“補(bǔ)”教材之“白”　促數(shù)學(xué)理解

張志剛

一、問題提出

教學(xué)中教師首先要吃透教材，并對教材做適當(dāng)“補(bǔ)白”，即對教材中省略的過程或單一的學(xué)材進(jìn)行調(diào)整和補(bǔ)充，這是教師根據(jù)教學(xué)需要進(jìn)行二次加工，使之更契合學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的過程，也是教師教學(xué)中常態(tài)化的工作之一.下面舉例說明.

《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修第二冊·A版》（人民教育出版社2020年5月第1版）（下文簡稱“教材”）第87頁有如下例題：求函數(shù)f（x）=13x3－12x2－2x+1的單調(diào)區(qū)間.

本例旨在以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例，介紹用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.而通過必修課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道單調(diào)性的定義是求解函數(shù)單調(diào)性問題的基本方法，本題能用單調(diào)性的定義思考函數(shù)單調(diào)區(qū)間嗎？教材也在第88頁“邊空”提出問題：“如果不用導(dǎo)數(shù)的方法，直接運(yùn)用單調(diào)性的定義，你如何求解本題？運(yùn)算過程麻煩嗎？你有什么體會？”

顯然，“邊空”提出的問題并不“邊緣”，它貼合學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)，有利于深化對數(shù)學(xué)知識的整體架構(gòu)的認(rèn)識.在教學(xué)實(shí)踐中，教師一般也會讓學(xué)生嘗試從單調(diào)性的定義討論，在得出f（x1）-f（x2）=16（x1－x2）（2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12）后，很難發(fā)現(xiàn)在哪些區(qū)間內(nèi)正負(fù)性保持不變，嘗試到此為止，絕大部分教師會“啟發(fā)”學(xué)生改用導(dǎo)數(shù)“利器”求解，以此突顯導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的重要性和優(yōu)越性.在筆者看來，如此粗枝大葉、蜻蜓點(diǎn)水、淺嘗輒止的“努力”，容易讓學(xué)生質(zhì)疑單調(diào)性的定義的有效性：單調(diào)性的定義在討論三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)“失效”了嗎？是“使用不當(dāng)”、“不會使用”還是真正“不能使用”？換言之，討論三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性只能用導(dǎo)數(shù)嗎？若事實(shí)如此，對于高中階段并不學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識的上海地區(qū)學(xué)生而言，又用什么工具討論三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性呢？可見，上述教學(xué)過程看似行云流水，順理成章、快捷高效，實(shí)則隱患較多，對誤導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的損失則是無法挽回的.下面針對以上疑問展開研究，予以澄明.

二、問題探究

是什么導(dǎo)致我們的解題半途而廢、無疾而終呢？由于f（x1）－f（x2）=16（x1－x2）（2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12），所以問題的關(guān)鍵在于判定2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12的符號，即在哪些區(qū)間內(nèi)2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0和2x12+2x1x2+2x22-3x1－3x2－12>0，本質(zhì)上是雙元等式的證明問題.證明雙元不等式的核心思想是消元，即將雙元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式去解決.具體消元方法有商式換元、差式減元、韋達(dá)消參、主副元減元等.采用何種策略要視具體題設(shè)條件而定，不可一概而論.由于2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12呈現(xiàn)二元二次多項(xiàng)式形式，我們可考慮主副元減元法，其基本原理是：在雙元函數(shù)不等式中，將其中一個(gè)變量作為主元，另外一個(gè)變量作為副元（參數(shù)），從而構(gòu)造一元函數(shù)來證明，達(dá)到減元的目的.

例1 利用單調(diào)性的定義證明f（x）=13x3－12x2－2x+1在－1，2上單調(diào)遞減.

證明：設(shè)－10，即有f（x1）>f（x2），所以f（x）在（－1，2）上單調(diào)遞減.

以上將變量x1作為主元，另外一個(gè)變量x2作為副元（即參數(shù)），構(gòu)造了二次函數(shù)h（x）=2x2+（2x2-3）x+2x22-3x2-12，從而確定h（x1）<0，即2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0，進(jìn)而說明了f（x）在（－1，2）上單調(diào)遞減.簡而言之，通過確立主副元構(gòu)造函數(shù)后，發(fā)揮二次函數(shù)圖象已知、數(shù)值可算的優(yōu)勢，確定代數(shù)式的符號.類似的，我們可討論函數(shù)的增區(qū)間.

基于學(xué)生已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)，除了以上的解法，我們還可以考慮配方策略.配方是一種以“出現(xiàn)平方式”為思維指向的恒等變形，因而，配方法既具有一般恒等變形的功能，又具有“平方式”，從而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生非負(fù)數(shù)的特殊功能.至于配方法的更多作用，如配方消去一次項(xiàng)、配方分離分母等，都可以分解成這兩個(gè)基本功能的組合與派生.下面舉例說明.

例2 利用單調(diào)性的定義證明f（x）=x3－3x2+6x+2在R上單調(diào)遞增.

證法1：設(shè)x1

證法2：設(shè)x1

兩種證明都是配方法應(yīng)用的典范，證法1中把變量x1作為主元，變量x2作為副元，把x12+x1x2+x22-3x1-3x2+6變形為x12+x2-3x1+x22-3x2+6，通過配方得x1+x2－322+34x22-32x2+154，再次配方構(gòu)造平方式得x1+x2－322+34（x2－1）2+3，由實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性得證.證法2將x1+x2視為一個(gè)整體，經(jīng)系數(shù)配湊、配方后把2x12+2x1x2+2x22-6x1-6x2+12變形為（x1+x2-3）2+x12+x22+3，問題得證.兩種證明都需要較強(qiáng)的觀察能力和代數(shù)變形能力.

從中我們也可以發(fā)現(xiàn)，配方途徑有多向性.同一個(gè)式子可以有不同的配方結(jié)果，可以配成一個(gè)平方式，也可以配成多個(gè)平方式.在基本配方形式中，a2+ab+b2=（a+b）2－ab=（a－b）2+3ab=

a+b22+3b22=a+b22+a－b22+ab=a22+b22+a+b22=3a22+3b223b22－a－b22=…，下面再看它的一個(gè)簡單應(yīng)用.

例3 （1991年高考全國卷理科第24題）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是減函數(shù).

證明：設(shè)x1

x1+x222+3x222>0，所以f（x1）>f（x2），即函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上是減函數(shù).

三、結(jié)論

通過以上案例的分析可知，對于三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)不是唯一的解決之道，我們完全可以利用單調(diào)性的定義探求嗎，具體解答時(shí)充分考慮配方法、二次函數(shù)、主副元法等的應(yīng)用，而不需要特別高深的知識與技巧.筆者建議，把本問題以研究型活動的形式與學(xué)生一同探討，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的定義法判定單調(diào)性的思維過程，之后再與導(dǎo)數(shù)方法比較，才能更深刻的感受到導(dǎo)數(shù)工具的便捷性.同時(shí)通過探究活動，正本清源，澄清一些錯(cuò)誤認(rèn)識，也為學(xué)生提供一次訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的大好機(jī)會.事實(shí)上，自從導(dǎo)數(shù)的概念和方法進(jìn)入高中教材后，導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值、最值以及證明不等式方面發(fā)揮出勢如破竹般的巨大作用（相對傳統(tǒng)方法而言），顯示出獨(dú)有的魅力，用導(dǎo)數(shù)方法解決問題漸成“時(shí)尚”.但是，細(xì)究起來，用導(dǎo)數(shù)方法解決問題要求函數(shù)連續(xù)和可導(dǎo)，條件還是很苛刻的.幸好現(xiàn)在處理的函數(shù)大多數(shù)滿足這一條件.當(dāng)函數(shù)不滿足這些條件時(shí)，導(dǎo)數(shù)方法豈不是“英雄無用武之地”了？

數(shù)學(xué)的活力在于最大限度地發(fā)揮想象力、創(chuàng)造力，不斷引進(jìn)新觀念和新方法，不斷激發(fā)人們的觀察、比較、實(shí)驗(yàn)和歸納的能力，通過持續(xù)精益求精，臻于嚴(yán)格化，致力于普適性，這種數(shù)學(xué)學(xué)科上的訴求對教學(xué)提出了更高的要求.在常規(guī)課堂教學(xué)中，若能以核心素養(yǎng)的知識創(chuàng)新水平為目標(biāo)，將會極大程度地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，以數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量教育學(xué)生.