優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，落實(shí)“少教多學(xué)”

王晨　戚有建

一、問題提出

著名教育家陶行知先生曾說過：“所謂教師之主導(dǎo)作用，重在善于啟迪，使學(xué)生自奮其力，自致其知，非謂教師滔滔講說，學(xué)生默默聆聽.”其中深意就是“少教多學(xué)”的教學(xué)理念.“少教”即啟發(fā)性地教、針對(duì)性地教、創(chuàng)造性地教和發(fā)展性地教；“多學(xué)”指學(xué)生在教師地引導(dǎo)下走向深度學(xué)習(xí)、積極學(xué)習(xí)、獨(dú)立學(xué)習(xí).因此教師要對(duì)教學(xué)課程有科學(xué)的設(shè)計(jì)，對(duì)教學(xué)進(jìn)程有巧妙的干預(yù)和調(diào)適，才能達(dá)到少教多學(xué)的目的.本文以基本不等式第一課時(shí)為例，從“精教—少教—不教”三個(gè)階段逐層推進(jìn)，展示基本不等式課堂教學(xué)中的“少教多學(xué)”.

二、教學(xué)案例

教材分析：本節(jié)課選自蘇教版（2019版）必修一第三章第二節(jié)，主要內(nèi)容是基本不等式的證明與應(yīng)用.此前學(xué)生已學(xué)過不等式的六個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)比較法、分析法、綜合法會(huì)簡單的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)

（1）了解基本不等式包含的物理、代數(shù)、幾何知識(shí)及生活背景，掌握基本不等式的證明方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用基本不等式解決一些函數(shù)的最值問題.

（2）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)換元代換的數(shù)學(xué)方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)過程

1．情境引入

媽媽買回來兩個(gè)蘋果，小明用自己的玩具天平來稱，他先把蘋果放在天平的一個(gè)盤子上，另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡，稱得質(zhì)量為a，媽媽說不對(duì).原來天平制造得不精確，天平兩臂長略有不同（其他因素不計(jì)）.于是他將蘋果調(diào)換到另一個(gè)盤子上，稱得質(zhì)量為b，并將二者“平均”一下得a+b2來表示蘋果的質(zhì)量.

問1：看完這段材料你有什么想法？

追問1：蘋果實(shí)際質(zhì)量是a+b2嗎？ （學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)并得出蘋果實(shí)際質(zhì)量為ab）

追問2：下面你想研究什么呢？

生：想研究a+b2是否等于ab？

設(shè)計(jì)意圖：通過生活情境的引入，增加學(xué)生的探究興趣.對(duì)情境中方案的“不合理”，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)并用已有的物理知識(shí)解決，極大地滿足他們學(xué)習(xí)的成就感，同時(shí)也找出了本節(jié)課的研究對(duì)象，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2．課內(nèi)探究

2．1猜想

學(xué)生不難想到用特殊值代入探究，猜想ab≤a+b2.

問2：從特殊值入手得到的結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)，你能不能嚴(yán)格地證明該猜想？

2．2證明

巡視學(xué)生的答案，選擇幾個(gè)投影.

生1：用比較法證明，但要注意前提是a，b>0，和不等式取等的充要條件.

生2：用的是分析法，執(zhí)果索因，探究每一步所需的充分條件，直至得到一個(gè)顯然成立的式子，注意書寫格式.而將分析法過程倒著書寫即為綜合法.

生3：選擇先平方兩數(shù)，消除根號(hào)，再用前三種方法證明，稱為平方法.

設(shè)計(jì)意圖：從特殊值入手得到猜想，此時(shí)學(xué)生會(huì)有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦Щ螅劝l(fā)出想要證明的想法.接著投影學(xué)生證明不等式的方法，既檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)前一節(jié)不等式內(nèi)容的掌握情況，又讓學(xué)生感受到知識(shí)的應(yīng)用性.

師：下面我們來賞析不等式ab≤a+b2.

生：結(jié)構(gòu)簡潔，主要是和與積的關(guān)系，且只包含基本運(yùn)算.

師：分析得很到位，我們把包含和的代數(shù)式a+b2稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，包含積的代數(shù)式ab稱為a，b的幾何平均數(shù).如圖1，AB是圓O的直徑，AC=a，CB=b，過C作CD⊥AB，你能找到兩個(gè)數(shù)的幾何表示？

生：由射影定理可知CD=ab，OD=a+b2.

問3：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：根據(jù)半弦不大于半徑可以得到CD≤OD，也可以證明不等式成立.所以這個(gè)不等式還蘊(yùn)含豐富的物理、代數(shù)、幾何知識(shí).

問4：不等式中的a，b可以代入數(shù)字，能代入代數(shù)式嗎？對(duì)代數(shù)式有何要求？

生：可以，但要滿足大于等于0.

師：通過對(duì)a，b的代換，可以得到無數(shù)個(gè)不等式，但它們的根基均為這個(gè)不等式，所以我們給它一個(gè)名稱，叫做基本不等式.

設(shè)計(jì)意圖：這里對(duì)不等式的賞析，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去理解不等式，讓學(xué)生在感受到這個(gè)簡單的不等式蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)背景的同時(shí)，還培養(yǎng)了其數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.另外，該不等式還可以衍生出許多不等式，因此學(xué)生對(duì)于它的名稱“基本不等式”會(huì)有更深層次的感悟.

2．3 應(yīng)用

問5：你能不能舉出用代數(shù)式代換a，b的例子呢？

生：根據(jù)a，b大于等于0，用a2替換a，b2替換b，代入基本不等式，得到一個(gè)新的不等式.這里要注意a，b的范圍已經(jīng)變?yōu)镽.

師：我也舉個(gè)例子，用ba和ab分別替換a，b，請(qǐng)你們幫我分析以上內(nèi)容.

生1：當(dāng)兩個(gè)分式大于0，即a，b同號(hào)時(shí)代入基本不等式得ba·ab≤ba+ab2，根據(jù)乘積是定值，有ba+ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.

生2：老師，這兩個(gè)代數(shù)式不就是互為倒數(shù)的關(guān)系嗎？我直接用1a替換b不是更簡潔？

師：非常好！同學(xué)們開始有自己的想法了，那也允許我在你的基礎(chǔ)上再改編：用x替換a，用1x替換b，構(gòu)造出函數(shù)y=x+1x，x∈（0，+∞），求此函數(shù)的最小值.

問6：你能將這個(gè)函數(shù)進(jìn)行變式嗎？

生1：改變定義域，如將條件x∈（0，+∞）改為x∈－∞，0.此時(shí)－x>0，－1x>0，故得－－x+－1x≤－2－x·－1x=－2，當(dāng)且僅當(dāng)－x=－1x，即x=－1時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)函數(shù)有最大值－2.

生2：改變解析式，例如將解析式改為y=x+1x+2.

第一次探究發(fā)現(xiàn)乘積不是定值，需將代數(shù)式變形為x+2+1x+2-2，但此時(shí)的前提條件發(fā)生變化，x+2>2，0<1x+2<12二者取不到等，故沒有最小值.

問7：問題出在哪？

生2：需改變x的范圍，可以為x∈（－2，+∞），但改法不唯一.

問8：剛剛我們主要運(yùn)用基本不等式來解決這些函數(shù)的最值，使用過程中需要注意的條件是什么？

生：首先代數(shù)式為正，其次乘積為定值，最后取等號(hào)時(shí)x的值要有解.

師：總結(jié)的非常到位！事實(shí)上乘積為定值，我們可以得到和的最小值，如果和為定值，則乘積有最大值.用基本不等式求函數(shù)最值需要滿足的條件可以概括為“一正二定三相等”.

設(shè)計(jì)意圖：通過教師簡單地引導(dǎo)，讓學(xué)生不由自主地去思考，去改編題目，充分彰顯學(xué)生的主體地位，達(dá)到“少教多學(xué)”的目的.經(jīng)過不斷出現(xiàn)矛盾和解決矛盾的探究過程，學(xué)生的函數(shù)代換思想，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，在無形中得到了發(fā)展.

3．課堂小結(jié)

通過情境發(fā)現(xiàn)兩個(gè)研究對(duì)象√ab與（a+b）/2，再從特殊到一般，猜想并證明（比較法、分析法、綜合法、平方法）結(jié)論：如果a，b是正數(shù)，那么√ab≤（a+b）/2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）.

對(duì)不等式的賞析，不僅發(fā)現(xiàn)了基本不等式的幾何意義，還感受到它廣泛的應(yīng)用性，即通過對(duì)a，b的代換總結(jié)出用基本不等式求函數(shù)最值需滿足的條件：一正、二定、三相等.

4．課后思考

基本不等式能否推廣到nn≥3，n∈N*個(gè)非負(fù)數(shù)的情形？

三、教學(xué)反思

1．基本不等式的發(fā)現(xiàn)

為了充分貫徹“少教多學(xué)”的教學(xué)理念，筆者基于教材適當(dāng)改變情境，并用兩個(gè)問題自然地讓學(xué)生自己找到兩個(gè)研究對(duì)象√ab與（a+b）/2，主動(dòng)探究兩個(gè)量的大小關(guān)系，得到這節(jié)課的研究重點(diǎn).將學(xué)生的學(xué)習(xí)變成自覺的行為，引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由“他我教育”向“自我教育”轉(zhuǎn)變.再利用學(xué)生已有的認(rèn)知和學(xué)情，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生猜想并用四種方法證明不等式成立.

2．基本不等式的賞析

“少教多學(xué)”的課堂應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為本，這就要求教師運(yùn)用簡潔的語言啟發(fā)學(xué)生探索出知識(shí)間的緊密聯(lián)系.比如學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，教師由此引出算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)生稍加思索便能得到不等式的幾何意義，感受到不等式中物理、代數(shù)、幾何知識(shí)的聯(lián)系.再將關(guān)注點(diǎn)指向代數(shù)式a，b，帶領(lǐng)學(xué)生得出a，b范圍可包含等于零，進(jìn)而判斷出a，b可用無數(shù)代數(shù)式替換，深刻理解“基本”的含義.整個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)充分感受到公式之簡潔，數(shù)學(xué)之優(yōu)美.

3．基本不等式的應(yīng)用

傳統(tǒng)課堂總是習(xí)慣于在知識(shí)點(diǎn)講解完后，直接拋出例題.這樣很容易忽略學(xué)生思維發(fā)展的連貫性，不利于思維能力的培養(yǎng).此處筆者選擇承上啟下，將重點(diǎn)放在研究a，b的代換.先由學(xué)生舉例用a，b的絕對(duì)值或平方形式替換，教師舉例用互為倒數(shù)的分式替換，幫助學(xué)生打開思路，再進(jìn)一步用變量x替換，引出求函數(shù)最值問題.接著讓學(xué)生去改編題目并自行解決，完全將課堂歸還給學(xué)生，達(dá)到教師不教，學(xué)生愛學(xué)的層次.學(xué)生也在探索未知的領(lǐng)域中，體會(huì)到學(xué)習(xí)的迷茫與困惑，體會(huì)到解決問題帶來的數(shù)學(xué)之趣.

參考文獻(xiàn)

［1］龔曉琳.“教師少教，學(xué)生多學(xué)”何以有效［J］.教育視界，2021（16）：68-70.