基于學習路徑分析的“多邊形的面積”單元整體教學*
——如何真正形成轉化思想

□裘陸勤 章勤瓊

“多邊形的面積”是小學階段“圖形與幾何”領域的重要內(nèi)容之一，包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積和不規(guī)則圖形的面積以及解決問題等學習內(nèi)容。一般而言，“多邊形的面積”單元是學生掌握了長方形和正方形的面積計算、多邊形的認識、圖形的平移與旋轉之后學習的內(nèi)容，也為后續(xù)學習立體圖形側面積、表面積和體積的計算以及圓面積計算等內(nèi)容奠定基礎。求多邊形的面積的本質是把未知圖形的面積通過割補、倍拼、分割等方法轉化為已知圖形的面積。實際教學中，教師不僅要注重學生對多邊形的面積的推導過程，還要引導學生探究所研究的圖形與轉化后的圖形之間的聯(lián)系。

此外，在“多邊形的面積”的教學中，教師還需要落實推理意識這一核心素養(yǎng)表現(xiàn)。推理意識主要是指“對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”［1］，在“圖形與幾何”領域的具體表現(xiàn)是能夠用化歸的方法形成局部的演繹推理［2］。這里的化歸是指將所研究的的圖形轉化為已經(jīng)會計算面積的圖形來求面積。然而，轉化思想的形成并不是一蹴而就的，要真正學會轉化，學生需要經(jīng)歷不同的層次。在“多邊形的面積”的教學中，教師可以從意識、方法與策略等角度真正滲透轉化思想。為此，筆者基于學習路徑分析的研究框架［3］，對“多邊形的面積”單元進行了整體教學的思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元的教學目標主要包括：（1）探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式；（2）會用面積公式計算平行四邊形、三角形和梯形的面積，并解決生活中一些簡單的實際問題；（3）認識簡單的組合圖形，會把組合圖形分解成已學過的平面圖形并計算出它的面積；（4）會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。

北師大版教材五年級上冊將相關內(nèi)容分為“多邊形的面積”和“組合圖形的面積”兩個單元進行教學。“多邊形的面積”單元的教學目標主要包括：（1）體驗數(shù)方格及割補法在圖形面積探究中的應用；（2）認識梯形、平行四邊形與三角形的高，會用三角尺畫這三種圖形的高；（3）理解并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式，會計算這三種圖形的面積。

“組合圖形的面積”單元的教學目標主要包括：（1）能正確計算簡單的組合圖形的面積；（2）能估計不規(guī)則圖形面積的大小；（3）認識面積單位公頃和平方千米，會進行簡單的面積單位換算。

對比發(fā)現(xiàn)，兩個版本教材關于“多邊形的面積”的編排和教學目標有所不同，但都提出了探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，且能計算組合圖形和不規(guī)則圖形的面積等要求。具體而言，人教版教材在第1課時直接教學平行四邊形的面積；北師大版教材在第1課時先鋪墊了數(shù)方格及割補法在圖形面積探究中的應用，幫助學生積累探索圖形面積的活動經(jīng)驗。

由此得出，本單元的教學內(nèi)容主要有以下三個方面：（1）探究多邊形的面積公式，會用面積公式解決問題；（2）會計算組合圖形的面積；（3）會估計不規(guī)則圖形的面積。

（二）確定核心目標

史寧中認為，面積度量的實質就是計算該圖形包含多少個面積單位。［4］“多邊形的面積”單元的教學目標就是讓學生運用度量單位計算圖形的面積，主要分為三個階段：第一階段，由于“不是整格”，故引導學生運用割補法實現(xiàn)轉化，即讓學生先借助數(shù)方格的方法得到平行四邊形的面積，再把平行四邊形面積通過割補法轉化為長方形面積；第二階段，由于不能用割補法直接解決問題，所以需要引導學生用倍拼等方法，把三角形轉化為長方形或平行四邊形來求面積；第三階段，靈活選擇和運用多種方法，即讓學生把梯形轉化為長方形、平行四邊形或三角形來求面積，把組合圖形通過割補法轉化為已經(jīng)會計算面積的圖形，根據(jù)圖形的特點將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形等各種策略與方法，估計出不規(guī)則圖形的面積。

由此可知，“多邊形的面積”這一單元的核心目標是：在探索多邊形面積的過程中，滲透轉化思想，發(fā)展學生的推理意識與空間觀念。

（三）核心目標具體化

結合以上整體分析可知，轉化思想是本單元需要落實的核心目標。具體而言，體現(xiàn)在以下三個方面：（1）在探究平行四邊形面積的過程中形成轉化意識。學生首先要以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，思考學過面積計算的目標圖形有哪些，如學習平行四邊形面積之前，學生只學習了長方形和正方形的面積計算，因此學生要想辦法把平行四邊形轉化為長方形或正方形；再探究怎樣把現(xiàn)有圖形轉變?yōu)閷W過的目標圖形；最后驗證現(xiàn)有圖形是否真的變成了學過的目標圖形，它們哪里變了，哪里沒有變。（2）在探究三角形面積的過程中掌握轉化方法。教師要引導學生關注圖形之間的轉化方法，如割補法、倍拼法、分割法，掌握其作用及適用范圍。（3）在探究梯形和組合圖形面積的過程中學會選擇合適的轉化策略。此時，學生已經(jīng)具備了轉化意識，掌握了轉化方法，能用較多的方法計算梯形和組合圖形的面積，教師要引導學生對比計算面積的不同方法，思考轉化過程中各種方法的相同點和不同點，積累圖形面積計算的活動經(jīng)驗。

二、確定學習起點

本單元的核心目標是滲透轉化思想，具體需要從轉化意識、轉化方法與轉化策略三個方面進行考查。因此，學生已經(jīng)具備怎樣的轉化水平是本單元教學的重要依據(jù)。為了解學生的轉化水平，筆者從學生是否具有轉化意識和所使用的轉化方法兩個方面入手，對五年級兩個教學班的56 名學生進行了前測。而轉化策略作為本單元學習需要達成的最高轉化水平，在前測中沒有涉及。

（一）前測題設計

為了解學生的真實學習情況，筆者設計了3道前測題。第1 題指向學生是否有意識地把平行四邊形轉化為已經(jīng)學過的圖形，第2題指向學生能否檢驗轉化前后圖形的面積是否保持不變，第3題指向學生在探索三角形面積時是否有不同的轉化方法。具體前測題如下。

1.這個圖形的面積是多少？（每個方格的邊長是1厘米）

2.這個圖形的面積是多少？（每個方格的邊長是1厘米）

小明是這樣做的：7×4=28（cm2）。

（1）你覺得小明是怎么想的？

（2）你同意小明的做法嗎？為什么？

3.這個圖形的面積是多少？用盡可能多的方法計算該圖形的面積。（每個方格的邊長是1厘米）

（二）前測結果分析

從轉化意識和轉化方法兩個方面對前測結果進行分析，其中轉化意識又分為能將現(xiàn)有圖形轉化為目標圖形和能有意識地對現(xiàn)有圖形和目標圖形進行比較兩個不同的水平，可將前測結果劃分為四個水平層次：水平0，不會轉化；水平1，能把現(xiàn)有圖形變成目標圖形，即能就第1 題給出合理解答；水平2，能對現(xiàn)有圖形和目標圖形進行比較，檢驗面積是否不變，即能就第2 題給出合理解答；水平3，能用多樣化的方法解決多邊形面積問題，即能用2種及以上的方法解答第3 題。具體的水平劃分如表1所示。

表1 學生轉化意識和轉化方法的水平情況

三、單元整體設計的思考

按照人教版教材的編排方式，“多邊形的面積”單元的學習分為三個階段：第一階段是學習平行四邊形、三角形和梯形的面積，第二階段是學習組合圖形的面積，第三階段是估測不規(guī)則圖形的面積。教學時，教師不僅要讓學生掌握不同多邊形的面積計算公式，還要讓他們形成轉化思想。為此，教師要更加關注學生轉化思想的形成過程，讓他們通過學習不同圖形的面積，經(jīng)歷以下三個層次：首先是形成轉化意識，即學生要關聯(lián)目標圖形和現(xiàn)有圖形，嘗試把現(xiàn)有圖形轉化為目標圖形，這是轉化的開始；其次是學習轉化方法，即學生在把現(xiàn)有圖形轉化為目標圖形的過程中總結出轉化方法，豐富轉化經(jīng)驗，這是轉化思想的核心；最后是形成轉化策略，即學生在掌握了多種轉化方法后，再遇到新圖形的面積計算，要學會選擇合適的轉化策略，建立不同轉化方法之間的聯(lián)系，這是轉化的優(yōu)化。學生只有完整地經(jīng)歷轉化的三個層次，才能學會利用轉化思想解決生活中更多復雜圖形的面積計算。

基于以上思考，筆者對“多邊形的面積”單元的教學進行了如下重構（如表2），以凸顯滲透轉化思想的不同層次。

表2 “多邊形的面積”單元教學內(nèi)容優(yōu)化前后的對比

調(diào)整后的單元教學課時與教材編排的總課時保持一致，具體是將原來的3 節(jié)練習課整合為1 節(jié)面積練習課，并增加了“圖形的轉化”和“綜合實踐：測算我家的面積”兩個教學內(nèi)容。其中，第1 課時不開展面積探究活動，而是先讓學生經(jīng)歷多邊形之間的轉化活動，為探究面積公式做好鋪墊；第2～6課時讓學生探究多邊形和組合圖形的面積計算，幫助學生形成轉化的意識、方法和策略；最后讓學生在綜合實踐活動中，運用多邊形面積公式解決生活中的實際問題。本單元具體教學內(nèi)容的安排如表3所示。

表3 “多邊形的面積”單元優(yōu)化后的教學內(nèi)容、核心目標和核心任務