透過題干抓本質(zhì) 找準(zhǔn)角度尋方法
——以2022年新高考全國Ⅰ卷17題為例談數(shù)列解題教學(xué)策略

譚又英

(湖北省洪湖市第一中學(xué),湖北 洪湖 )

在新高考中,數(shù)列依然是必考的內(nèi)容,難度中等偏下.作為重點考查對象,在平時的課堂教學(xué)中教師和學(xué)生都花費了大量時間與精力鞏固,可當(dāng)題目稍微出現(xiàn)新穎一些的變化,學(xué)生還是無法靈活應(yīng)對.如何改變這種“能聽懂,做不對”的現(xiàn)狀,下面筆者就以2022年新高考全國Ⅰ卷第17題為例,與各位同仁一起探討解題教學(xué)的策略.

1 真題呈現(xiàn)

(1)求{an}的通項公式;

2 題干分析梳理

很多同學(xué)在解題過程中遇阻是因為題目中出現(xiàn)的背景或條件自己并不是非常熟悉,它們不是平時刷題練習(xí)過的類型.但是我們要明白,題目可以換背景、變條件、改信息或者調(diào)數(shù)據(jù),但萬變不離其宗,只要能夠透過題目表象,緊抓題干主旨,把它們與自己熟悉的基本知識、常規(guī)題型、通性通法甚至解題技巧結(jié)合起來,就可以迅速找到解決途徑.

考點一:等差數(shù)列的通項公式

考點二:由an與Sn的關(guān)系求通項an

這是數(shù)列中的高頻考點,考察Sn與an的關(guān)系:

學(xué)生對這一類題目解法很熟悉,需分別考察n=1和n≥2時的情況,而對于n≥2時,由an=Sn-Sn-1即可求解通項公式.

考點三:數(shù)列求和

3 真題解析

考生想要正確完成本題,除了在梳理題干時抓住以上三個考點,計算過程中還需突破隱藏的第四個考點.

考點四:由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

遞推公式作為數(shù)列的一種特殊表示法,體現(xiàn)了數(shù)列相鄰兩項或多項之間的關(guān)系,由遞推關(guān)系求出通項公式,是研究數(shù)列性質(zhì)并解決求和問題的基礎(chǔ)[1].

在審題和解題過程中一環(huán)扣一環(huán),憑借已有的知識儲備,將題干中每一個已知條件轉(zhuǎn)化為熟知信息加以整合,抓住問題的核心和本質(zhì)層層遞進(jìn),便可化難為易!

4 教學(xué)建議

解題就是把要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題, 即任何數(shù)學(xué)問題的解決歸根到底都是將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,將繁難的問題分解為簡單的問題.如何在學(xué)生現(xiàn)有知識儲備的基礎(chǔ)上,培養(yǎng)和提高他們的解題能力,筆者認(rèn)為教學(xué)過程中可以從以下幾方面入手,敬請指正.

4.1 重視數(shù)學(xué)多元表征

表征是認(rèn)知心理學(xué)的核心概念之一,指信息或知識在心理活動中的表現(xiàn)和記載方式.它是我們認(rèn)識事物的過程中,通過心理活動對學(xué)習(xí)對象進(jìn)一步加工,從而形成能被自己接受的知識形式.由于學(xué)習(xí)者知識結(jié)構(gòu)不同,思維習(xí)慣不同,目標(biāo)意識不同,他們對于同一學(xué)習(xí)對象同一問題也會產(chǎn)生不同的表征方式.

新教材在數(shù)列這一章的情景引入是印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者西薩的麥粒數(shù)目[2],可利用圖形表征幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,視覺化表征形象直觀,在許多數(shù)列求通項公式的問題中可以達(dá)到事半功倍的效果.而等差數(shù)列的定義,是在給出一些具體數(shù)列之后,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,在這樣的直觀認(rèn)識下,進(jìn)而形成符號語言定義等差數(shù)列.而在實際問題中,學(xué)生就可以通過定義判定或證明等差數(shù)列,進(jìn)而利用其性質(zhì)解決問題.

4.2 構(gòu)建教學(xué)“說題”系統(tǒng)

傳統(tǒng)教學(xué)模式下,教師是知識的講授者,學(xué)生是信息的被動接受者.在此過程中,教師根據(jù)自己的經(jīng)驗進(jìn)行題型梳理、技巧講解,學(xué)生只能在這種大容量、高難度、快節(jié)奏的教學(xué)中眼花繚亂,除了折服于老師的“精彩表演”,并沒有太多實際收獲[3].也就形成大多數(shù)同學(xué)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,明明老師講解時都能聽懂,可自己解題往往一籌莫展.這是因為教師在備課時只備了教學(xué)內(nèi)容,而忽略“備學(xué)生”這一重要環(huán)節(jié),課堂講解時老師思維流暢,將完整的解答和盤托出,忽視學(xué)生的主體地位,沒有充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,以及他們在解題過程中會出現(xiàn)的各種思維障礙,教學(xué)效果大打折扣.

新課程倡導(dǎo)“以生為本”的教學(xué)理念,新型的習(xí)題課教學(xué)模式也勢在必行.所謂“說題”教學(xué),就是把對題目的認(rèn)識和理解表達(dá)出來,解說可以是分析題目條件、需解決的問題,也可以是條件與結(jié)論之間的相互轉(zhuǎn)化,所涉及的知識點或方法,還可以是與這道題目相關(guān)聯(lián)的題型、考點等等.習(xí)題教學(xué)中的說題方式可以多種多樣,教師說題、學(xué)生小組說題、師生共同說題,在平等的新型師生關(guān)系中,學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體,他們不僅對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣,學(xué)習(xí)的主動性和積極性也有更大提高.

新高考的數(shù)學(xué)命題讓我們認(rèn)識到,學(xué)生機(jī)械式海量刷題是無法在這場選拔性考試中獲勝的,教學(xué)中需要引導(dǎo)他們將“學(xué)習(xí)”演變?yōu)椤把芯俊?真正提高解題教學(xué)的高效性,實現(xiàn)“說一題,會一類”的目的.學(xué)生在說題過程中不僅說出對題目的認(rèn)識和感想,最重要的是激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維,在思考、聯(lián)想、歸納總結(jié)的過程中取得認(rèn)知上的飛躍,邏輯思維能力大大提升.

4.3 進(jìn)行多維解題反思

世界著名教育家、數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說過:“反思是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的重要表現(xiàn),是數(shù)學(xué)活動的動力.”可見,反思在數(shù)學(xué)活動中的重要性不可小視.

首先,學(xué)生要在老師說題完成之后進(jìn)行反思,即反思題意.每一個已知條件可以獲知什么信息?每一個條件有什么固定用法?被解決的問題可以轉(zhuǎn)化成什么?題目中有哪些代表性的符號、圖形、文字等信息,題目條件和結(jié)論的關(guān)系如何聯(lián)系起來等等.其次,學(xué)生在解題過程中思維受阻要學(xué)會反思,找到問題癥結(jié)所在.無論是平時練習(xí)還是考試過程中,面對可以解決的問題卻在中途進(jìn)行不下去,這時不妨停下來作一下反思,重新梳理題干條件,對每一個條件可以獲知的信息和結(jié)論進(jìn)行整理,從多個角度匯總分析,尋找切實可行的解決方案.最后,教師在教學(xué)中要帶領(lǐng)學(xué)生對解題活動的經(jīng)驗進(jìn)行反思.解題不僅僅是為了做對一道題,更多是對已學(xué)知識的鞏固和檢驗,發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律,掌握解題策略,形成解題意識.反思過程中要注意“追根溯源”,強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理和性質(zhì)的準(zhǔn)確理解及運用,嘗試一題多解,一題多變,培養(yǎng)思維的發(fā)散性.另外,還可結(jié)合不同層次學(xué)生的實際,從思維起點、認(rèn)知需求、知識結(jié)構(gòu)、目標(biāo)意識的區(qū)別上因材施教,讓訓(xùn)練的針對性和實效性更強(qiáng).

總之,在教學(xué)中要體現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)”的課程理念,始終以學(xué)生為主題,貫穿觀察、分析、歸納、類比、遞推、運算、概括等能力的培養(yǎng)[4], 通過“研究式學(xué)習(xí)”引導(dǎo)學(xué)生在解題時多角度觀察已知條件和結(jié)論, 深入剖析其特征, 透過題干抓住本質(zhì), 準(zhǔn)確獲得解決問題的途徑.