數(shù)學(xué)小結(jié)中的問(wèn)題、對(duì)策與案例的研究

何小亞 張艷虹 羅 靜

1. 華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631);2. 韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(512005)

1. 研究緣起

2021 年5 月21 日,國(guó)家發(fā)布了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》的文件,其中提出了“要提升課堂教學(xué)質(zhì)量,向‘45 分鐘’要效率. ”的要求.于是,如何具體落實(shí)這一要求就成了數(shù)學(xué)教學(xué)研究的最迫切的問(wèn)題.

那么,如何去評(píng)判一堂課的教學(xué)質(zhì)量呢? 根據(jù)研究者長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教育從業(yè)經(jīng)驗(yàn),以及數(shù)學(xué)的“大道至簡(jiǎn)”原則,最簡(jiǎn)潔、有效的看點(diǎn)之一就是課堂小結(jié). 因此,可以從課堂小結(jié)的視角去研究國(guó)內(nèi)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

2. 文獻(xiàn)綜述

研究者界定“數(shù)學(xué)小結(jié)”為中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一個(gè)環(huán)節(jié),它與“課堂小結(jié)”“小結(jié)”“歸納總結(jié)”等術(shù)語(yǔ)意義相同. 查閱中國(guó)知網(wǎng),對(duì)近十年國(guó)內(nèi)一些研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率和數(shù)學(xué)小結(jié)的重要文獻(xiàn)進(jìn)行綜述. 一方面了解高效的課堂教學(xué)含義與高效的課堂教學(xué)要求的教學(xué)行為,為后續(xù)課堂實(shí)錄分析提供分析依據(jù);另一方面了解數(shù)學(xué)小結(jié)主要的研究結(jié)論,為本文確立研究的切入點(diǎn).

2.1 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率

裴昌根,宋乃慶(2016)提出:發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是國(guó)內(nèi)外基礎(chǔ)教育改革與發(fā)展的重難點(diǎn),而優(yōu)質(zhì)高效的課堂教學(xué)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)最有效的途徑. 并指出優(yōu)質(zhì)高效課堂教學(xué)是指教師在遵循教學(xué)規(guī)律與學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上,激發(fā)并維持學(xué)生興趣,促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí),在有限的時(shí)間和精力投入后實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo),促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的過(guò)程.[1]

要提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率,教師必須要有高效的教學(xué)行為. 王光明(2011)提出,科學(xué)性視角的高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為表現(xiàn)在: 能夠恰當(dāng)確定教學(xué)目標(biāo)以及教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn);重視促進(jìn)學(xué)生的深刻理解;促進(jìn)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)求知欲;發(fā)揮數(shù)學(xué)的精神、思想與方法,獲得理性的數(shù)學(xué)思維教育.[2]

何小亞(2019)提出,數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)下存在的問(wèn)題:例題習(xí)題分不清,學(xué)生參與成空談;方法先行失創(chuàng)新,問(wèn)題解決難實(shí)行;標(biāo)準(zhǔn)缺失生亂象,數(shù)學(xué)本質(zhì)未揭示;不良觀點(diǎn)引誤解,數(shù)學(xué)素養(yǎng)難實(shí)現(xiàn). 數(shù)學(xué)教育的未來(lái)之路是以理解、探究、問(wèn)題解決為價(jià)值取向,追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成,并促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展. 并提供了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和案例.[3]

綜上所述,高效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向,以教學(xué)目標(biāo)為抓手,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.2 數(shù)學(xué)小結(jié)

2.2.1 數(shù)學(xué)課堂小結(jié)現(xiàn)狀

李善良(2015)以參加2012 年中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)主辦的全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)的教學(xué)錄像為研究材料,研究發(fā)現(xiàn):高中數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注課堂小結(jié),多數(shù)課堂小結(jié)時(shí)間在2～5 分鐘,主要使用“你學(xué)到了什么知識(shí)”“你有什么收獲”等引導(dǎo)用語(yǔ). 在課堂小結(jié)教學(xué)環(huán)節(jié),教師設(shè)計(jì)各種問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng),采取提要式和系統(tǒng)式等小結(jié)形式. 一些課堂還利用視覺(jué)化方式呈現(xiàn)小結(jié)內(nèi)容. 高中數(shù)學(xué)課堂小結(jié)教學(xué)中存在模式化、機(jī)械化現(xiàn)象,學(xué)生仍然處于被動(dòng)接受局面;課堂小結(jié)使用表格、圖形等呈現(xiàn)方式偏少,表現(xiàn)形式單一,有待進(jìn)一步改進(jìn).[4]

值得注意的是,由于參賽各省為了獲得好成績(jī),教師選手是優(yōu)中選優(yōu),而且每節(jié)課都經(jīng)過(guò)各省專家團(tuán)隊(duì)的認(rèn)真打磨,這已經(jīng)不是平時(shí)真實(shí)的高中課堂教學(xué).

2.2.2 數(shù)學(xué)小結(jié)存在的問(wèn)題

季海霞(2011)指出高中數(shù)學(xué)課堂教師對(duì)課堂小結(jié)重視度太低;教師對(duì)課堂小結(jié)的角度、方法把握不明;學(xué)生在課堂小結(jié)中無(wú)地位; 課堂小結(jié)發(fā)揮的作用淺顯.[5]石鎖華(2015)認(rèn)為課堂小結(jié)被忽視;小結(jié)方式單調(diào);小結(jié)問(wèn)題指向不明;小結(jié)過(guò)程缺乏學(xué)生參與.[6]

2.2.3 數(shù)學(xué)小結(jié)方法

許瑞珠(2016)從課型的角度給出了概念課、原理課、習(xí)題課、復(fù)習(xí)課的課堂小結(jié)模式.[7]李佑武(2013)指出了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中課堂小結(jié)常用的方法有懸念式、音韻式、歸納式、設(shè)問(wèn)式、目的式和表格式.[8]徐章韜(2016)提出了,單元小結(jié)課的設(shè)計(jì)要做知識(shí)、方法的梳理和問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì). 強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體觀、系統(tǒng)觀、來(lái)源、發(fā)展歷程,展示知識(shí)的獨(dú)特性、發(fā)展性、關(guān)聯(lián)性,體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用性、工具性和功用性,把知識(shí)轉(zhuǎn)化為見(jiàn)識(shí).[9]季海霞(2011)指出數(shù)學(xué)小結(jié)的主體是學(xué)生,從教學(xué)目標(biāo)出發(fā),在知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三方面提出了小結(jié)的方法[5]. 其它研究相比,上述三種小結(jié)方法是有層次的, 但第二維度只提學(xué)習(xí)方法是不夠的,而且每一維度的操作性內(nèi)容需要明確.

現(xiàn)有研究對(duì)“小結(jié)什么,誰(shuí)來(lái)小結(jié),小結(jié)多久,小結(jié)的表達(dá)方式”進(jìn)行了探索,發(fā)現(xiàn)小結(jié)研究需要關(guān)注小節(jié)的內(nèi)容、主體、時(shí)長(zhǎng)、呈現(xiàn)方式等維度,見(jiàn)表1.

表1 數(shù)學(xué)小結(jié)研究的維度

小結(jié)內(nèi)容有目標(biāo)、內(nèi)容、效果三個(gè)關(guān)注點(diǎn). 教學(xué)內(nèi)容服務(wù)于教學(xué)目標(biāo),回顧數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想的言語(yǔ)陳述的小結(jié)是膚淺的, 必需從科學(xué)的教學(xué)目標(biāo)角度來(lái)確認(rèn)小結(jié)內(nèi)容.數(shù)學(xué)教學(xué)效率低下的根本原因是教師不清楚要學(xué)生理解什么和會(huì)做什么. 另外,學(xué)與教的效果是小結(jié)評(píng)價(jià)的關(guān)注點(diǎn). 此外,在當(dāng)前作業(yè)減少甚至是無(wú)作業(yè)的“雙減”背景下,把握好小結(jié)環(huán)節(jié)的主體、時(shí)長(zhǎng)、呈現(xiàn)方式,是教學(xué)質(zhì)量提升的保證.研究者關(guān)注以下三點(diǎn):

A.以上研究主要以高中課堂為主,初中課堂較少. 那么初中與高中課堂的小結(jié)有什么共性和差異;

B.經(jīng)歷了最近兩次的課程改革,當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的小結(jié)還存在什么問(wèn)題;

C.在以核心素養(yǎng)為標(biāo)志的課程改革以及“要提升課堂教學(xué)質(zhì)量,向‘45 分鐘’要效率.”的背景下,需要解決數(shù)學(xué)小結(jié)存在的普遍性問(wèn)題,需要審視現(xiàn)有數(shù)學(xué)小結(jié)的方法,更需要研究數(shù)學(xué)小結(jié)的內(nèi)容,并構(gòu)建合理、科學(xué)、簡(jiǎn)潔、有效的數(shù)學(xué)小結(jié)的標(biāo)準(zhǔn).

3. 研究問(wèn)題

根據(jù)文獻(xiàn)綜述的總結(jié),確定研究以下四個(gè)問(wèn)題:

問(wèn)題1:中學(xué)數(shù)學(xué)小結(jié)情況如何?

問(wèn)題2:數(shù)學(xué)小結(jié)存在著什么問(wèn)題?

問(wèn)題3:解決數(shù)學(xué)小結(jié)問(wèn)題的對(duì)策是什么?

問(wèn)題4:符合數(shù)學(xué)小結(jié)專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的案例是什么樣的?

4. 研究方法

對(duì)于問(wèn)題1 和問(wèn)題2,研究者采用課例分析法.

課例樣本的選取:新授課、復(fù)習(xí)課、試卷點(diǎn)評(píng)課是數(shù)學(xué)課的三種基本課型,而新授課的從內(nèi)容維度可分為概念、原理、問(wèn)題解決三類課型. 因此,樣本的選取以覆蓋上述課型和內(nèi)容為原則,也考慮了初、高中階段覆蓋. 最終,選取某地經(jīng)選拔的初中骨干教師培養(yǎng)對(duì)象5 人(編碼為J1～J5)的教學(xué)錄像,以及隨機(jī)抽取中央廣播電視大學(xué)“百節(jié)名師風(fēng)采課”中5位高中數(shù)學(xué)教師(編碼為H1～H5)的教學(xué)錄像作為研究材料.

分析流程

首先,完整觀看每一節(jié)教學(xué)錄像,建立表格從授課教師、年級(jí)/課題、授課類型幾方面填寫記錄視頻信息,并寫下點(diǎn)評(píng).

然后,再次觀看每一節(jié)課的小結(jié)部分,在第一步的表格中補(bǔ)充小結(jié)時(shí)間、小結(jié)內(nèi)容具體信息. 把小結(jié)的錄像視屏與聲音信息轉(zhuǎn)換成文字材料,然后按照知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的操作性定義[10]去分析.

對(duì)于問(wèn)題3 和問(wèn)題4,使用質(zhì)性分析方法進(jìn)行研究.

5. 研究結(jié)果

5.1 問(wèn)題1 的研究結(jié)果

根據(jù)前述分析步驟形成了小結(jié)分析實(shí)錄,篇幅所限僅呈現(xiàn)簡(jiǎn)要記錄. 如表2 所示.

從視頻分析記錄來(lái)看,不同學(xué)段、不同課型的小結(jié)大都是(4/7,樣本數(shù)10,其中3 個(gè)無(wú)小結(jié)環(huán)節(jié))千篇一律地單調(diào)地問(wèn)學(xué)生收獲、想法、認(rèn)識(shí);不管是骨干教師培養(yǎng)對(duì)象還是數(shù)學(xué)名師,他們的數(shù)學(xué)小結(jié)離專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)有不少差距,小結(jié)的質(zhì)量與教齡以及職業(yè)聲譽(yù)沒(méi)有直接關(guān)系.

5.2 問(wèn)題2 的研究結(jié)果——數(shù)學(xué)小結(jié)存在的問(wèn)題

5.2.1 時(shí)間控制不好,導(dǎo)致無(wú)法小結(jié)或者走過(guò)場(chǎng)的后果

J1、J2、H5 三位老師沒(méi)有小結(jié). H1 老師的小結(jié)草草結(jié)束,只有15 秒. 復(fù)習(xí)課與試卷講評(píng)課不用小結(jié)嗎? 這個(gè)問(wèn)題值得反思.

5.2.2 小結(jié)內(nèi)容只是知識(shí)點(diǎn)和技能言語(yǔ)信息的羅列

J4、H1、H3、H4 都是問(wèn)學(xué)到了什么? 或者你有什么收獲?從學(xué)生的自由回答材料中看出,學(xué)生的回答都是處于只是羅列知識(shí)點(diǎn)和技能的言語(yǔ)信息水平.

表2 中小學(xué)數(shù)學(xué)小結(jié)實(shí)錄

5.2.3 缺少“理解”和“會(huì)做”的具體內(nèi)容

J1 的試卷講評(píng)課、J2 的問(wèn)題解決課,沒(méi)有小結(jié),只是給出怎么解的具體答案,并沒(méi)有把“理解”和“會(huì)做”的具體內(nèi)容要點(diǎn)總結(jié)出來(lái).

5.2.4 缺乏“把書讀薄”的結(jié)構(gòu)性小結(jié)

除了J3、J5、H2 之外,其余的課沒(méi)有體現(xiàn)“把書讀薄”的結(jié)構(gòu)性小結(jié);

5.2.5 小結(jié)空泛,沒(méi)有針對(duì)性

H1 老師:好, 小結(jié). 我們經(jīng)歷了問(wèn)題提出——問(wèn)題分析-——問(wèn)題解決, 在這過(guò)程中大家收獲了什么? 有什么啟示?“最后,讓我,用這句話共勉. ”顯示笛卡爾頭像及其名言:“我思故我在.”

教師用15 秒講了以上文字,沒(méi)有問(wèn)題內(nèi)容,沒(méi)有分析內(nèi)容,如何解決問(wèn)題? 也沒(méi)有講什么收獲. 這樣的小結(jié)空洞無(wú)物,可以套在很多課上.

5.2.6 小結(jié)失控,目標(biāo)難以達(dá)成

許多老師喜歡問(wèn):“這節(jié)課你學(xué)到了什么? 有什么感受? ”如H3、H4 的小結(jié)由被問(wèn)者自由發(fā)揮,天馬行空,難以保證質(zhì)量.

盡管J4 也是問(wèn)“學(xué)到了什么? ”,但已經(jīng)把小結(jié)的目標(biāo)限定在數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)維度. 不過(guò),除非在教學(xué)過(guò)程中已經(jīng)滲透了且明確了數(shù)學(xué)思想,否則大多數(shù)學(xué)生難以總結(jié)出數(shù)學(xué)思想.

小結(jié)叫學(xué)生談收獲,效率太低. 一是浪費(fèi)時(shí)間,二是學(xué)生的個(gè)人收獲層次低,三是并沒(méi)有解決你要學(xué)生會(huì)做什么? 理解什么? 5 類重要的過(guò)程性目標(biāo)無(wú)法強(qiáng)化落實(shí),難以實(shí)現(xiàn)查缺補(bǔ)漏、畫龍點(diǎn)睛,大面積提高教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo).

5.2.7 按照追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)成的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)[3],J5 的小結(jié)是所有課中最好的. 通過(guò)提問(wèn)具體的內(nèi)容來(lái)強(qiáng)化重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵, 解決了小結(jié)失控問(wèn)題與師生互動(dòng)問(wèn)題. 不過(guò), 注意“去分母需注意”的第二點(diǎn)的效果需要通過(guò)反例來(lái)強(qiáng)化.

J5 老師展示PPT,進(jìn)行課堂總結(jié):

提問(wèn)1:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?

提問(wèn)2:去分母的依據(jù)是什么?

提問(wèn)3:去分母的作用是什么?

提問(wèn)4:怎樣去分母?

提問(wèn)5:去分母有什么需要注意?

師:(1)本節(jié)課所學(xué)去分母有三個(gè)細(xì)分步驟和兩個(gè)易錯(cuò)提醒;(2)“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1”是解決一切一元一次方程的利器;(3)本節(jié)課體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想,體會(huì)“追求簡(jiǎn)單化”的數(shù)學(xué)靈魂,感受數(shù)學(xué)文化的魅力.

圖1 課例“解一元一次方程——去分母”小結(jié)

J5 老師比較熟悉數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn),這節(jié)課的整體教學(xué)設(shè)計(jì)及其小結(jié)設(shè)計(jì)符合追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)成的教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),最終成為廣州市初中數(shù)學(xué)公開課的范例.

5.3 問(wèn)題3 的研究結(jié)果

要解決數(shù)學(xué)小結(jié)存在的問(wèn)題,必須要從國(guó)家第九次數(shù)學(xué)課程改革的視角出發(fā),解決好核心問(wèn)題:未來(lái)的數(shù)學(xué)教育要到哪里去? 如何實(shí)施高效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)? 文獻(xiàn)[3]已經(jīng)指出:數(shù)學(xué)教育的未來(lái)之路是以理解、探究、問(wèn)題解決為價(jià)值取向,追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成,最終促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展,并給出了追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)成的教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)與案例. 我們綜合文獻(xiàn)綜述中高效數(shù)學(xué)課堂的要求及文獻(xiàn)[11]和[12],結(jié)合2.3 中對(duì)文獻(xiàn)綜述結(jié)果表1 的分析,根據(jù)三維目標(biāo)形成數(shù)學(xué)小結(jié)的內(nèi)容框架:

知識(shí)與技能:知道什么? 理解什么? 會(huì)做什么?

這一維度指的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能. 其內(nèi)容主要包括三類:一類是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理(即數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則)、基本的數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論這樣一些用于回答“是什么”問(wèn)題的陳述性知識(shí),它屬于言語(yǔ)信息,人們戲稱之為語(yǔ)文老師教的數(shù)學(xué);第二類是涉及到數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理、基本的數(shù)學(xué)事實(shí)結(jié)論的運(yùn)用,用于回答“做什么”的問(wèn)題的程序性知識(shí),它屬于認(rèn)知技能;第三類是數(shù)學(xué)操作性技能,它屬于動(dòng)作技能.

過(guò)程與方法:數(shù)學(xué)的思想、能力(包括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的操作性定義)、問(wèn)題解決、思維品質(zhì)、眼光和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)).

具體內(nèi)容是:通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程,把握數(shù)學(xué)思想方法;培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力(包括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的操作性定義);提高問(wèn)題解決能力[13]; 改善數(shù)學(xué)思維品質(zhì)(廣闊性/深刻性/靈活性/獨(dú)創(chuàng)性/批判性/嚴(yán)謹(jǐn)性),發(fā)展數(shù)學(xué)眼光(觀察數(shù)學(xué)世界和真實(shí)世界的一種意識(shí),是在思考問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)方面的自覺(jué)意識(shí)、關(guān)注和習(xí)慣)包括:精確的眼光、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难酃?、?jiǎn)潔的眼光、概括的眼光、統(tǒng)一的眼光、理想化的眼光(將實(shí)體簡(jiǎn)化假設(shè)為幾何模式或代數(shù)模式)、共性化的眼光(對(duì)共同屬性的敏感、直覺(jué)和發(fā)現(xiàn));數(shù)的意識(shí)、符號(hào)的意識(shí)、空間觀念、數(shù)據(jù)分析的意識(shí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí));積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

情感態(tài)度價(jià)值觀:數(shù)學(xué)信念價(jià)值觀、數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的喜好感受.

這里的情感是指,在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的比較穩(wěn)定的情緒體驗(yàn). 數(shù)學(xué)態(tài)度是指,對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)對(duì)象的心理傾向或立場(chǎng). 表現(xiàn)出興趣、愛(ài)好、喜歡與否、看法立場(chǎng).

數(shù)學(xué)態(tài)度包括對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的態(tài)度(數(shù)學(xué)信念)、對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、對(duì)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的喜好.

這一維度目標(biāo)的內(nèi)容還包括宏觀的價(jià)值觀和數(shù)學(xué)審美觀,如:對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值的看法;辯證法的觀點(diǎn);數(shù)學(xué)的美:精確之美、嚴(yán)謹(jǐn)之美、簡(jiǎn)潔之美、概括之美、統(tǒng)一之美,以及奇異、對(duì)稱、和諧之美.

數(shù)學(xué)小結(jié)的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)是: 以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo),按照數(shù)學(xué)小結(jié)框架實(shí)施,并通過(guò)問(wèn)題串的師生互動(dòng)方式強(qiáng)化其中的要點(diǎn).

5.4 研究問(wèn)題4 的研究結(jié)果

按照上述數(shù)學(xué)小結(jié)的專業(yè)標(biāo)準(zhǔn),開發(fā)了兩個(gè)高中數(shù)學(xué)課的小結(jié)案例.

案例1高一, 直線與平面平行的判定 (研究者開發(fā),2021 年廣東省本科高校師范生教學(xué)技能大賽的獲獎(jiǎng)設(shè)計(jì))

圖1 “直線與平面平行的判定”小結(jié)

PPT 中教師的說(shuō)明:

1. 利用定義,難以判斷直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),為此探究出了化難為易的利器——直線與平面平行的判定定理;

2. 定理把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題,體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.

3. 在真實(shí)世界(造橋、建房、掛黑板)和數(shù)學(xué)世界(立體幾何)中存在著無(wú)數(shù)個(gè)需要判定線面平行的問(wèn)題. 生命有限,不可能窮舉一切. 用一個(gè)有限的線面平行判定定理,就可以駕馭無(wú)限的線面平行問(wèn)題. 追求簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)的靈魂.

4. 老師非常喜歡這個(gè)定理!

原因之一是它能化難為易,它把一個(gè)用定義難以判定的線面平行問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的線線平行問(wèn)題;

原因之二是這個(gè)定理高度的概括性,即實(shí)現(xiàn)了以一個(gè)有限的定理可以解決真實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界中無(wú)窮無(wú)盡的線面平行問(wèn)題.

案例2高二,二項(xiàng)式定理 教學(xué)新設(shè)計(jì)[14](研究者開發(fā),華南師范大學(xué)研究生“一生一優(yōu)課”與基地學(xué)校“一師一優(yōu)課”的同課異構(gòu)示范課,其教學(xué)設(shè)計(jì)已經(jīng)被《中學(xué)數(shù)學(xué)》雜志2021 年12 月號(hào)刊用.)

教師歸納總結(jié):

(1) 回顧這節(jié)課, 發(fā)現(xiàn)容易算出(a+b)2=? (a+b)3=?(a+b)4=?,但面對(duì)(a+b)2021甚至是3031 次方、7071 次方等復(fù)雜的計(jì)算,需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式——化繁為簡(jiǎn)! 先提出一個(gè)一般化的問(wèn)題,(a+b)n=? 但不知道n的大小,更難了! 化難為易! 退一步,海闊天空! 從特殊的例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)而得到了一般的二項(xiàng)式定理. 一般化和特殊化是化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想.

當(dāng)然, 也可以用數(shù)學(xué)的另一個(gè)“大殺器”——“數(shù)學(xué)歸納法”來(lái)證明二項(xiàng)式定理.

(2)公式中的字母a,b本質(zhì)上就是兩個(gè)框□,△,好多東西可以往里裝! 也就是說(shuō),字母是可變的(單個(gè)字母、數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式、有理式、無(wú)理式),但是公式的結(jié)構(gòu)是不變的. 例1 裝的是x和y,例2 裝的是1 和2x,例3 裝的是x和課堂練習(xí)裝的是x3和2x.

注意:通項(xiàng)公式指的是展開式中的第k+1 項(xiàng),指的是第k+1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),要與項(xiàng)的系數(shù)區(qū)別開來(lái).

(3)今天,同學(xué)們學(xué)習(xí)了一個(gè)厲害的定理,簡(jiǎn)直是個(gè)“大殺器”! 只用簡(jiǎn)單的3 個(gè)字母就簡(jiǎn)潔地表示出無(wú)窮無(wú)盡的組合搭配,它對(duì)任意大的正整數(shù)以及千變?nèi)f化的字母n的取值都適用,它做到了以一個(gè)有限的模式駕馭無(wú)窮的具體, 直擊數(shù)學(xué)的靈魂——追求簡(jiǎn)單化! 這便是牛頓于22 歲時(shí)研讀沃利斯博士的《無(wú)窮算術(shù)》后引發(fā)思考從而發(fā)現(xiàn)的二項(xiàng)式定理,其在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和以及差分法等方面都有非常廣泛的應(yīng)用.

(4)同學(xué)們, 請(qǐng)大家猜一猜:老師喜不喜歡二項(xiàng)式定理?恭喜你! 你猜對(duì)啦! 老師太喜歡二項(xiàng)式定理了,原因有三:

哈佛大學(xué)的約書亞·古德曼教授的一項(xiàng)研究發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)越好的人收入越高,接受數(shù)學(xué)教育的時(shí)間每多一年,畢業(yè)后的工資會(huì)多出10%,這表明:“數(shù)學(xué)就是財(cái)富”!

6. 研究結(jié)論

(1)數(shù)學(xué)小結(jié)存在著6 個(gè)方面的問(wèn)題:時(shí)間控制不好,導(dǎo)致無(wú)法小結(jié)或者走過(guò)場(chǎng)的后果; 小結(jié)內(nèi)容只是知識(shí)點(diǎn)和技能言語(yǔ)信息的羅列;缺少“理解”和“會(huì)做”的具體內(nèi)容;缺乏“把書讀薄”的結(jié)構(gòu)性小結(jié); 小結(jié)空泛, 沒(méi)有針對(duì)性; 小結(jié)失控,目標(biāo)難以達(dá)成.

(2)解決數(shù)學(xué)小結(jié)問(wèn)題的對(duì)策是,按照追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)達(dá)成的教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),并按照數(shù)學(xué)小結(jié)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施3～5 分鐘的小結(jié).

(3)按照專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)所開發(fā)的案例,可以實(shí)現(xiàn)“向‘45 分鐘’要效率”,達(dá)到提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的目的.

7. 問(wèn)題討論

根據(jù)研究者所構(gòu)建的數(shù)學(xué)小結(jié)標(biāo)準(zhǔn),以及多年的從業(yè)經(jīng)驗(yàn),下面呈現(xiàn)我們對(duì)一些典型課例的教學(xué)反思.

7.1 J2?壓軸題突破

J2 教師素質(zhì)不錯(cuò),英俊瀟灑,有親和力和掌控力;口齒表達(dá)清晰,思路講解清楚,并注意到了啟發(fā)學(xué)生思考. 但有許多學(xué)生實(shí)際上沒(méi)有加入數(shù)學(xué)思維過(guò)程,如此難以保證課堂教學(xué)質(zhì)量. 最遺憾的是,只講了一些具體的解法,但沒(méi)有把其上升到數(shù)學(xué)思想的層面:化歸思想. 要想提高學(xué)生獨(dú)立解決難題的水平,一定要教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的思維方式:由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,追尋結(jié)論成立的充分條件,上下緊逼,前后夾攻,思路貫通,并把追求簡(jiǎn)單化的數(shù)學(xué)靈魂貫穿始終.

7.2 J4?整式及其加減

(1)為什么要學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容? 要回答好學(xué)習(xí)重要的、起始性的新知識(shí)的必要性, 就需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境教學(xué)環(huán)節(jié)1 來(lái)解決.教師要強(qiáng)調(diào),以后我們會(huì)遇到大量的、復(fù)雜的多項(xiàng)式的運(yùn)算.遇到復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算,數(shù)學(xué)家的策略就是化繁為簡(jiǎn). 那么在一個(gè)復(fù)雜的、長(zhǎng)長(zhǎng)的多項(xiàng)式中,哪些項(xiàng)可以合并化簡(jiǎn)呢? 直接就所舉例子:如果x可取-100～100 中的任意整數(shù),那么代數(shù)式-8x2+6x+7x2-5x+x2+3 的值是多少? 問(wèn)此代數(shù)式中有幾個(gè)x的平方? 幾個(gè)x? 他們可以分別合并. 接著指出他們有共同的特點(diǎn),他們叫做同類項(xiàng),可以合并. 那么,什么叫做同類項(xiàng)? 除了這兩種同類項(xiàng)之外,還有那些同類項(xiàng)呢?接著轉(zhuǎn)到同類項(xiàng)的定義這個(gè)環(huán)節(jié)2.

(2)在環(huán)節(jié)2,要明確同類項(xiàng)是滿足特殊條件的單項(xiàng)式,本質(zhì)上是數(shù)和一些字母相乘,沒(méi)有加減運(yùn)算.

(3)合并同類項(xiàng)的難點(diǎn)是“同類項(xiàng)的識(shí)別”. 克服這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是,區(qū)分系數(shù)和字母部分,而且把字母部分當(dāng)一個(gè)整體(母機(jī)——字母組成的機(jī)器)看待. 判斷同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)是:不看系數(shù)看“母雞”,是不是一樣的“母雞”,就看它是不是有相同字母而且個(gè)數(shù)相同;一樣的“母雞”才能合并,合并系數(shù)即可.

7.3 H1?橢圓

(3)這節(jié)課的目標(biāo)定位合適嗎? 能用一個(gè)具體的方程代替一般的標(biāo)準(zhǔn)方程? 如果可以,那么如何落實(shí)這些目標(biāo):解析幾何的思想? 數(shù)形結(jié)合的思想? 運(yùn)算化簡(jiǎn)能力? 為何引進(jìn)b,其幾何意義? 如何深化能力:“求曲線的方程實(shí)質(zhì)上就是求該曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式. 為此,需要建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),抓住該曲線上的點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì),將此幾何性質(zhì)代數(shù)化得出方程,證明這個(gè)方程就是所求的方程. ”? 得出了方程為何還要證明? 如何強(qiáng)化曲線與方程的關(guān)系?

如何感受“追求簡(jiǎn)單化”這一數(shù)學(xué)的靈魂? 如何感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、概括、統(tǒng)一之美?

(4) 你知不知道法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾, 是一個(gè)對(duì)感覺(jué)、數(shù)學(xué)、邏輯均懷疑的哲學(xué)家? 你能理解“我無(wú)法否認(rèn)自己的存在,因?yàn)楫?dāng)我否認(rèn)、懷疑時(shí),我就已經(jīng)存在! ”這樣的解釋嗎?

用“我思故我在.”與學(xué)生共勉? 共勉什么? 它和這節(jié)課所做的4 件事有什么關(guān)系? 其必要性與合理性何在?

7.4 H4?函數(shù)的應(yīng)用

與許多老師相比,3 分19 秒小結(jié)時(shí)間已經(jīng)不短. 但讓5個(gè)學(xué)生先自由地說(shuō)其想法,教師再總結(jié)兩點(diǎn):一是何為函數(shù)?二是函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)模型. 如此的小結(jié)難以保證小結(jié)的質(zhì)量. 請(qǐng)反思以下三點(diǎn):

(1)又學(xué)了一個(gè)學(xué)期的函數(shù),對(duì)函數(shù)的理解是不是應(yīng)該再上一個(gè)臺(tái)階:函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系;在一個(gè)集合中任意取定一個(gè)數(shù),總可以在另一個(gè)集合里找到唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng);函數(shù)概念中兩個(gè)變量的符號(hào)不是固定的. 函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)系統(tǒng),一臺(tái)機(jī)器,它由兩個(gè)變量,兩個(gè)非空數(shù)集,對(duì)應(yīng)法則f構(gòu)成,不能把函數(shù)值f(x)當(dāng)成函數(shù),也不能把對(duì)應(yīng)法則f當(dāng)成函數(shù). 我們可以說(shuō)一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù),但不能把變量x、y當(dāng)成函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)不是變量,而是一個(gè)系統(tǒng).[15]

(2)沒(méi)有給出數(shù)學(xué)建模的概念以及準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)建模流程圖,更沒(méi)有指出數(shù)學(xué)建模中的核心環(huán)節(jié)理想化.

(3)都到學(xué)期末了,還沒(méi)有解決為什么要學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)? 這節(jié)課需要強(qiáng)化哪些數(shù)學(xué)思想?

7.5 H5?頻率與概率

十分遺憾,如此重要的概念新授課居然沒(méi)有小結(jié)? 經(jīng)過(guò)小學(xué)、初中與此相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)習(xí),到了高中,教師是不是應(yīng)該讓學(xué)生明白以下幾點(diǎn)[16]:

(1)概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué),隨機(jī)現(xiàn)象是通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究的. 概率是反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值,人們常常用它來(lái)研究刻畫隨機(jī)現(xiàn)象. 隨機(jī)事件由隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)確定. 這一理想化的理論數(shù)值無(wú)法通過(guò)具體實(shí)踐獲得.但人們可以通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)獲得的頻率來(lái)估計(jì)概率的大小.

(2)突破教材限制,理解好三個(gè)概念:隨機(jī)試驗(yàn)、基本事件、隨機(jī)事件.

隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果叫做基本事件, 也叫做樣本點(diǎn),所有樣本點(diǎn)的集合叫做樣本空間?. 樣本空間的子集A(空集和? 除外)叫做隨機(jī)事件.

需要指出的是,鑒于樣本容量的限制,我們對(duì)這項(xiàng)研究的外在效度持謹(jǐn)慎的態(tài)度.

8. 研究展望

通過(guò)數(shù)學(xué)小結(jié)標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施可以提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量,但如何結(jié)合本節(jié)課的定位與數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)明確各個(gè)層次的具體內(nèi)容就成了關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)教學(xué)低效的主要原因是教師不知道理解數(shù)學(xué)要理解什么? 也不清楚到底要教會(huì)學(xué)生什么? 因此,要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),首先就要提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 于是,如何幫助教師深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和欣賞數(shù)學(xué)? 如何提高教師對(duì)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的理解水平? 就成了教師教育必須研究解決的基礎(chǔ)問(wèn)題.

以提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的,以三維目標(biāo)為邏輯起點(diǎn)的數(shù)學(xué)小結(jié)標(biāo)準(zhǔn)中的師生角色定位是:以學(xué)生為主體,教師為主導(dǎo). 在實(shí)際操作過(guò)程中,如何避免出現(xiàn)脫離學(xué)生實(shí)際的教師完全主導(dǎo)現(xiàn)象,就成了今后研究應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題.

信息技術(shù)的普及,使得“黑板+粉筆”的教學(xué)模式被弱化了. 好的2×3 塊板書能把教學(xué)過(guò)程、重點(diǎn)和難點(diǎn)完整展示在學(xué)生眼前,而線性呈現(xiàn)的PPT 總會(huì)被下一張覆蓋. 前者展現(xiàn)了“可溯源”的思維過(guò)程,為數(shù)學(xué)小結(jié)的實(shí)施、強(qiáng)化提供了認(rèn)知的支持. 而后者只能靠記憶的模糊再現(xiàn). 缺少思維過(guò)程的整體展示,難以達(dá)到高效的強(qiáng)化作用,使數(shù)學(xué)小結(jié)失去了認(rèn)知的基礎(chǔ). 于是,信息技術(shù)大趨勢(shì)背景下,解決PPT 小結(jié)的局限性就成了今后十分迫切的研究問(wèn)題.