,其各邊與邊所對角的正弦值的比為同一數(shù)值,且各邊與邊所對角的正弦值的比等于外接圓的直徑;余弦定理主要描述三角形中3邊長度、1個角的余弦值的關(guān)系,即:對于任意一個三角形,任何1個邊的平方等于其他2個邊平方的和減去對應(yīng)兩邊與其夾角的余弦的積的2倍;正切定理主要用于描述正切函數(shù),即:一個三角形內(nèi),任意2條邊的和除以第1條邊減第2條邊的差所得的商、兩條邊的對角的和的1/2的正切除以第1條邊對角減第2條邊對角的差的一半的正切所得的商是同一個數(shù)值.

3 高中物理解題中數(shù)學(xué)思想與方法應(yīng)用舉例分析——以“三角函數(shù)”為例

3.1 恒成立問題

借助三角函數(shù)思想方法解決物理恒成立問題,需要在分析題目物理過程、事物狀態(tài)的情況下,根據(jù)物理規(guī)律列方程,再在方程中根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解.在三角函數(shù)思想方法應(yīng)用于物理問題解決過程中,最簡單的用法是直接利用三角函數(shù)的正弦公式(或余弦公式、余切公式、正切公式求解).特別是在物理恒成立問題解析過程中,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正交分解,聯(lián)系列出式子直接利用三角函數(shù)求解.

例1一物體m放置在水平面上,m與水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ,現(xiàn)施加一個斜向下的力F推物體,F與水平面之間夾角為φ.在m與水平面之間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力的情況下,φ至少為( )時,無論F多大均無法推動物體m.

3.2 物體的動態(tài)平衡問題

高中階段,物體的動態(tài)平衡問題較為常見,特指物體自始至終處于平衡狀態(tài)但受力持續(xù)發(fā)生變化的一類問題[3].一般情況下,物體的動態(tài)平衡問題多為3個力作用下的平衡問題,部分情況下物體的動態(tài)平衡問題也涉及4個力的平衡.解決上述問題一般需要根據(jù)平衡條件列出方程,由所列方程分析物體受力變化,即函數(shù)法,或者根據(jù)平衡條件繪制力的分解圖(或合成圖),在圖像中分析力的變化,即圖解法.根據(jù)不同方法的應(yīng)用過程,教師可以引導(dǎo)高中生選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù),輔助解決物體的動態(tài)平衡問題.

3.2.1 函數(shù)法解決物體的動態(tài)平衡問題

高中階段,解決平衡問題的基本思路是分析受力,結(jié)合平衡條件(或三角形定則、三角函數(shù)定理)等知識進(jìn)行解析.從函數(shù)解析視角來看,物體的動態(tài)平衡問題是通過控制特定物理量的變化促使物體整個狀態(tài)發(fā)生緩慢變化,緩慢變化特指速度極小的變化,可認(rèn)定為速度為0,此時,物體在變化階段達(dá)到平衡狀態(tài).教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析物體動態(tài)平衡條件,根據(jù)條件列方程,根據(jù)方程帶領(lǐng)學(xué)生探究物體受力變化.

例2輕繩兩端分別系在質(zhì)量為m的物體上、輕質(zhì)圓環(huán)上,圓環(huán)套在粗糙水平桿MN上,此時,利用水平力F拉動輕繩上一個節(jié)點,促使物體達(dá)到某一位置(圖1中實線),進(jìn)而變更水平力F的大小,在圓環(huán)位置一定的情況下,促使質(zhì)量為m的物體連同輕繩下降(圖1中虛線),在整個過程中,水平力F、圓環(huán)與粗糙水平桿MN的摩擦力Fm、圓環(huán)對粗糙水平桿MN的壓力FN的變化情況是( ).

圖1 例2示意圖

A.F逐漸增大,Fm保持不變,FN逐漸增大;

B.F逐漸增大,Fm逐漸增大,FN保持不變;

C.F逐漸減小,Fm逐漸增大,FN逐漸減小;

D.F逐漸減小,Fm逐漸減小,FN保持不變.

解析上述題目為高中階段典型的力的動態(tài)平衡問題,可以利用力的合成思想進(jìn)行求解,同時需要利用數(shù)學(xué)知識中的三角函數(shù)知識進(jìn)行解析,需要高中生熟練了解三角函數(shù)定理在物體動態(tài)平衡類物理問題中解析的規(guī)律[4].

答案:D

3.2.2 圖解法解決物體的動態(tài)平衡問題

在基于圖解法的力學(xué)題目解析過程中,三角函數(shù)思想應(yīng)用的關(guān)鍵在于借助正交分解梳理問題解析思路,明確物體受力后構(gòu)建直角坐標(biāo)系,完成力的分解.進(jìn)而根據(jù)牛頓運動定律,完成公式聯(lián)列[5].在公式聯(lián)列后,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行問題解析.如例題2中,質(zhì)量為m的物體在水平力F、物體重力、圓環(huán)與粗糙水平桿MN的摩擦力Fm的作用下處于平衡狀態(tài),水平力F與輕質(zhì)繩的拉力FL的合力與重力平衡,表明水平力F與輕質(zhì)繩的拉力FL的合力大小恒定,方向豎直向上,且水平力F的方向維持一定,根據(jù)力的三角形法則,可以水平力F與輕質(zhì)繩的拉力FL的合力、水平力相互垂直,繪制矢量圖(見圖3).

3.3 運動規(guī)律問題

高中物理題目中,運動規(guī)律問題涉及了簡諧運動、機械波運動等.在運動規(guī)律問題解析中需要運用三角函數(shù)的相關(guān)知識,如求解簡諧運動的振動方程可以轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)圖像求解三角函數(shù)解析式[6].

3.4 物理最值問題

作為函數(shù)的一種,三角函數(shù)在物理問題解析中的應(yīng)用與一般函數(shù)類似,求解物理最值是三角函數(shù)應(yīng)用的主要方面[7].

列出式子后,教師可以鼓勵學(xué)生利用三角函數(shù)中的輔助角公式進(jìn)行解決.即:

其中θ滿足

在cosφ+μsinφ最大時,F最小.

綜上所述,函數(shù)思想特指利用函數(shù)表示某一物理問題,借助函數(shù)的概念、性質(zhì)進(jìn)行物理問題的分析、轉(zhuǎn)化與求解,并探明相關(guān)類型的一般規(guī)律.三角函數(shù)思想是重要的函數(shù)思想,教師應(yīng)根據(jù)物理最值、恒成立、動態(tài)平衡等問題內(nèi)容,帶領(lǐng)學(xué)生借助三角函數(shù)思想逐步分析、求解,在幫助學(xué)生順利解決物理問題的同時,提高學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)能力.