基于Johnson接觸模型的內(nèi)嚙合直齒輪系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合動(dòng)力學(xué)建模與分析

馬曉婧, 石建飛, 張?zhí)炫R, 黨興武, 張 力

(1. 蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730050;2. 蘭州蘭石石油裝備工程股份有限公司,蘭州 730000)

內(nèi)嚙合齒輪具有中心距小,磨損輕,傳動(dòng)平穩(wěn),使用壽命長(zhǎng)等[1]特點(diǎn)。由于單齒和雙齒之間周期性交替嚙合以及齒側(cè)間隙的存在,伴隨著轉(zhuǎn)速和載荷的變化,齒輪嚙合時(shí)出現(xiàn)齒面嚙合、輪齒脫離、齒背嚙合等多狀態(tài)嚙合行為。準(zhǔn)確的解釋齒側(cè)間隙所引起的多態(tài)嚙合行為可為齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。目前,齒輪之間的嚙合力主要通過線性彈簧阻尼模型計(jì)算,該模型由質(zhì)量單元、彈簧單元和阻尼單元所組成[2]。在涉及長(zhǎng)周期且存在沖擊時(shí),法向嚙合力的變化可為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)沖擊分析提供基礎(chǔ)?；贖unt等[3]的早期工作,Lankarani等[4]提出改進(jìn)嚙合力模型,該模型解釋了傳動(dòng)過程中所發(fā)生的能量耗散。Kahraman等[5]早些時(shí)候?qū)⑵溆糜诜治鼋Y(jié)合誤差激勵(lì)的單自由度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Nevzat等[6]對(duì)齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行綜述,為分析齒側(cè)間隙對(duì)齒輪嚙合過程的影響奠定了基礎(chǔ)。Liu等[7]基于線性彈簧阻尼系統(tǒng)的振蕩衰減周期,獲得了用于描述嚙合過程中能量損失的線性模型中的阻尼項(xiàng)。Chen等[8]將齒側(cè)間隙和齒面摩擦相結(jié)合,進(jìn)行了齒輪非線性動(dòng)力學(xué)特性分析。而單齒和雙齒交替嚙合特性的研究主要集中在齒輪的時(shí)變嚙合剛度。Huang等[9]考慮單齒和雙齒嚙合特性的影響,基于能量法推導(dǎo)了直齒輪系統(tǒng)時(shí)變嚙合剛度的分析模型。苑士華等[10]計(jì)算彈流潤(rùn)滑狀態(tài)下的圓柱齒輪嚙合特性,分析了不同運(yùn)行參數(shù)對(duì)摩擦力和嚙合力的影響。向玲等[11]綜合動(dòng)態(tài)側(cè)隙、齒面摩擦、齒輪偏心及時(shí)變嚙合剛度等因素,建立了齒輪-轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。石建飛等[12]推導(dǎo)了在齒側(cè)間隙影響下的齒面嚙合、脫嚙和齒背嚙合3種動(dòng)力學(xué)模型。恒定的齒隙可以清楚地描述齒輪系統(tǒng)的齒面嚙合、輪齒分離和齒背嚙合,但它不能有效區(qū)分齒面或齒背嚙合時(shí)的單齒和雙齒嚙合。然而,這可以通過時(shí)變齒隙來準(zhǔn)確識(shí)別單雙齒嚙合情況[13]。Li等[14]建立了具有動(dòng)態(tài)齒隙的齒輪系統(tǒng)在內(nèi)外組合周期激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)模型。Wang等[15]基于有限元法建立了考慮齒輪幾何誤差和中心距偏差的時(shí)變齒隙模型。在以往齒輪系統(tǒng)中,動(dòng)態(tài)嚙合力模型被表征為隱式函數(shù)。因此,在非線性動(dòng)力學(xué)分析中,需要通過數(shù)值迭代來計(jì)算每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的嚙合力。這不僅使其計(jì)算成本增高,對(duì)計(jì)算程序的性能也有考驗(yàn)且因齒輪的法向嚙合力是實(shí)際工程應(yīng)用中阻尼的重要來源,以往模型并沒有將傳動(dòng)過程中的能量耗散計(jì)入其中。在目前有關(guān)齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究文獻(xiàn)中,尚未見到考慮多狀態(tài)嚙合行為對(duì)漸開線內(nèi)嚙合直齒輪系統(tǒng)影響的報(bào)道。隨著考慮的因素越來越全面、工況越來越復(fù)雜,應(yīng)根據(jù)不同嚙合狀態(tài)下齒輪齒廓、嚙合線和受力情況分段建立各個(gè)嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

本文在考慮齒面摩擦對(duì)齒輪系統(tǒng)的影響,基于Johnson接觸力模型,提出了一種計(jì)入能量耗散的改進(jìn)漸開線內(nèi)嚙合直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算模型。在該嚙合力模型中,克服了目前現(xiàn)有模型的局限性,在考慮沖擊過程中的能量耗散下,將動(dòng)態(tài)嚙合力定義為顯式函數(shù)。同時(shí),基于漸開線內(nèi)嚙合圓柱直齒輪傳動(dòng)原理、時(shí)變齒隙以及輪齒間的受力情況,分別建立齒輪副系統(tǒng)在單齒齒面嚙合、雙齒齒面嚙合、單齒齒背嚙合、雙齒齒背嚙合和輪齒脫離多狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)模型。該研究可為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化、參數(shù)設(shè)計(jì)和進(jìn)一步研究提供了有益的參考。

1 時(shí)變參數(shù)的計(jì)算

1.1 基于Johnson接觸模型的動(dòng)態(tài)嚙合力

齒輪嚙合力的確定是預(yù)測(cè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和承載能力的關(guān)鍵。對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析時(shí),大多數(shù)嚙合力模型是基于Hertz壓力,具有Hertz接觸理論[16]的限制性,迫使這類模型只能用于低間隙的嚙合條件。傳統(tǒng)模型將嚙合力表示為隱函數(shù)的數(shù)學(xué)形式,使其在實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算成本偏高。

本文中動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算模型基于Johnson接觸力模型[17]而改進(jìn)。在齒輪嚙合時(shí),嚙合輪齒間會(huì)產(chǎn)生碰撞或沖擊行為而導(dǎo)致能量的散耗。Lankarani等建立了計(jì)入能量耗散的嚙合力模型,提出用恢復(fù)系數(shù)ce進(jìn)行修正,并證實(shí)了該系數(shù)的有效性。同時(shí),將嚙合力定義為顯式函數(shù),消除低間隙的使用限制且計(jì)算更簡(jiǎn)便,由(1)式計(jì)算得到。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中, ΔR為齒側(cè)間隙,式(4)中常數(shù)Y為對(duì)于內(nèi)部接觸難以找一個(gè)單一表達(dá)式來獲得良好擬合,即Y可表示為

(5)

綜上,可以得到齒輪副嚙合力數(shù)學(xué)表達(dá)式,如式(6)所示

(6)

(7)

式中,i=k,d分別為齒輪齒面和齒背。

1.2 基于彈流潤(rùn)滑理論的摩擦因數(shù)

齒面摩擦因數(shù)主要受輪齒幾何形狀、表面硬度、接觸壓力和齒面相對(duì)滑動(dòng)速度等因數(shù)的影響。本文考慮彈流潤(rùn)滑下的摩擦因數(shù)。根據(jù)He等[18]的研究,第i對(duì)嚙合齒輪副的時(shí)變摩擦公式表示為式(6)。

(8)

f[SRi(t),Phi(t),ηM,Raavg]=b1+b9eRaavg+
b4|SRi(t)Phi(t)lgηM|+b5e-|SRi(t)Phi(t)lg ηM|

(9)

式中,Raavg=(Ra1+Ra2)/2為平均表面粗糙度;ηM=0.058為動(dòng)態(tài)黏度;bi(i= 1,2,…,9)為經(jīng)驗(yàn)因子,其值參見Chen等的研究。第i對(duì)嚙合齒輪的最大赫茲壓力Phi(t)表示為式(10)

(10)

式中:fe=Tp/bRbpcosα為單位法向載荷;ρri(t)為第i對(duì)嚙合齒輪的相對(duì)曲率半徑。

在式(8)、式(9)中,無量綱滾滑率SRi(t)=2vs(t)/ve(t),vs(t)為齒面滑移速度,ve(t)為卷吸速度。λi(t)為摩擦力的方向系數(shù),可通過式(11)得到。

λi(t)=sgn[vs(t)]

(11)

式中, sgn(·)為符號(hào)函數(shù),用于確定摩擦力的方向。

2 內(nèi)嚙合齒輪系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合動(dòng)力學(xué)模型

在低速重載的條件下,齒輪系統(tǒng)處于齒面嚙合狀態(tài)。在高速輕載的條件下,齒隙會(huì)引起周期性的輪齒脫離或齒背嚙合行為。為了更好地理解齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的多狀態(tài)嚙合特性,假設(shè)齒輪副為剛性支承,只考慮齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),漸開線內(nèi)嚙合圓柱直齒輪在齒面和齒背嚙合狀態(tài)下簡(jiǎn)化的物理模型如圖1所示。

圖1 齒輪副的簡(jiǎn)化物理模型Fig.1 A simplified physical model about gear

該模型中主、從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移分別為θp和θg,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ip和Ig,齒側(cè)間隙為D(τ),齒面嚙合剛度和阻尼分別為KK,CK,齒面摩擦因數(shù)為μK;齒背嚙合剛度和阻尼分別為Kd,Cd及齒背摩擦因數(shù)為μd;齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差為e(τ),其中齒面誤差激勵(lì)e(τ)=eK(τ),齒背誤差為激勵(lì)e(τ)=ed(τ)。其余算例參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪參數(shù)表Tab.1 Gear parameter table

2.1 內(nèi)嚙合直齒輪系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合分類

圖2 內(nèi)嚙合直齒輪的齒面和齒背嚙合示意圖Fig.2 A meshing schematic diagram of a spur gear pair with drive-side and back-side tooth meshes

基于嚙合過程中嚙合點(diǎn)的位置以及相對(duì)位移量與齒側(cè)間隙的幾何關(guān)系,齒輪嚙合狀態(tài)及其邊界條件可分為:

式中:Tm=2π/(zpωp)為一個(gè)完整的嚙合周期,包括單齒和雙齒嚙合(AC或A′C′);zp,ωp分別為主齒輪的齒數(shù)和旋轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)上述5種嚙合狀態(tài),分別建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型如下。

2.2 系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合動(dòng)力學(xué)建模

2.2.1 雙齒齒面嚙合狀態(tài)

雙齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖,如圖3所示。有兩對(duì)輪齒同時(shí)參與嚙合,由于存在加工誤差及輪齒的變形,所以對(duì)工作區(qū)內(nèi)兩對(duì)齒所受載荷的分配有所變化。FNp1,FNp2,FNg1和FNg2為作用在主、從動(dòng)齒輪上的法向正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp1,Ffp2,Ffg1和Ffg2為作用在主、從動(dòng)齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖3 雙齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖Fig.3 A schematic diagram of force analysis of the spur gear pair under double-tooth drive-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)原理和第二牛頓定律,可得雙齒齒面嚙合狀態(tài)下主、從動(dòng)輪的絕對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)方程

(12)

式中,兩輪齒齒面法向正壓力FNp1,FNg1,FNp2和FNg2,可由式(13)計(jì)算得到。式(14)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計(jì)算得到。

FNp1>=FNg1>=Lk1(τ)Fm,FNp2>=FNg2>=Lk2(τ)Fm

(13)

式中,Lk1(τ),Lk2(τ)為負(fù)載分擔(dān)比可由文獻(xiàn)[19]得到。作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp1,Ffg1,Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μki(τ)(i=1,2)和齒面法向正壓力成正比,可由式(14)計(jì)算得到。

Ffp1=Ffg1=λk1(τ)μk1(τ)Lk1(τ)Fm,
Ffp2=Ffg2=λk2(τ)μk2(τ)Lk2(τ)Fm

(14)

式中,時(shí)變摩擦力方向系數(shù)λki(τ)與嚙合點(diǎn)的位置有關(guān),在節(jié)點(diǎn)附近齒面滑移速度方向發(fā)生變化,導(dǎo)致摩擦力方向發(fā)生變化。故時(shí)變摩擦力方向系數(shù)λki(τ)與齒面滑移速度vm(t)相關(guān),可由式(11)計(jì)算得到。

式(12)中的Sdp1(τ),Sdp2(τ),Sdg1(τ),Sdg2(τ)分別為齒輪副的摩擦力矩,可以寫為

(15)

(16)

將式(13)中的兩個(gè)公式相減,即可得到雙齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程,如式(17)。

(17)

2.2.2 單齒齒面嚙合狀態(tài)

單齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖,如圖4所示。FNp2和FNg2是作用在主、從動(dòng)齒輪上的正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp2和Ffg2是作用在主、從動(dòng)齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖4 單齒齒面嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖Fig.4 A schematic diagram of force analysis of the spur gear pair under single-tooth drive-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)原理和第二牛頓定律,可得雙齒齒面嚙合狀態(tài)下主、從動(dòng)輪的絕對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)方程

(18)

式中,兩輪齒齒面法向正壓力FNp2和FNg2,可由式(19)計(jì)算得到。式(18)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計(jì)算得到。

FNp2=FNg2=Fm

(19)

式中,作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μki(τ)和齒面法向正壓力成正比,可由式(20)計(jì)算得到。

Ffp2=Ffg2=λk2(τ)μk2(τ)Fm

(20)

將式(18)中的兩個(gè)公式相減,即可得到單齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程,如式(18)所示。

(21)

2.2.3 雙齒齒背嚙合狀態(tài)

雙齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖,如圖5所示。有兩對(duì)輪齒同時(shí)參與嚙合過程,由于存在加工誤差及輪齒的變形,所以對(duì)工作區(qū)內(nèi)兩對(duì)齒所受載荷的分配有所變化。FNp1,FNp2,FNg1和FNg2為作用在主、從動(dòng)齒輪上的正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp1,Ffp2,Ffg1和Ffg2為作用在主、從動(dòng)齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖5 雙齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖Fig.5 A schematic diagram of force analysis of gear teeth under double-tooth back-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)原理和第二牛頓定律,可得雙齒齒背嚙合狀態(tài)下主、從動(dòng)輪的絕對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)方程

(22)

式中,兩輪齒齒面法向正壓力FNp1,FNg1,FNp2和FNg2,可由式(23)計(jì)算得到。式(23)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計(jì)算得到。

FNp1>=FNg1>=Ld1(τ)Fm,FNp2>=FNg2>=Ld2(τ)Fm

(23)

式中,Ld1(τ),Ld2(τ)為負(fù)載分擔(dān)比可由Pedrero等的研究得到。作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp1,Ffg1,Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μdi(τ)(i=1,2)和齒面法向正壓力成正比,可由式(24)計(jì)算得到。

Ffp1=Ffg1=λd1(τ)μd1(τ)Ld1(τ)Fm,
Ffp2=Ffg2=λd2(τ)μd2(τ)Ld2(τ)Fm

(24)

式中,時(shí)變摩擦力方向系數(shù)λdi(τ)與嚙合點(diǎn)的位置有關(guān),在節(jié)點(diǎn)附近齒面滑移速度方向發(fā)生變化,導(dǎo)致摩擦力方向發(fā)生變化。故時(shí)變摩擦力方向系數(shù)λdi(τ)與齒面滑移速度vm(t)相關(guān),可由式(11)計(jì)算得到。

式(22)中的Sdp1(τ),Sdp2(τ),Sdg1(τ),Sdg2(τ)分別為齒輪副的摩擦力矩,可以寫為

(25)

(26)

將式(24)中的兩個(gè)公式相減,即可得到雙齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程,如式(27)所示。

(27)

2.2.4 單齒齒背嚙合狀態(tài)

單齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖,如圖6所示。有一對(duì)輪齒同時(shí)參與嚙合過程。FNp2和FNg2為作用在主、從動(dòng)齒輪上的正壓力,方向沿著嚙合線方向。Ffp2和Ffg2為作用在主、從動(dòng)齒輪上的摩擦力,方向垂直于嚙合線方向。

圖6 單齒齒背嚙合狀態(tài)下嚙合點(diǎn)處受力分析圖Fig.6 A schematic diagram of force analysis of gear teeth under single-tooth back-side meshing state

根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)原理和第二牛頓定律,可得單齒齒背嚙合狀態(tài)下主、從動(dòng)輪的絕對(duì)扭轉(zhuǎn)方程

(28)

式中,兩輪齒齒面法向正壓FNp1,FNg1,FNp2和FNg2,可由式(29)計(jì)算得到。式(29)中,Fm為作用在兩輪齒嚙合力,可由式(6)計(jì)算得到。

FNp2=FNg2=Fm

(29)

式中,作用在兩輪齒齒面的摩擦力Ffp2和Ffg2與摩擦因數(shù)μdi(τ)和齒面法向正壓力成正比,可由式(30)式計(jì)算得到。

Ffp2=Ffg2=λd2(τ)μd2(τ)Fm

(30)

將式(28)中的兩個(gè)公式相減,即可得到雙齒齒面嚙合狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程,如式(31)所示。

(31)

2.2.5 輪齒脫離狀態(tài)

脫齒狀態(tài)示意圖,如圖7所示。根據(jù)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)原理和第二牛頓定律,可得輪齒脫離狀態(tài)下主、從動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

圖7 脫齒狀態(tài)示意圖Fig.7 A schematic diagram of the gear pair under teeth disengaged state

(32)

將式(32)中的兩個(gè)公式相減,即可得到輪齒脫離狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)方程,如式(33)所示。

(33)

2.3 系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合的無量綱歸一化模型

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

其中

h(t,x3)=

(40)

hdt(t,x3)=

(41)

(42)

因此,得到包含雙齒齒面嚙合、單齒齒面嚙合、雙齒齒背嚙合、單齒齒背嚙合、輪齒脫離等5種狀態(tài)的內(nèi)嚙合圓柱直齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)無量綱歸一化表達(dá)式,如式(39)。該模型為研究齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)和多態(tài)嚙合行為提供了模型基礎(chǔ)。

3 系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合行為辨識(shí)與分析

通過第2章的分析,得到漸開線內(nèi)嚙合圓柱直齒輪多狀態(tài)嚙合的動(dòng)力學(xué)模型。因此,根據(jù)輪齒間相對(duì)位移量與齒隙的數(shù)值關(guān)系,可以觀察到相平面內(nèi)五態(tài)嚙合行為的存在區(qū)域。通過時(shí)變齒隙能夠準(zhǔn)確辨別工作區(qū)內(nèi)單雙齒嚙合情況,假設(shè)Dd為在雙齒嚙合區(qū)域的無量綱齒隙,Ds為在單齒嚙合區(qū)域的無量綱齒隙,其中Ds>Dd。

如圖8所示,單齒齒面嚙合存在于Ⅰ區(qū)(x3≥Ds)。單齒脫離存在于Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅳ區(qū)(|x3|

圖8 相平面五態(tài)所占面積Fig.8 The existence area of five meshing states in the phase plane

根據(jù)上述5種不同的Poincaré映射部分,齒輪系統(tǒng)的多狀態(tài)嚙合運(yùn)動(dòng)可以用符號(hào)n-p-q-r-s來表示。其中:n為系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)次數(shù);p為單齒齒面嚙合次數(shù);q為單齒齒背嚙合次數(shù);r為雙齒齒面嚙合次數(shù);s為雙齒齒背嚙合次數(shù)。若p,q,r或s為零,則表示無單齒齒面嚙合、單齒齒背嚙合、雙齒齒面嚙合、雙齒齒面背嚙合多態(tài)嚙合的發(fā)生。通過分析n-p-q-r-s的運(yùn)動(dòng)特性,可得到齒輪系統(tǒng)的多態(tài)嚙合行為的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

設(shè)F=0.16,ε=0.23且以嚙合頻率ω作為控制變量?；跇?gòu)造的5種不同Poincaré映射,分析嚙合頻率變化對(duì)齒輪系統(tǒng)在彈流潤(rùn)滑下的多狀態(tài)嚙合行為的振動(dòng)特性。圖9(a)深灰色部分為在頻閃映射截面Σn下系統(tǒng)隨嚙合頻率逐漸增大的分岔圖。圖9(b)中深灰色為系統(tǒng)在單齒齒面映射截面Σp的分岔圖,淺色為系統(tǒng)在單齒齒背映射截面Σq的分岔圖。圖9(c)淺灰色部分為雙齒齒面映射截面Σr的分岔圖,深灰色為雙齒齒背映射截面Σs的輸出圖。

圖9 隨著ω增加不同Poincaré映射截面的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagrams in different Poincareé mapping sections with the increase in ω

由圖9可知,當(dāng)嚙合頻率ω較小時(shí)(A點(diǎn)左側(cè)),系統(tǒng)表現(xiàn)為1-0-0-0-0運(yùn)動(dòng),圖10(a)和圖10(b)分別為ω=0.3的相圖和動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖。此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力始終大于零,表明齒面嚙合狀態(tài)持續(xù)存在,且不存在脫嚙和齒背嚙合。由于振動(dòng)幅度較小,齒輪系統(tǒng)的輪齒相對(duì)位移和相對(duì)速度在單齒和雙齒之間跳躍更為明顯。

圖10 相圖與動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖(1)Fig.10 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (1)

隨嚙合頻率ω逐漸增大(A點(diǎn)和B點(diǎn)之間),系統(tǒng)表現(xiàn)為1-1-0-0-0運(yùn)動(dòng)。圖11(a)和圖11(b)分別為ω=0.6的相圖和動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖,“·”為Poincaré映射點(diǎn)。在圖11(a)中相軌跡跨越了單齒隙值的一半,其中Γ1為單齒和雙齒齒面嚙合區(qū)域,Γ2為單齒脫離和雙齒齒面嚙合區(qū)域。圖11(b)為相應(yīng)的動(dòng)態(tài)嚙合力,動(dòng)態(tài)嚙合力在單齒區(qū)域?yàn)榱?而雙齒區(qū)域的動(dòng)態(tài)嚙合力始終大于零,表明單齒脫離行為發(fā)生存在周期性。

圖11 相圖與動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖(2)Fig.11 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (2)

經(jīng)過C點(diǎn)后,系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的1-1-0-1-0運(yùn)動(dòng),相軌跡較之前更為平滑但仍然存在單齒和雙齒脫離。其中,Γ1為單齒和雙齒齒面嚙合區(qū)域,Γ2為單齒齒背和雙齒齒面嚙合區(qū)域,Γ3為單、雙齒脫嚙狀態(tài),如圖12(a)所示。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力周期性地出現(xiàn)在大于零與等于零之間,如圖12(b)所示。

圖12 圖與動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖(3)Fig.12 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (3)

當(dāng)嚙合頻率繼續(xù)增加,齒輪系統(tǒng)由1-1-0-1-0運(yùn)動(dòng)通過倍化分岔進(jìn)入短混沌運(yùn)動(dòng)。隨后系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng),主動(dòng)輪與被動(dòng)輪的嚙合次數(shù)增加一倍,表現(xiàn)為2-2-0-2-0運(yùn)動(dòng),其相圖和動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖如圖13所示。

圖13 相圖與動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖(4)Fig.13 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (4)

在D點(diǎn),齒面嚙合、齒背接觸以及脫嚙的次數(shù)發(fā)生改變,系統(tǒng)過渡到2-1-1-1-1運(yùn)動(dòng)。在E點(diǎn),經(jīng)周期倍化分岔再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng),即n-p-q-r-s運(yùn)動(dòng)。此時(shí),相軌跡變得雜亂無章且穿過Ds,-Ds,Dd和-Dd,如圖14(a)所示;動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)小于零和等于零(Fm>0,Fm=0和Fm<0)的情況,如圖14(b)所示。表明系統(tǒng)出現(xiàn)單齒齒面嚙合、雙齒齒面嚙合、脫嚙、單齒齒背嚙合和雙齒齒背嚙合5種狀態(tài)嚙合行為。

圖14 相圖與動(dòng)態(tài)嚙合力時(shí)間歷程圖(5)Fig.14 Phase portraits and time histories of dynamic meshing force (5)

隨著嚙合頻率進(jìn)一步增加,系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)?-1-1-1-1運(yùn)動(dòng)。在F點(diǎn),系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔由3-1-1-1-1運(yùn)動(dòng)退化為穩(wěn)定的1-1-0-1-0運(yùn)動(dòng),即系統(tǒng)經(jīng)F點(diǎn)后發(fā)生齒面嚙合、單雙齒的脫嚙等行為。

由以上分析結(jié)果可知,當(dāng)嚙合頻率ω較小時(shí),系統(tǒng)保持穩(wěn)定的齒面嚙合狀態(tài)。隨著嚙合頻率ω持續(xù)增大,系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)單雙齒的脫嚙、單齒齒背嚙合和雙齒齒背嚙合等多狀態(tài)嚙合行為。在B點(diǎn)和F點(diǎn)(0.5

4 結(jié) 論

(1) 基于Johnson接觸力模型,提出了一種計(jì)及時(shí)變齒側(cè)間隙和嚙合過程中能量耗散的漸開線內(nèi)嚙合直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算模型,考慮齒面摩擦、齒隙和綜合傳動(dòng)誤差的情況下,建立內(nèi)嚙合齒輪系統(tǒng)的五種不同的嚙合狀態(tài)及其對(duì)應(yīng)的邊界條件,推導(dǎo)考慮齒輪系統(tǒng)5態(tài)嚙合行為以及時(shí)變齒隙的無量綱歸一化非線性動(dòng)力學(xué)模型。并克服傳統(tǒng)嚙合力模型的缺點(diǎn),提出一個(gè)新型動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算方式并代入上述動(dòng)力學(xué)方程。

(2) 通過構(gòu)造5種Poincaré映射,研究了在5種嚙合行為下的相軌跡和動(dòng)態(tài)嚙合力演化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)當(dāng)嚙合頻率ω=0.3時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。隨著嚙合頻率增加,分岔、混沌運(yùn)動(dòng)相繼發(fā)生。嚙合頻率的變化對(duì)齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性及嚙合力的影響較大。此外,分岔和混沌可改變多態(tài)嚙合行為的類型和嚙合力方向上的突變。

(3) 嚙合頻率、負(fù)載等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)五態(tài)嚙合行為有很大影響。隨著參數(shù)的不斷變化,逐漸出現(xiàn)單、雙齒齒面嚙合以及單、雙齒齒背嚙合,嚙合行為逐漸變得復(fù)雜。合理地選擇嚙合頻率,可以避免輪齒沖擊行為,以改善其動(dòng)態(tài)性能和應(yīng)用的可靠性。本文也為進(jìn)一步研究?jī)?nèi)嚙合齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析奠定了基礎(chǔ)。