探尋圓之“源” 感悟一中同長(zhǎng)
——《圓的認(rèn)識(shí)》教學(xué)

文 |韓遠(yuǎn)嫦

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)上冊(cè)第55、56頁。

【教學(xué)過程】

一、問題引發(fā)，感知表象

師：（出示圖片，略）你看到了什么？

生：圓形的拱門、圓形的摩天輪、圓形的波紋、圓形的空地……

師：你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為這些圖形都是圓？

生：它們沒有角。

生：它們是封閉圖形。

生：它是軸對(duì)稱圖形。

生：它有無數(shù)條對(duì)稱軸。

師：圓與我們之前學(xué)過的長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形同為平面圖形，它能否用直尺畫出來？

二、問題探究，溯圓之源

師：直尺是否能畫出一個(gè)圓？實(shí)踐出真理。我們一起來研究以下兩個(gè)問題：其一，如何用直尺畫一個(gè)圓？畫一畫，你有什么發(fā)現(xiàn)？其二，對(duì)比用直尺畫圓的方法中，所畫的圓有什么共同的特點(diǎn)？

1.直尺畫圓，溯源“一中同圓”。

師：我們先研究第一個(gè)問題。請(qǐng)大家試著在《學(xué)習(xí)單》上用直尺畫一個(gè)圓，并說說你的發(fā)現(xiàn)。

●層次一：模仿圓規(guī)畫圓的原理，利用尺子和鉛筆做成一個(gè)圓規(guī)“畫”出圓。

生1：沒有圓規(guī)，我就用尺子和筆做成一個(gè)圓規(guī)，尺子就是圓規(guī)帶針的腳，鉛筆就是圓規(guī)帶筆的腳，這樣轉(zhuǎn)一圈畫的。

生2：我是把尺子一端固定住，用鉛筆固定在3cm的地方，推動(dòng)尺子帶動(dòng)鉛筆畫一圈。

生3：我也是用生1的方法畫的，但畫出來后，發(fā)現(xiàn)不怎么圓。

師：什么原因畫得不圓？

生3：尺子和鉛筆的距離不能固定住，總是跑來跑去的。

●層次二：畫一個(gè)正方形，從正方形中“描”一個(gè)圓。

師：（出示圖2）看看另一種畫法。

生4：我先畫一個(gè)正方形，再沿著正方形的邊慢慢畫出一個(gè)圓來。

師：對(duì)于他的畫法，有疑問嗎？

生：你為什么要畫正方形的對(duì)角線呢？

生4：原本我要定出正方形的中間位置的，后來我發(fā)現(xiàn)量出正方形四條邊的中點(diǎn)，然后連線也能找到中心點(diǎn)，這個(gè)就是圓的中心。

●層次三：通過一個(gè)點(diǎn)，畫出無數(shù)條線段，“連”成一個(gè)圓。

生5：（出示圖3）我通過一個(gè)點(diǎn)，畫了兩條4cm的線段，這個(gè)點(diǎn)剛好把兩條線段平分，再連接它們的端點(diǎn)，只是我畫得不夠圓。

生6：（出示圖4）我比生5畫的線段多一些，因?yàn)閳A是軸對(duì)稱圖形，不管怎么對(duì)折，它都是對(duì)稱的，這些線就是它的折痕，折痕多了，連接它們的端點(diǎn)，這樣畫出來的圓就更圓了。

生7：這和自行車的車輪相似。從車輪的中心點(diǎn)引出很多條長(zhǎng)度相等的線段，把這些線段的端點(diǎn)連起來就形成圓形的自行車車輪。

師：這些折痕畫完了沒？

生6：沒有，還有很多。

師：是這樣嗎？（課件演示）

2.觀察對(duì)比，理解“一中同長(zhǎng)”。

師：對(duì)比這幾位同學(xué)所畫的圓。它們有什么共同特點(diǎn)嗎？

生：它們都有一個(gè)中心點(diǎn)，這就是圓心。圓心用字母O表示。

生：我發(fā)現(xiàn)這些圓中，有無數(shù)條相等的線段。

師：我沒看見圖1圓中的線段。

圖1

圖2

圖3

生：他沒畫出來，那條線段就是圓心到圓上這一條，它叫半徑。

師：就只有這一條嗎？

生：還有這里、這里（用手比劃了很多條），像圖4一樣，有無數(shù)條，它們的長(zhǎng)度都相等。

圖4

圖5

師：我明白了，從圓心到圓上這條線段叫半徑，半徑有無數(shù)條。

生：半徑用字母r表示。

生：我還發(fā)現(xiàn)，通過圓心，兩端都在圓上的線段叫直徑，用字母d表示，直徑也有無數(shù)條，所有的直徑都相等。

師：大家從這些圖中發(fā)現(xiàn)這么多有價(jià)值的知識(shí)。老師有個(gè)疑問，你們剛才說所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。有證據(jù)證明嗎？

（學(xué)生沉默）

師：剛才給到大家每人一張圓形紙片，你們能用這張紙片驗(yàn)證一下你們的說法嗎？

3.實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證“一中同長(zhǎng)”。

生：我先把圓形紙片對(duì)折兩次，找到圓心，拿尺子的0刻度線對(duì)準(zhǔn)圓心，量了這幾條半徑，它們都是2cm。

生：我不用量，我這樣對(duì)折、對(duì)折、再對(duì)折，你們看這些半徑都是重合的，說明它們是相等的。

生：我還發(fā)現(xiàn)，兩條半徑加起來就是一條直徑，所以直徑也是相等的。

生：是的，一條直徑等于兩條半徑。

師：大家是否同意？

（學(xué)生都點(diǎn)頭表示同意）

師：（拿出一個(gè)大圓片和一個(gè)小圓片）這個(gè)小圓片的直徑等于大圓片的兩條半徑之和嗎？

生：不相等，必須相等的圓。

生：同一個(gè)圓也行。

師：早在2300多年前，我國(guó)古代思想家墨子在《墨經(jīng)》中這樣描述圓：圓，一中同長(zhǎng)也。你是怎么理解的？

生：“一中”就是一個(gè)中心，即圓心。

生：“同長(zhǎng)”就是指同一個(gè)圓里所有的半徑都相等，所有直徑也相等。

4.圓規(guī)畫圓，運(yùn)用“一中同長(zhǎng)”。

師：剛才我們用直尺畫圓，方便嗎？有更好的畫圓工具嗎？

生：圓規(guī)。

師：無規(guī)不成圓?！耙?guī)”就是圓規(guī)，為什么畫圓的時(shí)候常常會(huì)用圓規(guī)來畫呢？大家在練習(xí)本用圓規(guī)畫一個(gè)圓，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

生1：圖6是我畫的，我把圓規(guī)尖尖的腳固定在紙上，另外帶筆的腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出來了。我發(fā)現(xiàn)圓規(guī)兩腳間的距離就是半徑。

圖6

師：你的圓多大？

生1：不知道，我是隨意張開圓規(guī)兩腳畫的。

生2：圖7是我畫的，我先用尺子畫出一條3cm的線段作為半徑，用針尖的腳固定在線段的一端，鉛筆的腳在線段的另一端，然后拿著鉛筆的那只腳旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)半徑是3cm的圓。我也發(fā)現(xiàn)圓規(guī)兩腳張開的距離就是半徑的長(zhǎng)度。

圖7

生3：圖8是我畫的圓。我是先用尺子畫一條4cm長(zhǎng)的線段作為直徑，在直徑的中間點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，這是圓心。然后用圓規(guī)針尖定在圓心，鉛筆的腳張開半徑的長(zhǎng)度，然后旋轉(zhuǎn)一周。正因?yàn)榘霃降拈L(zhǎng)度固定了，所以就可以畫出完美的圓。

圖8

圖9

圖10

師：看來，用圓規(guī)畫圓就是運(yùn)用了“一中同長(zhǎng)”的原理。

三、問題解決，遷移運(yùn)用

師：同學(xué)們這節(jié)課很棒！能通過嘗試——對(duì)比——發(fā)現(xiàn)——驗(yàn)證——結(jié)論的方法來探究圓的有關(guān)知識(shí)。我們就用這節(jié)課的收獲來解決新的問題吧。

1.填一填：看圖填空。

2.找一找：如何找出圓形木板的圓心及半徑？

生1：我在圓上畫兩條直徑，直徑相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是圓心，從圓心到圓上畫一條線段，這就是半徑。

師：大家怎么看？

生2：我不同意。你怎么確定這兩條是直徑呢？

生3：圓心沒找到，都不能確定這兩條直線是否有通過圓心。

師：他在提醒大家，找直徑要先找到圓心。

生2：我可以在圓形木板的外面畫一個(gè)與它貼緊的正方形，正方形的邊長(zhǎng)就是圓的直徑，直徑的一半就是半徑。

生4：我同意他的想法。我給正方形添加兩條對(duì)稱軸，這兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是圓心了。

師：你們知道他這樣做的理由是什么嗎？

生5：我知道。因?yàn)檎叫魏蛨A都是軸對(duì)稱圖形，正方形的對(duì)稱軸也就是圓形木板的對(duì)稱軸，就相當(dāng)于把圓形木板對(duì)折兩次，就會(huì)出現(xiàn)兩條直徑，直徑的交點(diǎn)就是圓心。

3.辯一辯：學(xué)校要建一個(gè)直徑是10米的圓形花壇，你能用什么方法畫這個(gè)圓？

生：可以先定一個(gè)點(diǎn)作為圓心，然后用10米長(zhǎng)的軟尺繞一圈就可以了。

生：我不同意，用5米長(zhǎng)的軟尺就可以了，因?yàn)橹睆绞?0米，半徑就是5米。

生：其實(shí)不一定是軟尺，有一根5米長(zhǎng)的繩子也行。

師：大家怎么看？

生：是的，可以。

4.無邊界：淘淘參加一次課外拓展活動(dòng)，需要根據(jù)提示找到活動(dòng)獎(jiǎng)品。提示上這樣寫道：獎(jiǎng)品距離小旗2米處。你能幫淘淘解決這個(gè)問題嗎？（用1厘米代表1米，在圖11中畫出獎(jiǎng)品可能藏的地方）

圖11

生1：獎(jiǎng)品就在半徑是2米的圓里面。

生2：我不同意。不是在圓里面，而是在圓的邊上。

生3：也就是在半徑是2米的圓的周長(zhǎng)上。

生4：還有可能是距離旗子2米的地底下。

師：誰聽懂他的想法了？

生5：就是像球一樣，旗子是球心。

生6：準(zhǔn)確地說，應(yīng)該是一個(gè)半球。

師：大家的意見是，獎(jiǎng)品可能在的地點(diǎn)不僅形成一個(gè)圓，還有可能形成一個(gè)球。圓和球有什么不同？

生5：圓是個(gè)平面圖形，而球是個(gè)立體圖形。

四、全課總結(jié)，拓展延伸

師：在課的開始，大家都談了對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，你們認(rèn)為圓是曲線圖形、是軸對(duì)稱圖形，有無數(shù)條對(duì)稱軸?，F(xiàn)在回過頭來看看，圓的確具有大家所說的特征，如果只用一句話來概括什么是圓，你們會(huì)用哪一句話？

生：一中同長(zhǎng)。