求解空間幾何體體積問題的基本策略

侯有岐

(陜西省漢中市四〇五學(xué)校,陜西 漢中 723312)

空間幾何體的體積問題是高考的必考內(nèi)容,主要以選填題或解答題(文科)的形式出現(xiàn),難度中等,側(cè)重考查學(xué)生的空間想象、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解等能力.關(guān)于空間幾何體的體積問題,依據(jù)題設(shè)的特殊性,常用的解題方法有:公式法、等體積變換法、分割法、補(bǔ)形法、函數(shù)法和向量法等,有時(shí)還可用平移法、相似比法、祖暅原理法等求解,凸顯 “化非規(guī)則為規(guī)則,化不可求為可求,或化不易求為易求”的整體思維的具體應(yīng)用. 本文以近幾年高考試題和模擬試題為例歸類解析,以期幫助學(xué)生迅速提升解題能力.

1 公式法

例1 (2022年全國甲卷(文、理)·4) 如圖1,網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為( ).

圖1 多面體三視圖

A.1.8 B.12 C.16 D.20

分析由三視圖還原成原幾何體,可知該幾何體為直四棱柱,直接代入棱柱的體積公式即可得答案.

圖2 三視圖還原幾何體圖

點(diǎn)評(píng)本題考查由三視圖求體積,關(guān)鍵是由三視圖正確還原原幾何體,是中檔題.本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸和基本分析求解能力.

公式法也叫直接法,一般適用于幾何體形狀整齊,有較明顯的垂直關(guān)系且長度已知的題型.用公式法求幾何體的體積要先確定高和底面積,對(duì)于高的確定一定要先證明該線垂直于底面,不可以憑感覺判定.另外,還要記住柱、錐、臺(tái)、球等常用幾何體體積公式.

分析設(shè)母線長為l,甲圓錐底面圓半徑為r1,乙圓錐底面圓半徑為r2,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得r1=2r2,結(jié)合圓心角之和可將r1,r2分別用l表示,利用勾股定理分別求出兩圓錐的高,再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

所以r1=2r2.

故選C.

變式(2020年江蘇卷·9)如圖3,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm,高為2 cm,內(nèi)孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.

圖3 2020年江蘇卷9題圖

2 等體積變換法

圖4 2022年新高考Ⅰ卷19題圖

分析由等體積變換法運(yùn)算即可得解.

點(diǎn)評(píng)點(diǎn)到平面的距離的求解問題要么直接求解,要么設(shè)出來用等體積法求解.等體積變換法(換頂點(diǎn))大多用于與錐體體積有關(guān)的問題中,尤其是三棱錐,這是因?yàn)槿忮F的任何一個(gè)面都可以作為底面.轉(zhuǎn)換原則是換底高易求或底面放在已知幾何體的某一面上.

變式(2019年全國Ⅰ卷文·19)如圖5,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.

圖5 2019年全國Ⅰ卷文19題圖

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?所以DE⊥平面BCC1B1.

所以DE⊥EC1.

3 分割法

例4 (2018年江蘇卷·10)如圖6所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為____.

圖6 2018年江蘇卷10題圖

點(diǎn)評(píng)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以判斷所求幾何體可以分割為兩個(gè)全等四棱錐.割補(bǔ)法求幾何體的體積是比較常規(guī)的方法,比如多面體切割成錐體特別是三棱錐,需要有整體與局部結(jié)構(gòu)意識(shí).

變式(2019年Ⅲ卷文理·16)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖7,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為____g.

圖7 2019年Ⅲ卷16題

又長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為V2=4×6×6=144 cm3,所以該模型體積為V=V2-V1=144-12=132 cm2,其質(zhì)量為0.9×132=118.8 g.

4 補(bǔ)形法

例5(2019年Ⅰ卷理·12)三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

分析由題意畫出圖形(如圖8),證明三棱錐P-ABC為正三棱錐,且三條側(cè)棱兩兩互相垂直,再由補(bǔ)形法求外接球球O的體積.

圖8 2019年Ⅰ卷理12題

解法因?yàn)镻A=PB=PC,△ABC是邊長為2的等邊三角形,所以P-ABC為正三棱錐.

所以PB⊥AC.

又E,F分別為PA,AB中點(diǎn),所以EF∥PB.

所以EF⊥AC.

又CE∩AC=C,

所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC.

所以∠APB=90°.

點(diǎn)評(píng)本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計(jì)算能力,是中檔題.可通過線面垂直定理得到三棱兩兩互相垂直的關(guān)系,得到側(cè)棱長,利用補(bǔ)全圖形法解決問題[1].

一般地,若三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且相等,則此三棱錐可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體;若三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等,則此三棱錐可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體,且長方體的體對(duì)角線長就是該三棱錐的外接球的直徑.

圖9 2017屆貴州省遵義模擬題圖

點(diǎn)評(píng)割補(bǔ)本來屬于同一個(gè)思想,分割是向內(nèi)視角,補(bǔ)全是向外視角,但是大多數(shù)時(shí)候?qū)W生都是分割處理,向外的視角不易想到,為了強(qiáng)化此種意識(shí),將割補(bǔ)分為兩類進(jìn)行歸納分析.比如將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,三棱錐補(bǔ)成四棱錐或三棱柱或平行六面體,將圓錐放在圓柱體中,等等.此題就是把三棱錐補(bǔ)全到正方體中,從而利用整體全局意識(shí)解決問題.

5 函數(shù)法

分析設(shè)正四棱錐的高為h,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系,由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

解析因?yàn)榍虻捏w積為36π,所以球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為h,則

l2=2a2+h2,32=2a2+(3-h)2.

所以6h=l2,2a2=l2-h2.

點(diǎn)評(píng)立體幾何中求體積的最值(或范圍)問題,利用函數(shù)思想,特別是利用導(dǎo)函數(shù)或均值不等式求取最值,是一次精彩的綜合交匯,首先要理清數(shù)量關(guān)系,然后將圖形和文字轉(zhuǎn)化至數(shù)學(xué)語言,用數(shù)學(xué)建立函數(shù)模型,最后通過函數(shù)求最值的方法解決問題.

變式(2017年全國Ⅰ卷理·16)如圖10,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊△ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為____.

圖10 2017年全國Ⅰ卷理16題圖

解析如圖11,連接DO交BC于點(diǎn)G,設(shè)D,E,F重合于點(diǎn)S,正三角形的邊長為x(x>0),則

6 向量法

例7(2021年新高考Ⅰ卷·20)如圖12,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點(diǎn).若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

圖12 2021年新高考Ⅰ卷20題

分析建立合適的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,0,m),利用待定系數(shù)法求出平面的法向量,由向量的夾角公式求出m的值,然后利用錐體的體積公式求解即可.

圖13 坐標(biāo)法圖

解得m=1.

解法2 (傳統(tǒng)幾何法)作出二面角的平面角,如圖14所示,作EG⊥BD,垂足為點(diǎn)G.作GF⊥BC,垂足為點(diǎn)F,連接EF,則OA∥EG.

圖14 傳統(tǒng)幾何法圖

因?yàn)镺A⊥平面BCD,所以EG⊥平面BCD,∠EFG為二面角E-BC-D的平面角.

因?yàn)椤螮FG=45°,所以EG=FG.

由已知得OB=OD=1,故OB=OC=1.

點(diǎn)評(píng)解法1通過建立空間直角坐標(biāo)系是理科生解決立體幾何的常見方法,即幾何問題代數(shù)化,體現(xiàn)向量的實(shí)用價(jià)值.解法2找到二面角的平面角,然后對(duì)幾何體的幾何特征進(jìn)行研究,在本題中屬于比較好的方法.

變式(2021年乙卷數(shù)學(xué)文科18題)已知四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點(diǎn),且PB⊥AM.

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD(解析略);

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

故四棱錐P-ABCD的體積

解法2 (平面直角坐標(biāo)系法)由(1)知AM⊥DB,所以kAM·kBD=-1.

建立如圖15所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=2a(a>0),因?yàn)镈C=1,所以A(0,0),B(1,0),D(0,2a),M(1,a).

圖15 平面直角坐標(biāo)系圖

下同解法1.

解法3 (空間直角坐標(biāo)系法)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)|DA|=t,所以D(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),A(t,0,0),B(t,1,0).

又PD⊥底面ABCD,AM在平面ABCD內(nèi),

因此PD⊥AM.

點(diǎn)評(píng)本題破題關(guān)鍵是求出矩形ABCD的邊長BC,解法1利用相似三角形求出矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;解法2建立平面直角坐標(biāo)系,利用直線垂直的條件得到矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;解法3直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的邊長;解法4利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的邊長.所有解法中解法3最為簡捷,可見空間向量法在解決立體幾何問題中的優(yōu)越性.

總之,立體幾何中有關(guān)體積問題,高考考查的形式已經(jīng)由原來的簡單套用公式漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐、球的接、切問題相結(jié)合.而求錐體體積的常用方法是等價(jià)轉(zhuǎn)化法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上;求規(guī)則幾何體體積的常用方法是公式法、整體法等;求不規(guī)則幾何體的體積常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以便于求解,常見方法有等體積法、割補(bǔ)法、函數(shù)法、向量法等.