利用運算建模六步法培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)

張俊暢 楊柳忠

(廣東省梅州市虎山中學(xué),廣東 梅州 514299)

楊柳忠(1977.7-),女,廣東省大埔人,本科,中學(xué)一級教師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)運算是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要部分,如何提高學(xué)生的運算素養(yǎng),一直是從事教學(xué)一線的教師必須面對但也比較頭痛的問題.本文對一道數(shù)列題的求解進行分析,以期提高學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 問題呈現(xiàn)

一個等差數(shù)列的前10項和為100,前100項和為10,求前110項的和.

2 問題的分析與求解

解法1 由等差數(shù)列的前n項和公式可知:

評注這種直接套公式硬算的辦法,雖說思維成本較低,但計算量大,不易算對,它唯一的優(yōu)點是鞏固一下公式,訓(xùn)練一下四則運算的基本功,顯然這種費事費力的做法是要盡量優(yōu)化的.

計算量大的問題,同學(xué)們?nèi)菀姿沐e,這是再正常不過的一件事情,但是很多老師總是埋怨現(xiàn)在的學(xué)生計算能力差、不愿動筆等等.難道這些只是學(xué)生自身的問題嗎?試想,如果一個老師一直反復(fù)強調(diào),用死算的辦法來解決問題,那又有幾人能愿意算呢?如此這般,對學(xué)生思維的培養(yǎng),能力的發(fā)展又有何幫助呢?就算培養(yǎng)學(xué)生的運算能力,靠死算的辦法,真的好嗎?筆者認為不好,否則每個小學(xué)生都已經(jīng)是運算高手.那么,有哪些辦法可以有效提升同學(xué)們的運算能力呢?看完方法2后,就會有所感悟了.

我們有意識地教會他們這些東西,那么孩子們計算能力低下的問題,就會比較容易解決了.在平時的教學(xué)中,我們最不愿意看到的一種現(xiàn)象就是題目都沒有看清,就盲目亂算,看上去很用功,但效果很差.但真正要他們認真計算時,又舍不得花時間,結(jié)果一急就亂,一亂就錯.

我們基本可以形成幾個共識:死算硬算提不高運算能力;硬算也要用巧勁;越急越容易算錯;不思考就會算死;平時多想,考時少算[1].

3 關(guān)于數(shù)學(xué)運算建模

通過對上面數(shù)列問題多種解法的詳細闡述,不難發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)教學(xué)中就提高學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力,培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng),應(yīng)該從下面的六點入手,我們這里概括為運算建模六步法.

3.1 創(chuàng)造良好的數(shù)學(xué)運算情境,培養(yǎng)堅定的心理品質(zhì)

波利亞說過:認為解題純粹是智力活動是錯誤的,決心與情緒所起到的作用很重要.我們可以創(chuàng)設(shè)這樣的數(shù)學(xué)運算活動:學(xué)生對自己的運算作品冠以自己喜歡的名字,給自己精心制作的運算模型繪上精美的圖案,給自己的活動小組標上令人難忘的稱謂,給學(xué)生向大家展現(xiàn)自己全部才華的舞臺……通過適當?shù)幕顒佑行Э朔\算畏懼,克服急躁,拖沓,丟三落四等一些負面的情緒,激發(fā)學(xué)生的好奇心,增強數(shù)學(xué)運算的信心,培養(yǎng)堅韌不拔的毅力,體驗成功的喜悅.

3.2 重視“數(shù)學(xué)理解”,促成“運算生成”

我們知道理解的前提是閱讀,就是讀懂題意,數(shù)學(xué)運算的首要一點就是“理解運算對象”,而我們的學(xué)生恰恰在閱讀理解上存在著一定的問題.下面是幫助學(xué)生進行“數(shù)學(xué)理解”的一個課堂片段.

師:式子Sn=3an+1是什么概念?

生:是個等式.

師:這個等式包含什么?

生:這個等式包含通項an及前和Sn.

師:an與Sn的意義是什么?

生:an表示數(shù)列的通項,Sn表示該數(shù)列的前項.

師:an與Sn有什么關(guān)系呢?

師:求S5可以怎么辦呢?

生:把等式化為僅含有an的表達式,求an,再求Sn,從而求得S5.

師:對比一下這個遞推式子an+1=pan+q,你們有何發(fā)現(xiàn)?

生:哦,可以把Sn當做遞推式,由待定系數(shù)法可求Sn,從而算出S5.

師:大家再思考一下,是否有更加直接的辦法?

生:哦,項數(shù)不多可以逐項計算.

對于理解運算對象,掌握運算法則,不能單靠知識講解,更應(yīng)該讓學(xué)生去實操,去研討,去試錯,教師不要包辦,要評到學(xué)生的“痛”處.華羅庚說:“學(xué)數(shù)學(xué),善于‘退’,足夠地‘退’,退到最原始而不失去重要的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅[2].”

3.3 加強運算知識的學(xué)習(xí)

我們深切體會到影響學(xué)生運算能力提高的一大原因是運算知識的缺失.初中數(shù)學(xué)對學(xué)生的運算要求比較低,到了高中,數(shù)學(xué)運算要求一下提高好幾個臺階,初中不要求掌握或要求很低的內(nèi)容,上了高中要求學(xué)生必須掌握,這給很多同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中帶來困難和障礙.比如立方和與立方差公式,十字相乘法,分子分母有理化,二次函數(shù)、一元二次不等式與二次方程的聯(lián)系,根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理),等等.學(xué)生運算能力差的根源就是學(xué)生的運算知識有缺失的問題,所以在初高中的知識銜接上一定要下足功夫.

3.4 加強運算思維的訓(xùn)練

3.5 加強運算范式訓(xùn)練

3.5.1養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣

章建躍博士說過,推理是數(shù)學(xué)的命根子,運算是數(shù)學(xué)的童子功.數(shù)學(xué)運算貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)中的全過程,學(xué)生計算能力直接影響學(xué)習(xí)質(zhì)量,而良好的計算習(xí)慣是提高學(xué)生計算能力的保障,要幫助學(xué)生養(yǎng)成“一看、二想、三算、四驗”的習(xí)慣.

3.5.2給足練習(xí)時間

在教學(xué)實踐中,經(jīng)常出現(xiàn)一種現(xiàn)象:同類型的數(shù)學(xué)題,學(xué)生在做課后作業(yè)時可以做得非常好,但在考試中解答得卻一言難盡.此類學(xué)生就是因為在放松狀態(tài)或是與多名學(xué)生共同努力時結(jié)果正確,而在精神緊張或者自己單獨解題時運算自然就不準確.因此,教師應(yīng)該多給予學(xué)生一些課堂運算時間,獨立完成運算題目,自行發(fā)現(xiàn)運算技巧,以防學(xué)生在考試氛圍里出現(xiàn)運算慢和不自信的結(jié)果,讓學(xué)生無論在什么場合做題都能夠從容應(yīng)對,幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運算能力.

3.6 加強運算問題的歸類總結(jié)和運算技能方法的提煉與積累

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的高低體現(xiàn)在對一個問題的處理不單又快又好,同時處理手段靈活多樣.要實現(xiàn)這一目標顯然與長期的運算經(jīng)驗的總結(jié)和運算技能方法的提煉積累有著密切的關(guān)系.對于一些繞不開的、特別復(fù)雜的純計算問題,我們要善于分步算,分塊算,豎式算.這里的分步算,就是粗略地看一下,解決這個問題,可以分成幾步;分塊算,把每一步要解決的問題,一塊一塊解決,就如同小孩玩的積木一樣,一塊一塊解決后,代入總式,再運算化簡;豎式算,對于一些關(guān)于多項式的化簡問題,把每一項的化簡結(jié)果,寫成豎式同類合并,不易出錯.