馬爾可夫鏈與2023年高考新課標(biāo)I卷第21題

福建省晉江市磁灶中學(xué)(362214) 李桂祥

福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000) 江智如 蔡 珺

以數(shù)列知識(shí)為背景的概率統(tǒng)計(jì)題型是近些年高考與模擬考的熱點(diǎn),特別是以全概率公式為載體考查數(shù)列遞推關(guān)系的題型成為新高考的?？? 不僅能夠考查考生數(shù)學(xué)閱讀能力,抽象概括能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)分析能力,更是培育學(xué)生核心價(jià)值,發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)的有效載體,如2023 年全國(guó)高考新課標(biāo)I 卷第21 題、2022 年湖北省八市高三聯(lián)考第20 題、2023 年杭州高三二模質(zhì)檢第21 題等. 一方面,這類問(wèn)題閱讀量大,綜合性強(qiáng),考生需要在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)文字提取、分析、建模、演算,通過(guò)扎實(shí)的數(shù)學(xué)能力與綜合學(xué)科素養(yǎng),方能順利解決問(wèn)題. 另一方面,考生利用所學(xué)高中概率知識(shí)技能、思想方法及積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),借助常見(jiàn)的概率模型思想,依托數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[1],從高觀的角度研究分析問(wèn)題,登高望遠(yuǎn), 可迎刃而解. 2023 年全國(guó)高考新課標(biāo)I 卷第21 題是一道基于時(shí)間序列遞推的概率試題,考查全概率公式與數(shù)列遞推公式等知識(shí),其背景知識(shí)是高等數(shù)學(xué)中馬爾可夫鏈模型,體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能. 本文從馬爾可夫鏈模型視角,對(duì)試題溯源探究,踐行“以考促教、以考促學(xué)”目的[2],為新課程下基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)提供思路[3].

1 試題呈現(xiàn)

試題(2023 年高考新課標(biāo)I 卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃. 無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且

P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi, i=1,2,··· ,n,

2 試題分析

本試題以條件概率為背景知識(shí)抽象出數(shù)列遞推關(guān)系式,考查全概率公式和數(shù)列遞推公式等知識(shí),體現(xiàn)化難為易的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想. 第(1)問(wèn)設(shè)置第2 次投籃情況,面向全體考生,引導(dǎo)考生利用條件概率和互斥事件概率知識(shí)求解. 第(2)問(wèn)比較抽象,需要考生從全概率公式角度,運(yùn)用數(shù)列遞推關(guān)系思想,推導(dǎo)出第i次投籃概率的遞推公式,考查考生一般與特殊思想,推理論證能力,數(shù)據(jù)分析能力和運(yùn)算求解能力. 第(3)以兩點(diǎn)分布的期望知識(shí)為載體,考查數(shù)列求和公式,體現(xiàn)對(duì)條件概率與數(shù)列遞推關(guān)系等相關(guān)“必備知識(shí)”[2]要求和考查,對(duì)高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)有引導(dǎo)作用[2]. 由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2020年修訂》)增加數(shù)列遞推公式、全概率公式和貝葉斯公式內(nèi)容[1]. 所以用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件,利用概率的性質(zhì)及概率公式簡(jiǎn)化概率的計(jì)算, 不僅表達(dá)簡(jiǎn)潔且條理清晰,而且能夠幫助考生梳理解決問(wèn)題的思路,這種抽象思想方法具有一般性,能有效提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[4].

3 溯源探究

筆者查閱相關(guān)資料,對(duì)試題溯源追根,發(fā)現(xiàn)人教社2019版數(shù)學(xué)A 版選擇性必修3 第53 頁(yè)“閱讀與思考”中介紹貝葉斯公式與人工智能的相關(guān)原理,并通過(guò)案例說(shuō)明條件概率知識(shí)在推理和決策中重要作用,為本試題提供理論基礎(chǔ). 在選擇性必修2 第6 頁(yè)例題4 依托謝爾賓斯基三角形引進(jìn)數(shù)列遞推公式概念,并根據(jù)新課標(biāo)的要求,適當(dāng)加強(qiáng)數(shù)列問(wèn)題中對(duì)運(yùn)算、代數(shù)變換的運(yùn)用,增加根據(jù)遞推公式探究數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題:如第39 頁(yè)的例12,第41 頁(yè)習(xí)題4.3 的第7、11 題,都是利用所給的遞推公式構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列,使該數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的公式解決問(wèn)題,具有一定的技巧性與難度,為試題提供運(yùn)算方法案例.

此外,福建省漳州市2023 屆5 月質(zhì)檢卷第20 題與試題相似度頗高,殊途同歸,考查以時(shí)間序列為背景的概率問(wèn)題.浙江省杭州2023 年高三二模卷第21 題以馬爾可夫鏈為載體,考查經(jīng)典的賭徒模型問(wèn)題,其背景知識(shí)仍然是時(shí)間序列的概率問(wèn)題.

題目1(溯源1: 福建省漳州市2023 屆高三畢業(yè)班第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)20)某科研單位研制出某型號(hào)科考飛艇,一艘該型號(hào)飛艇最多只能執(zhí)行n次(n ∈N?,n≥2)科考任務(wù),一艘該型號(hào)飛艇第1 次執(zhí)行科考任務(wù),能成功返航的概率為p(0< p <1,n≥2),若第k次(k= 1,2,··· ,n-1)執(zhí)行科考任務(wù)能成功返航,則執(zhí)行第k+1 次科考任務(wù)且能成功返航的概率也是p,否則此飛艇結(jié)束科考任務(wù). 一艘該型號(hào)飛艇每次執(zhí)行科考任務(wù),若能成功返航,則可獲得價(jià)值為X萬(wàn)元的科考數(shù)據(jù),且“X= 0”的概率為0.8,“X= 200”的概率為0.2;若不能成功返航,則此次科考任務(wù)不能獲得任何科考數(shù)據(jù). 記一艘該型號(hào)飛艇可獲得的科考數(shù)據(jù)的總價(jià)值為Y萬(wàn)元.

(1)若p=0.5,n=2,求Y的分布列;

(2)求E(Y)(用n和p表示).

題目2(溯源2: 2023 年杭州高三二模質(zhì)檢21) 馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型, 也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石, 在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用. 其數(shù)學(xué)定義為:假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…,Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, …, 那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt, 即P(Xt+1|··· ,Xt-2,Xt-1,Xt) =P(Xt+1|Xt). 現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈,例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進(jìn)入幾場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲,每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1 元;每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)? 元. 賭徒會(huì)一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲:一種是手中賭金為0 元,即賭徒輸光;一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元,賭徒停止賭博. 記賭徒的本金為A(A ∈N?,A

當(dāng)賭徒手中有n元(0 ≤n≤B,n ∈N)時(shí),最終輸光概率為P(n),請(qǐng)回答下列問(wèn)題:

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出P(0)與P(B)的數(shù)值;

(2)證明{P(n)}是一個(gè)等差數(shù)列,并寫(xiě)出公差d;

(3) 當(dāng)A= 100 時(shí), 分別計(jì)算B= 200,B= 1000 時(shí),P(A)的數(shù)值,并結(jié)合實(shí)際,解釋當(dāng)B →∞時(shí),P(A)的統(tǒng)計(jì)含義.

4 概念界定

4.1 馬爾可夫鏈的基本定義

馬爾可夫鏈(Markov chain) 是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫(Андрей Андреевич Марков)提出,是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型, 與自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)以至人文科學(xué)有廣泛應(yīng)用. 數(shù)學(xué)定義為: 考慮一個(gè)隨機(jī)變量的序列X={X0,X1,··· ,Xt,···}, 這里Xt表示時(shí)刻t的隨機(jī)變量,t= 0,1,2,···. 每個(gè)隨機(jī)變量Xt(t=0,1,2,···)的取值集合相同,稱為狀態(tài)空間S. 隨機(jī)變量可以離散的,也可以是連續(xù)的. 以上隨機(jī)變量的序列構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程(stochastic process).

假設(shè)在時(shí)刻0 的隨機(jī)變量X0遵循概率分布P(X0) =π0, 稱為初始狀態(tài)分布. 在某個(gè)時(shí)刻t≥ 1 隨機(jī)變量Xt與前一個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量Xt-1之間有條件分布P(Xt|Xt-1), 如果Xt只依賴于Xt-1, 而不依賴于過(guò)去的隨機(jī)變量{X0,X1,··· ,Xt-2},這一性質(zhì)稱為馬爾可夫性,即P(Xt|X0,X1,··· ,Xt-1) =P(Xt|Xt-1),t= 1,2,···.具有馬爾可夫性的隨機(jī)序列X={X0,X1,··· ,Xt,···}稱為馬爾可夫鏈(Markov chain)或馬爾可夫過(guò)程(Markov process). 條件概率P(Xt|Xt-1)稱為馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率分布. 轉(zhuǎn)移概率分布決定了馬爾可夫鏈的特性.

(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣[5]

記pij=P(Xt=j|Xt-1=i),則矩陣

(2)n步轉(zhuǎn)移概率矩陣

為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣,規(guī)定

(3)兩個(gè)性質(zhì)[6]

(Chapman-Kolmogorov 方程);

4.2 解題策略

依據(jù)《課標(biāo)2020 年修訂》的要求[4]和高中學(xué)生的認(rèn)知水平,馬爾可夫鏈可以概括為:“某一時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率只依賴于它的前一個(gè)狀態(tài)”. 在實(shí)際應(yīng)用中,常見(jiàn)有賭徒模型和傳球模型等,其一般解題步驟可以歸納為:

方法一先求出P(X0) =π0或P(X1) =π1;根據(jù)馬爾可夫鏈定義, 列出第t時(shí)刻的條件概率的遞推關(guān)系式:μ,η ∈R;根據(jù)數(shù)列遞推公式的“配湊法”求出第t時(shí)刻概率的通項(xiàng)公式Pt.

方法二從高觀的角度,對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生,可以引導(dǎo)他們利用n步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行求解,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力,提高數(shù)學(xué)“關(guān)鍵能力”[2],為不同類型的的高校選拔人才.

5 試題解析

試題解析(一)(1)設(shè)事件A:第2 次投籃的人是乙,則由題可知第1 次投籃的人是甲,但甲未命中,或者第1 次投籃的人是乙,且乙命中,故P(A)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

(2) 設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為p, 則當(dāng)i= 1 時(shí),p1= 0.5; 當(dāng)i≥2 時(shí), 第i次投籃的人選就由第i-1 次投籃人的命中情況決定. 若第i-1 次投籃的人是甲, 且甲命中, 則pi=pi-1×0.6; 若第i-1 次投籃的人是乙, 且乙未命中, 則pi= (1-pi-1)×0.2, 所以由互斥事件的性質(zhì)知,pi=pi-1×0.6+(1-pi-1)×0.2 = 0.4pi-1+0.2.令pi+m= 0.4(pi-1+m),則pi= 0.4pi-1-0.6m,于是因?yàn)闉槭醉?xiàng),公比為0.4 的等比數(shù)列,從而化簡(jiǎn)得,

(3)由(2)知,

試題解析(二)(1)設(shè){Xm,m≥0}是具有兩個(gè)狀態(tài)的齊次馬爾可夫鏈,其中Xm=1 表示甲投籃,Xm=2 表示乙投籃,則初始概率為由條件概率可求,

(2) 下面根據(jù)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)求解馬爾可夫鏈性質(zhì)n步轉(zhuǎn)移概率矩陣p(n) =pn. 由|λI - P|=求得特征值λ1=1,時(shí),解

得一個(gè)特征向量為e1=時(shí),解

因此,第i次投籃的人是甲的概率

(3)同解析(一).

6 高考應(yīng)用

題目1 解析(1)略;(2)設(shè)事件Zi為:若一艘該型號(hào)飛艇能執(zhí)行第i次科考任務(wù)且在此次任務(wù)中獲得價(jià)值200 萬(wàn)元的科考數(shù)據(jù),則Zi=200,否則Zi=0,i=1,2,··· ,n. 于是由馬爾可夫鏈定義可求,P(Zi=200)=0.2·pi,P(Zi=0)=1-0.2·pi,所以E(Zi)=200×0.2·pi+0×(1-0.2·pi)=40pi. 因?yàn)閅=Z1+Z2+···+Zn,因此

題目2 解析(1) 當(dāng)n= 0 時(shí), 賭徒已經(jīng)輸光, 所以P(0) = 1;當(dāng)n=B時(shí),賭徒到了終止賭博的條件,不再賭了,因此輸光的概率P(B)=0.

(2)設(shè)X表示賭徒有n元,最后輸光的事件;Y表示賭徒有n元上一場(chǎng)贏的事件, 則P(X) =P(X|Y)P(Y)+故P(n+1)+P(n-1)=2P(n),所以{P(n)}是一個(gè)等差數(shù)列. 設(shè)P(n)-P(n-1)=d,則P(n-1)-P(n-2)=d,…,P(1)- P(0) =d, 累加得P(n)- P(0) =nd, 故P(B)-P(0)=Bd,得

(3)由(2)知P(A)-P(0)=Ad,得當(dāng)A= 100 時(shí),若B= 200,則P(A) = 50%;若B= 1000,則P(A)=90%;若B →∞,則P(A)→1,因此可知久賭無(wú)贏家,即使是一個(gè)這樣看似公平的游戲,只要賭徒一直玩下去就會(huì)的概率輸光.

7 教學(xué)建議

7.1 創(chuàng)設(shè)真實(shí)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)情境,培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀能力

高考內(nèi)容倡導(dǎo)加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際[8],概率統(tǒng)計(jì)試題重視情境設(shè)題的科學(xué)性、有效性、開(kāi)放性和靈活性. 在日常教學(xué)過(guò)程中,教師可以真實(shí)問(wèn)題為背景,以問(wèn)題或任務(wù)為中心構(gòu)建學(xué)習(xí)活動(dòng)場(chǎng)景,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考和理性判斷,理解掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念[9],教會(huì)學(xué)生“閱讀”,提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵能力[2].

7.2 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想滲透,提高信息識(shí)別與獲取能力

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程. 概率統(tǒng)計(jì)是培養(yǎng)學(xué)生建模思想的有效載體,教師應(yīng)發(fā)展學(xué)生科學(xué)思維,運(yùn)用模型與建模等思維方法組織、調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)與能力解決生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問(wèn)題,學(xué)以致用,系統(tǒng)化、多層面、多角度地分析與獲取信息,促進(jìn)創(chuàng)新思維的提升.

7.3 開(kāi)展高觀教學(xué),拓寬數(shù)學(xué)視野[10]

隨著課程改革的全面推進(jìn),近些年的高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)一些高等數(shù)學(xué)背景的試題,如馬爾可夫鏈模型、Newton 迭代法等,試題按照“高等背景,初等解法”的原則進(jìn)行設(shè)計(jì),形式新穎、設(shè)計(jì)巧妙,既能開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野,有利于完成高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的和諧接軌,又能有效地考查學(xué)生的思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能. 在日常概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中,教師滲透高等數(shù)學(xué)知識(shí)與方法,可以拓展學(xué)生的思路,培養(yǎng)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

7.4 設(shè)計(jì)“精致練習(xí)”[11],引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型知識(shí)體系

高考數(shù)學(xué)對(duì)概率統(tǒng)計(jì)考查的關(guān)鍵點(diǎn)在于:學(xué)生能結(jié)合題目的情景,針對(duì)數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型. 在日常教學(xué)實(shí)踐中,教師通過(guò)設(shè)計(jì)“精致練習(xí)”,幫助學(xué)生熟悉概率統(tǒng)計(jì)模型,掌握建模思想的基本流程:“問(wèn)題分析,提出假設(shè),模型選擇或建構(gòu),模型求解,結(jié)果檢驗(yàn)”,不斷完善與改進(jìn)自己模型知識(shí)體系,提高模型創(chuàng)新能力.