基于數(shù)學模式的數(shù)學競賽中不等式問題的探究

湖南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院(410081) 黃慧萌 吳仁芳

有關(guān)數(shù)學模式的說法,源于對數(shù)學本質(zhì)的探究. 鄭毓信指出對于數(shù)學學科來講,模式對于數(shù)學具有特殊的意義,可以說,數(shù)學的本質(zhì)即是關(guān)于數(shù)學模式的科學[1],于文華將數(shù)學模式分為存在于記憶中的數(shù)學模式和作為知識的數(shù)學模式[2]. 喻平解釋說數(shù)學模式是指形式化的采用數(shù)學語言,概括的或近似的表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)[3-4]. 目前許多著名科學家已認可數(shù)學是一門研究模式的科學,可見數(shù)學模式對于問題解決具有重要意義.

數(shù)學競賽歷史悠久,它首先是由匈牙利發(fā)起的,匈牙利也通過數(shù)學競賽培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的數(shù)學家,開展數(shù)學奧林匹克競賽活動有助于提高青少年的數(shù)學探索能力,進一步提高人才的數(shù)學素質(zhì)[5]. 數(shù)學競賽涉及數(shù)學學科的各個知識點,而不等式問題在數(shù)學競賽中占據(jù)重要地位. 基于競賽試題及相關(guān)文獻,解決不等式問題的常用方法有以下八種,即構(gòu)造函數(shù)法、變量代換法、引入?yún)?shù)法、比較法、放縮法、反證法、數(shù)學歸納法以及利用重要不等式證明不等式問題[6].

著名教育家徐利治教授提出RMI 原理[7],即關(guān)系映射反演原理,它的操作主要依賴于化歸,即將復雜的問題通過映射化為簡單的問題,然后求得簡單問題的解,再通過逆映射(反演)求得原來復雜問題的解,基本步驟可歸納為:“關(guān)系——映射——定映——反演——獲解”,其關(guān)鍵在于在兩個重要的關(guān)系結(jié)構(gòu)中構(gòu)造出合適的映射. RMI 原理是化歸原則的更高層次,對數(shù)學研究具有重要的指導意義[8]. 因此,本文在了解數(shù)學競賽中不等式問題常用方法的“個性”后,以RMI 原理為理論依據(jù),尋求這些方法的“共性”,化難為易,對于學生減輕記憶負擔,深刻認識并掌握這些方法具有重要意義. 最后,從數(shù)學模式的角度探究,給出了數(shù)學競賽中不等式問題的四種數(shù)學模式,即構(gòu)造法模式、變量代換模式、引入?yún)?shù)模式、數(shù)學模型模式. 其中構(gòu)造法模式包括構(gòu)造函數(shù)模式、構(gòu)造對偶式模式、構(gòu)造數(shù)列模式、構(gòu)造圖形模式;數(shù)學模型模式包括應(yīng)用柯西不等式模式、應(yīng)用均值不等式模式、應(yīng)用琴生不等式模式、應(yīng)用伯努利不等式模式.

一、構(gòu)造法模式

構(gòu)造法模式主要包括構(gòu)造函數(shù)模式、構(gòu)造對偶式模式和構(gòu)造數(shù)列模式. 構(gòu)造法模式是不等式證明中的一種重要數(shù)學模式,主要利用引入恰當?shù)暮瘮?shù)、對偶式、數(shù)列、圖形等輔助手段,使命題轉(zhuǎn)化,變成較為容易證明的形式.

1. 構(gòu)造函數(shù)模式

構(gòu)造函數(shù)模式是指根據(jù)所給代數(shù)式的特點,結(jié)合題目所給條件,構(gòu)造出適當?shù)暮瘮?shù),并且結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來解決不等式問題的一種數(shù)學模式.

例1(2020 年摩爾多瓦國家隊選拔試題)已知a,b,c是正實數(shù),求證

證由柯西不等式可得則u≥1

故f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,從而f(u)≥f(1)=結(jié)合(1)式可得

評注該題結(jié)合題目所給條件,構(gòu)造出一個函數(shù),并通過求導判斷函數(shù)單調(diào)性,利用該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,繼而求得函數(shù)的最小值,不等式便得證.

2. 構(gòu)造對偶式模式

構(gòu)造對偶式模式指根據(jù)題中某式A的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出A的對偶式B,再利用A與B之間的運算求得A、B的兩種關(guān)系式,從而使問題獲得解決的數(shù)學模式. 一般來說,構(gòu)造對偶式模式常常用在一些輪換不等式的證明問題中,通過構(gòu)造出的不等式與原來的不等式結(jié)合考慮,易于簡化問題.

例2設(shè)xi >0(i=1,2,··· ,n)且求證:

證明令不等式左邊為A, 其對偶式由平均不等式可得:

評注該題通過構(gòu)造不等式左邊的對偶式,再進行原式及其對偶式間的加、減運算,借助平均不等式,化難為易,繼而順利解決問題.

3. 構(gòu)造數(shù)列模式

構(gòu)造數(shù)列模式指根據(jù)題目所給式子的特征,通過構(gòu)造輔助數(shù)列,再利用數(shù)列的性質(zhì),如單調(diào)性來解決不等式問題的數(shù)學模式. 構(gòu)造法模式常用在與n有關(guān)的不等式問題中.

例3(2021 年加拿大數(shù)學奧林匹克試題) 已知n是給定的不小于2 的正整數(shù), 設(shè)正實數(shù)a1,a2,··· ,an滿足a1+a2+···+an=2n-1,求

的最小值.

當ai=2i-1(i=1,2,··· ,n)時,上式可取到等號,故所求最小值為n.

評注該題是不等式問題中的求值問題,要求所給式子的最小值,即證原式大于等于一個常數(shù)即可. 可通過構(gòu)造輔助數(shù)列,并令數(shù)列首項為1,得到數(shù)列前n項和Sn的表達式,以此為切入口. 繼而借助an=Sn -Sn-1,將原式中an用Sn-Sn-1代替,最后利用均值不等式解決問題.

4. 構(gòu)造圖形模式

構(gòu)造圖形模式是指根據(jù)題目所給條件中的數(shù)量關(guān)系的幾何意義構(gòu)造圖形的數(shù)學模式. 一般說來,構(gòu)造圖形可使題目中的條件和結(jié)論之間的關(guān)系更加直觀,問題便得以簡化.

圖1

例4設(shè)x,y,z為實數(shù),0

證明原不等式等價于>sinx(cosx-cosy) +siny(cosy-cosz) + sinzcosz, 故構(gòu)造圖形如圖1 所示,圓O是單位圓,S1,S2,S3分別是三個小矩形的面積, 則S1= sinx(cosx-cosy),S2= siny(cosy-cosz),S3=sinzcosz. 由于S1+S2+S3<故有>sinx(cosx-cosy)+siny(cosy-cosz)+sinzcosz,故原不等式成立.

評注該題通過構(gòu)造單位圓,將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為單位圓中三個小矩形的面積,化代數(shù)關(guān)系為幾何,最終證明不等式.

二、變量代換模式

變量代換模式指將一個較復雜的式子視為一個整體,用一個字母代換它, 從而將復雜問題簡單化的一種數(shù)學模式.也就是說,變量代換模式通常是通過變換代數(shù)式的形式,以顯示其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的本質(zhì),它常常能將無理式化為有理式,將分式化為整式.

例5(2021 年以色列數(shù)學奧林匹克試題)如果a,b,c是非負實數(shù),那么

證明設(shè)x=a2+ab+b2,y=b2+bc+c2,z=c2+ca+a2,p=q=a2+b2+c2,r=ab+bc+ca,則x+y+z=p+q+r,故原式等價于

所以xy+yz+zx≤pq+qr+rp. 不妨設(shè)a=min{a,b,c},b=a+x,c=a+y(x,y≥0),則

其中A=x2- xy+y2≥0,B= 3(x-y)2(x+y) +11(x3+y3)>0,C= 3(x2-y2)2+ 5(x4+y4)+5xy(x2+y2)≥0,

所以xyz≤pqr, 由對稱函數(shù)定理可知:故原式得證

評注該題主要利用換元的思想,將題目所給的復雜式子用一個字母代替,化難為易,最后結(jié)合對稱函數(shù)定理,順利解決問題.

三、引入?yún)?shù)模式

引入?yún)?shù)模式是指在不等式的證明中恰當引入?yún)?shù)與運算,使其達到預定的目的的一種數(shù)學模式. 引入?yún)?shù)模式是不等式證明中的一個高級技巧,往往能使復雜問題簡單化.

例6(2019 年加拿大奧林匹克試題)設(shè)n >1 為整數(shù),a0,a1,a2,a3,··· ,an,k為實數(shù), 且a1=an-1= 0, 證明

證明易知方程x2-kx-1 = 0 存在兩個不等的實根,且由兩根之積等于-1,必有一根的絕對值不小于1,不妨設(shè)這一根為t,則|t|≥1,于是t2-kt-1=0,因此對任意的i ∈{0,1,··· ,n-2},有

注意到a1=an-1=0,從而

評注該題通過引入?yún)?shù),令再將該參數(shù)代入所證式子中并結(jié)合絕對值不等式,再通過具體運算,不等式便得證.

四、數(shù)學模型模式

從廣義上說,數(shù)學中各種基本概念、各種公式、定理以及各種算法系統(tǒng)都可稱之為數(shù)學模型. 一些重要的不等式如柯西不等式、均值不等式、琴生不等式、伯努利不等式是解決數(shù)學競賽中不等式問題的重要輔助手段. 因此,數(shù)學模型模式是指利用四個重要不等式解決實際問題的一種數(shù)學模式.

1. 應(yīng)用柯西不等式模式

柯西不等式的一般形式為: 對任意的a1,a2,··· ,an,b1,b2,··· ,bn,有

當且僅當ai,bi(i= 1,2,···n) 中有至少一方全為零或時等號成立.

應(yīng)用柯西不等式模式是指以柯西不等式為切入口,解決不等式問題的一種數(shù)學模式. 柯西不等式作為數(shù)學競賽中的重要考查內(nèi)容之一,除被直接利用外,它的一些變式及推論也對解決不等式問題助益頗多.

例7(2020 年摩爾多瓦國家隊選拔試題)已知a,b,c是正實數(shù),求證

證明由柯西不等式可得√7a+b+c, 即從而同理可得故要證原不等式成立,只需證

根據(jù)柯西不等式,可得

從而原不等式成立.

評注該題兩次運用柯西不等式,第一次運用柯西不等式將原不等式進行轉(zhuǎn)化,從而使題目結(jié)構(gòu)得以簡化,接著再次運用柯西不等式,再加以運算簡化,最終不等式得以證明.

2. 應(yīng)用均值不等式模式

均值不等式的一般形式為: 對任意的正數(shù)a1,a2,··· ,an,都有

當且僅當a1=a2=···=an時成立.

應(yīng)用均值不等式模式指以均值不等式為出發(fā)點解決不等式問題的數(shù)學模式,均值不等式是在中學數(shù)學中最常用到的一個重要不等式,中學中的基本不等式就是其中一個重要的特例,掌握應(yīng)用均值不等式模式對求解不等式試題有重要的意義.

例8(2019 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題) 設(shè)正實數(shù)a1,a2,··· ,a100滿足ai≥a101-i(i=1,2,··· ,50),記xk=(k=1,2,··· ,99),證明

證明注意到a1,a2,··· ,a100>0,對k= 1,2,··· ,99,由均值不等式知

從而有

記(2)的右端為T,則對任意i= 1,2,··· ,100,ai在T的分子中的次數(shù)為i-1,在T的分母中的次數(shù)為100-i,從而

又0 ≤a101-i≤ai(i= 1,2,··· ,50), 故T≤1, 結(jié)合得

評注該題首先結(jié)合題目所給條件, 用a1,a2,··· ,a100將要證式子進行替換,再利用均值不等式,可將式子轉(zhuǎn)化為ai(i=1,2,··· ,100)的冪次方的乘積,最后得以證明.

例9(2020 年德國數(shù)學奧林匹克試題)設(shè)n為給定的正整數(shù),正實數(shù)a,b,c滿足求

證明由柯西不等式可得

即(a2n+1+b2nc+bc2n)≥(an+bn+cn)2,同理可得

因此

評注該題先利用題設(shè)條件將式子乘以即乘以一個等于1 的數(shù),式子不變,再以柯西不等式為突破口,結(jié)合均值不等式,順利求得式子的最大值,解決問題. 由該題可知,這些重要不等式常常需要綜合運用,方能高效解決不等式問題.

3. 應(yīng)用琴生不等式模式

琴生不等式(加權(quán))形式為:對任意的x1,x2,··· ,xn ∈[a,b], 且a1+a2+···+an= 1,a1,a2,··· ,an為正數(shù), 若f(x)是[a,b]上的下凸函數(shù),有

f(a1x1+a2x2+···+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+···+anf(xn),

若f(x)是[a,b]上的下凹函數(shù),則有

f(a1x1+a2x2+···+anxn)≥a1f(x1)+a2f(x2)+···+anf(xn).

當且僅當x1=x2=···=xn時等號成立.

應(yīng)用琴生不等式模式是指以琴生不等式為輔助手段,解決不等式問題的一種數(shù)學模式. 其具體操作為通過觀察題目特征,二次求導判斷題設(shè)函數(shù)為下凸函數(shù)還是下凹函數(shù),再結(jié)合琴生不等式解決問題.

例10(2020 年第61 屆IMO 試題)正實數(shù)a,b,c,d滿足a≥b≥c≥d,并且a+b+c+d=1,求證:

證明問題等價于

由于因此由琴生不等式

因此,只要證

或

即可,由于

因此,結(jié)論成立

評注該題首先對不等式兩邊取對數(shù),將問題進行等價轉(zhuǎn)化,再利用琴生不等式,對所形成的新式子進行進一步轉(zhuǎn)化,接著進行運算,最后不等式便得以證明.

4. 應(yīng)用伯努利不等式模式

伯努利不等式的一般形式為:若實數(shù)xi(i=1,2,··· ,n)各項符號相同,且xi >-1,則

(1+x1)(1+x2)···(1+xn)≥1+x1+x2+···+xn.

應(yīng)用伯努利不等式模式指以伯努利不等式為切入口,繼而解決不等式問題的一種數(shù)學模式. 對于數(shù)學競賽中的不等式問題,常常通過題設(shè)條件,判斷其符合伯努利不等式運用的條件后,將其運用,最后使復雜問題簡單化.

例11已知正實數(shù)x,y滿足x+y2016≥ 1, 證明

證明當時,由伯努利不等式,得而y >0,所以x2016+y >1-

當0

下面證明

事實上,由伯努利不等式,有

評注該題首先將要證不等式左邊進行分拆為x2016及y, 再分別利用伯努利不等式證明x2016和y分別大于因此二者之和顯然大于故不等式得證.

五、結(jié)語

數(shù)學競賽中不等式問題的常用解法有許多種,在了解這些解法各自特點的基礎(chǔ)上,挖掘這些解法的“共性”,有利于學生進一步認識這些基本方法, 厘清這些基本方法的本質(zhì),提高他們分析和解決問題的創(chuàng)新能力. 利用徐利治教授提出的RMI 原理,可以歸納出一類具有相同基本思想的數(shù)學模式,即借助熟悉的結(jié)構(gòu)或已有定理,將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,化生為熟,以簡馭繁. 因此,本文以RMI 原理為理論依據(jù), 結(jié)合數(shù)學競賽中不等式問題常用方法并以此為切入口,對不等式問題進行模式劃分,給出了四種數(shù)學模式,具體為構(gòu)造法模式、變量代換模式、局部調(diào)整模式、數(shù)學模型模式.當問題解決者面對數(shù)學競賽中不等式問題時,首先應(yīng)仔細分析題目所給條件,觀察原有式子的結(jié)構(gòu)特征,從題干出發(fā)分離出與之相關(guān)的數(shù)學模式并選擇適配的解題方法,以此獲得問題的最佳解法.