找準(zhǔn)“著力點(diǎn)”巧解立體幾何解答計(jì)算題
——2023年高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題第二問(wèn)破解啟示

西藏民族大學(xué)附屬中學(xué)(712082) 袁義東

西藏自治區(qū)教育考試院(850000) 呂呈蘢

2023 年高考數(shù)學(xué)試題以落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展,反映新時(shí)代基礎(chǔ)教育課程理念,落實(shí)考試評(píng)價(jià)改革等相關(guān)要求精彩亮相. 立體幾何試題著力基礎(chǔ),彰顯能力,突出創(chuàng)新與應(yīng)用,極好地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用. 現(xiàn)以2023 年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷文理卷,乙卷文理卷,新課標(biāo)I 卷,II 卷立體幾何解答題第二問(wèn)題型破解、感悟高考數(shù)學(xué)的靈活性和創(chuàng)新性, 啟示新課標(biāo), 新高考,新教材情境下中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的有效開(kāi)展.

一、題型解析

1. 求幾何體的高

題目1(2023 年高考甲卷文科第18 題(2))如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90?.

(1)證明: 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;

(2)設(shè)AB=A1B,AA1= 2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.

解析(1)略.

圖1

圖2

(2)取G為AA1的中點(diǎn),連接CG,BG,由題知ACC1A1為平行四邊形, 所以C到AA1的距離和A1到CC1的距離相等, 由(1) 知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;A1到平面BB1C1C的距離即A1到交線CC1的距離, 因?yàn)锳B=A1B, 所以GB⊥AA1; 由(1) 可知,BC⊥平面ACC1A1,AA1?平面ACC1A1, 所以BC⊥AA1; 又BC ∩BG=B, 所以AA1⊥平面BCG, 因?yàn)镃G ?平面BCG, 所以CG⊥AA1; 因?yàn)锳B=A1B,AA1= 2, 且A1C⊥平面ABC,從而AC=A1C,所以AC=所以CG= 1. 故A1到平面BB1C1C的距離為1, 所以四棱錐A1-BB1C1C的高為1.

啟示突破第二問(wèn)的關(guān)鍵是將四棱錐A1-BB1C1C的高轉(zhuǎn)化為A1到平面BB1C1C的距離,借助面面垂直的性質(zhì)定理,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A1到交線CC1的距離,利用平面ACC1A1為平行四邊形,順利求解. 這啟示我們;平時(shí)教學(xué)要時(shí)時(shí)刻刻注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,對(duì)空間計(jì)算要力爭(zhēng)轉(zhuǎn)化為平面計(jì)算,降低運(yùn)算的難度.

2. 求幾何體的體積

題目(2023 年高考乙卷文科第19 題(2))如圖,在三棱錐的中點(diǎn)分別為D,E,O, 點(diǎn)F在AC上,BF⊥AO.

(1)證明:EF//平面ADO;

(2)若∠POF=120?,求三棱錐P -ABC的體積.

圖3

圖4

解析過(guò)P作PM垂直FO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,因?yàn)镻B=PC,O是BC中點(diǎn),所以PO⊥BC. 在Rt?PBO中,所以

因?yàn)锳B⊥BC,OF//AB,所以O(shè)F⊥BC,又PO ∩OF=O,PO,OF ?平面POF,所以BC⊥平面POF、又PM ?平面POF, 所以BC⊥PM, 又BC ∩FM=O.BC,FM ?平面ABC,所以PM⊥平面ABC,即三棱錐P -ABC的高為PM,因?yàn)椤螾OF=120?,所以∠POM=60?,所以

啟示突破第二問(wèn)的關(guān)鍵是在確立F是中點(diǎn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步確立BC⊥平面POF從而P點(diǎn)在平面ABC的投影落在OF的延長(zhǎng)線上就成為解決這一問(wèn)題的突破口,因?yàn)椤螾OF=120?,所以∠POM=60?,進(jìn)而獲得高,求得體積.這也啟示我們數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí),讓學(xué)生在解題中感悟空間結(jié)構(gòu)和條件轉(zhuǎn)化.

3. 求線面夾角的正弦值

題目3(2023 年高考甲卷理科第18 題(2))如圖,在三棱柱ABC -A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90?,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.

(1)證明:A1C=AC;

(2) 已知AA1與BB1的距離為2, 求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

圖5

圖6

解析因?yàn)锳C=A1C1,BC⊥A1C,BC⊥AC, 故Rt?ACB∽= Rt?A1CB. 因?yàn)锽A=BA1過(guò)B作BD ⊥AA1,交AA1于D,則D為AA1中點(diǎn),與BB1距離為2,所以BD= 2,因?yàn)锳1D= 1,BD= 2,因?yàn)樵赗t?ABC, 因?yàn)锽C=延長(zhǎng)AC,使AC=CM,連接C1M,由CM//A1C1,CM=A1C1知四邊形A1CMC1為平行四邊形, 因?yàn)镃1M ⊥AM, 從而C1M ⊥平面ABC,又AM ?平面ABC,因?yàn)镃1M ⊥AM,則在Rt?AC1M中,AM= 2AC,C1M=A1C, 因?yàn)橹?

因?yàn)?/p>

又A到平面BCC1B1距離也為1, 所以AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為

啟示由于A到平面BCC1B1距離也為1,所以AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值的突破口就是求AB1的長(zhǎng). 由A1C ⊥平面ABC為我們提供了面面垂直, 將AB1放置在平行四邊形A1CMC1中,創(chuàng)建直角三角形,從而得出結(jié)論. 這里用的是數(shù)形結(jié)合的“形化數(shù)”;啟示我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)時(shí),要找準(zhǔn)“著力點(diǎn)”,靈活運(yùn)用推理與運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.

4. 求二面角的正弦值

題目4(2023 年高考新課標(biāo)II 卷第20 題(2) ) 如圖, 三棱錐A - BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60?,E為BC的中點(diǎn).

(1)證明:BC⊥DA;

(2)點(diǎn)F滿足求二面角D-AB-F的正弦值.

圖7

圖8

解析設(shè)DA=DB=DC=2,所以BC=因?yàn)樗訟E2+DE2=4=AD2,所以AE⊥DE,又因?yàn)锽C⊥AE,DE ∩BC=E,所以AE⊥平面BCD, 以E為原點(diǎn), 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為n1= (x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則

令x1=1,解得y1=z1=1;令y2=1,解得x2=0,z2=1,故n1= (1,1,1),n2= (0,1,1),設(shè)二面角D-AB -F的平面角為θ, 則故所以二面角D-AB-F的正弦值為

啟示解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵就是合理建立坐標(biāo)系,進(jìn)而證明AE⊥平面BCD就是解決問(wèn)題的突破口,之后就是用向量法求二面角的常規(guī)做法,試題選擇求二面角D-AB-F的正弦值的主要好處在于: (1)答案確定;(2)避免了二面角為非特殊值的麻煩;(3)若選擇余弦值就有可能取正負(fù),增加了答案的不確定性. 其中2023 年全國(guó)乙卷理科的立幾題目的第3 問(wèn)也是求二面角的正弦值,這正是命題的高明之處.

5. 利用二面角求值

題目5(2023 年高考新課標(biāo)I 卷第18 題(2))如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB= 2,AA1=4. 點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2= 1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明:B2C2//A2D2;

(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150?時(shí),求B2P.

圖9

圖10

圖11

解法1以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1所在直線為x,y,z軸建立, 空間直角坐標(biāo)系, 如圖, 則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),所以又B2C2,A2D2不在同一條直線上, 所以B2C2//A2D2. 設(shè)P(0,2,λ)(0 ≤λ≤4), 則設(shè)平面PA2C2的法向量n=(x,y,z),則

令z=2,得y=3-λ,x=λ-1,所以n=(λ-1,3-λ,2).

設(shè)平面A2C2D2的法向量m=(a,b,c),則

令a=1,得b=1,c=2,所以m=(1,1,2),所以

化簡(jiǎn)可得,λ2-4λ+ 3 = 0, 解得λ= 1 或λ= 3, 所以P(0,2,1)或P(0,2,3),所以B2P=1.

解法2聯(lián)結(jié)A1C, 交A2C2于點(diǎn)O, 聯(lián)結(jié)A1B2, 交PA2于點(diǎn)M, 聯(lián)結(jié)OM. 由題意所以由題意A2B2=所以A2C2⊥B2O, 又因?yàn)锳1O ∩B2O=O,故A2C2⊥面A1OB2, 又因?yàn)镺M ?面A1OB2, 所以A2C2⊥OM, 所以∠MOB2為二面角P - A2C2- B2的平面角, 即∠MOB2= 30?,Rt?A1B2O中故∠OB2A1= 60?, 所以∠OMB2= 90?, 故因?yàn)閺亩鳳B2=1.

啟示解法1 通過(guò)建立坐標(biāo)系,用坐標(biāo)建構(gòu)二面角關(guān)系,重點(diǎn)在于對(duì)公式的熟悉程度和運(yùn)算;解法2 用幾何法建構(gòu)二面角關(guān)系,重點(diǎn)是二面角的平面角在圖形中體現(xiàn),二面角的合理使用就是解決問(wèn)題的突破口.

二、教學(xué)建議

從2023 年高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題第二問(wèn)的解析不難看出,新高考試題在充分彰顯試題的一核四層四翼,把能力和素養(yǎng)考查建立在基礎(chǔ)知識(shí)掌握和基本技能運(yùn)用上,從考題破解給我們以下教學(xué)建議:

1. 立體幾何解答題以幾何體為載體,以點(diǎn)線面為著力點(diǎn),以幾何建構(gòu)和坐標(biāo)系搭建為突破口,建立平面幾何數(shù)量關(guān)系,實(shí)現(xiàn)試題的解答計(jì)算.

2. 立體幾何計(jì)算題的基本類型: 長(zhǎng)度、面積、體積的計(jì)算;線線、線面、面面的夾角計(jì)算;線線、線面、面面的夾角三角函數(shù)值計(jì)算;這些知識(shí)都能較好的考察學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力等學(xué)科素養(yǎng).

3. 從2023 年高考立體幾何解答題第二問(wèn)題型考查上看,全國(guó)卷重點(diǎn)考察了其中的5 類,尤其是二面角的正弦值的計(jì)算,彰顯了高考試題的有利性和確定性,啟示我們數(shù)學(xué)教學(xué)重視基本訓(xùn)練,強(qiáng)化基本能力,認(rèn)真踐行核心素養(yǎng).

4. 面對(duì)新高考,新課標(biāo),新教材,教學(xué)時(shí)一定要做到以學(xué)生為主體,以教師為主導(dǎo),面對(duì)建立在空間幾何體的基礎(chǔ)上立體幾何的計(jì)算題,找準(zhǔn)“著力點(diǎn)”,合理搭建圖形關(guān)系,理順解題思路,以新的教學(xué)方式適應(yīng)新高考的要求.

總之,2023 年高考數(shù)學(xué)試題精彩多多,亮點(diǎn)多多,給我們的啟示頗多. 發(fā)展素質(zhì)教育,當(dāng)好學(xué)生“引路人”,從真正意義上踐行教書(shū)育人的教育準(zhǔn)則,把立德樹(shù)人,為黨育人,為國(guó)育才貫穿于教育的每一步;通過(guò)立體幾何解答題第二問(wèn)的破解讓我們感悟到找準(zhǔn)“著力點(diǎn)”是巧妙突破解答計(jì)算的關(guān)鍵;也再次啟示我們?cè)谛抡n標(biāo),新教材,新教法的實(shí)施中,從知識(shí)的內(nèi)涵與外延入手,抓好思維訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生探究能力和創(chuàng)新意識(shí),積極踐行核心素養(yǎng),有力推動(dòng)新型人才培養(yǎng)!