基于梁函數(shù)-Ritz法的圓柱殼模態(tài)特性分析

徐港輝，祝長生

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

圓柱殼作為常見的結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于機(jī)電、航空航天、船舶艦艇等工程領(lǐng)域.開展圓柱殼的模態(tài)特性分析是圓柱殼結(jié)構(gòu)減振降噪的基礎(chǔ)，具有重要的理論價(jià)值和工程意義.由于殼體振動(dòng)的復(fù)雜性，研究者在不同簡化程度的假設(shè)下得出多種薄殼理論[1-2].劉彥琦等[3]基于Love理論和Galerkin法分析旋轉(zhuǎn)圓柱殼的模態(tài)特性.Qu等[4]基于Reissner理論與區(qū)域分解法研究圓柱殼的模態(tài)特性和響應(yīng)特性.Qin等[5]基于Sanders理論對(duì)比3種常見的圓柱殼軸向振型容許函數(shù)在圓柱殼模態(tài)特性分析中的計(jì)算精度和效率.Dong等[6]基于Donnell理論討論面內(nèi)慣性力對(duì)圓柱殼模態(tài)特性的影響.盡管Leissa等[1-2,7]對(duì)比研究了不同薄殼理論，但是包含不同薄殼理論的統(tǒng)一方法匱乏，導(dǎo)致基于不同薄殼理論的研究結(jié)果之間難以比較.

圓柱殼軸向振型函數(shù)的精確解含有8個(gè)與邊界條件相關(guān)的待定系數(shù)[2]，導(dǎo)致圓柱殼模態(tài)特性的精確解析解只在極少數(shù)邊界條件下(如兩端簡支)可以求得.因此，基于各種容許函數(shù)的圓柱殼模態(tài)特性近似解法受到廣泛關(guān)注.常用的圓柱殼軸向振型容許函數(shù)主要有梁函數(shù)[3,6-10]、改進(jìn)的Fourier級(jí)數(shù)[11-13]、特征正交多項(xiàng)式[14-15]、Chebyshev多項(xiàng)式[4,16-17]及Jacobi多項(xiàng)式[18]等.在這些容許函數(shù)中，梁函數(shù)屬于特殊的一類.由于圓柱殼軸向振型與相同邊界條件下梁的彎曲振型較為接近，梁彎曲振型函數(shù)(即梁函數(shù))的精確解相對(duì)簡單，采用梁函數(shù)作為圓柱殼軸向振型容許函數(shù)具備可行性[1-2].現(xiàn)有研究在采用梁函數(shù)開展圓柱殼模態(tài)特性分析時(shí)，普遍采用單項(xiàng)梁函數(shù)直接作為圓柱殼軸向振型函數(shù)的方式(本質(zhì)上與Rayleigh法等價(jià)[19])，實(shí)際上圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型之間不完全相同，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的精度有待提升[6,8-9].基于Rayleigh法改進(jìn)的Ritz法將若干項(xiàng)相互獨(dú)立的基函數(shù)的線性組合用于構(gòu)造振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)振型的容許函數(shù)，能夠有效提升Rayleigh法的計(jì)算精度[19].在圓柱殼模態(tài)特性分析現(xiàn)有文獻(xiàn)中，對(duì)梁函數(shù)-Ritz法的相關(guān)研究還較少，梁函數(shù)-Ritz法的收斂性和有效性有待進(jìn)一步分析.Dong等[6]采用單項(xiàng)梁函數(shù)法分析不同邊界條件下圓柱殼的模態(tài)特性，得出梁函數(shù)不適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件的結(jié)論，這與劉彥琦等[3,7-10]的研究結(jié)論存在分歧.

本研究1）以各向同性薄圓柱殼為對(duì)象，將梁函數(shù)與Ritz法結(jié)合，采用有限項(xiàng)不同階次梁函數(shù)的線性組合作為圓柱殼軸向振型容許函數(shù)，通過Ritz法推導(dǎo)不同薄殼理論下圓柱殼模態(tài)特性分析的統(tǒng)一方法.2）驗(yàn)證不同薄殼理論下梁函數(shù)-Ritz法的收斂性與有效性，澄清現(xiàn)有文獻(xiàn)中存在的分歧.3）開展參數(shù)化分析，研究不同邊界條件下長徑比與厚徑比對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率及理論計(jì)算精度的影響規(guī)律，總結(jié)不同薄殼理論的適用范圍.

1 統(tǒng)一方法推導(dǎo)

1.1 結(jié)構(gòu)示意圖

如圖1所示為各向同性薄圓柱殼示意圖.圓柱殼的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)包括中性面半徑r、厚度h及軸向長度l.圖中xθz為建立在圓柱殼端面中性線上的柱坐標(biāo)系.圓柱殼中性面上某一點(diǎn)P處沿軸向x、切向θ及徑向z方向上的位移分別用u、v及w表示.u、v及w既是空間坐標(biāo)(x, θ)的函數(shù)，也是時(shí)間坐標(biāo)t的函數(shù).

圖1 各向同性薄圓柱殼示意圖Fig.1 Schematic diagram of isotropic thin cylindrical shell

1.2 圓柱殼的動(dòng)能與勢能

根據(jù)板殼理論[1-2]，將各向同性薄圓柱殼對(duì)應(yīng)的動(dòng)能Ek和勢能Ep表示為

式中：及分別為位移u、v及w對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；ρ為殼體的密度；σ和ε分別為正應(yīng)力和正應(yīng)變，τ和γ分別為切應(yīng)力和切應(yīng)變.根據(jù)Kirchhoff-Love假設(shè)及Hooke定律，各向同性薄圓柱殼的應(yīng)力與應(yīng)變滿足關(guān)系[5]：

式中：Q11=Q22=E/(1-μ2)，Q12=Q21=μQ11，Q66=E/(2+2μ)；E和μ分別為殼體的彈性模量和泊松比.不同類型的薄殼理論對(duì)于殼體應(yīng)變與中性面位移u、v及w的關(guān)系的描述不同，其中Donnell理論是最簡單的薄殼理論，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變-中性面位移表達(dá)式[6-7]為

常用的薄殼理論還包括Reissner[1-2,4]、Sanders[5,8,16]及Love[3,9-10,13]理論等，它們與Donnell理論之間的對(duì)比如表1所示.相比上述4種理論，F(xiàn)lugge理論中εθ和γxθ的表達(dá)式更復(fù)雜，且勢能公式也與式(2)不同，詳見文獻(xiàn)[18].根據(jù)式(2)～(4)及表1，可以將不同薄殼理論下圓柱殼的勢能Ep表示為位移u、v及w的函數(shù).

表1 常用薄殼理論對(duì)比Tab.1 Comparison of common thin shell theories

1.3 位移函數(shù)構(gòu)造

圓柱殼沿周向具有周期性特征，其周向階次n＞0的各階模態(tài)均由正弦分量(反對(duì)稱模態(tài))和余弦分量(對(duì)稱模態(tài))組成，當(dāng)周向階次n=0時(shí)，正、余弦分量合二為一[20].現(xiàn)有研究在構(gòu)造圓柱殼模態(tài)位移函數(shù)時(shí)，通常沒有考慮n=0時(shí)的情況[5]，對(duì)此本研究將做進(jìn)一步完善.當(dāng)周向階次n＞0時(shí)，圓柱殼各階模態(tài)的正、余弦分量對(duì)應(yīng)的模態(tài)特性相似[20].為了簡便，以余弦模態(tài)分量為例進(jìn)行分析.不失一般性，引入無量綱變換?=x/l，此時(shí)圓柱殼某一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的位移函數(shù)表示為

式中：m和n分別為圓柱殼模態(tài)的軸向階次和周向階次；ω為模態(tài)角頻率，φ為模態(tài)位移的初始相位.無量綱參數(shù)?表示相對(duì)軸向位置，Um(?)、Vm(?)和Wm(?)為圓柱殼的軸向振型函數(shù).當(dāng)周向階次n=0時(shí)，圓柱殼的模態(tài)振型沿周向不存在波動(dòng)變化(即與θ坐標(biāo)無關(guān))，此時(shí)圓柱殼各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的位移函數(shù)表示為

由于圓柱殼軸向振型函數(shù)Um(?)、Vm(?)和Wm(?)的精確表達(dá)式十分復(fù)雜，通常采用滿足邊界條件的容許函數(shù)進(jìn)行近似.梁函數(shù)是常用的容許函數(shù)，具有物理意義明確、形式相對(duì)簡單的優(yōu)點(diǎn).現(xiàn)有研究在采用梁函數(shù)作為圓柱殼軸向振型容許函數(shù)時(shí)，通常采取單項(xiàng)梁函數(shù)的方式，計(jì)算精度較低[6,8-9].本研究將梁函數(shù)作為Ritz基函數(shù)[19]，采用有限項(xiàng)不同階次梁函數(shù)的線性組合作為圓柱殼軸向振型容許函數(shù)，此時(shí)有

式中：Xi(?)為與圓柱殼邊界條件相同的梁的第i階彎曲振型函數(shù)(梁函數(shù))；I為所用梁函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，X(?)為梁函數(shù)組成的1×I維向量，當(dāng)I=1時(shí)，X(?)退化為單項(xiàng)梁函數(shù).ai、bi和ci為待定系數(shù)，a、b和c為待定系數(shù)組成的I×1維待定向量.以兩端固支邊界條件為例，梁的第i階彎曲振型函數(shù)為

式中：λi為對(duì)應(yīng)的頻率方程cosλmcoshλm=1的解，σi=(coshλi-cosλi)/(sinhλi-sinλi).各種典型邊界條件下的梁函數(shù)Xi(?)、λi、σi見文獻(xiàn)[2]附錄I.彈性邊界條件下的梁函數(shù)Xi(?)、λi、σi較為復(fù)雜[21-22]，導(dǎo)致后續(xù)積分等運(yùn)算過程即使借助數(shù)值計(jì)算也不易實(shí)現(xiàn)，本研究暫不討論.

1.4 基于Ritz法的圓柱殼模態(tài)特性分析

Ritz法的基本思想是在采用Ritz基函數(shù)構(gòu)造模態(tài)振型的基礎(chǔ)上，通過求取振動(dòng)系統(tǒng)Rayleigh商的駐值解來獲得系統(tǒng)的模態(tài)頻率和模態(tài)振型[19].為了定義圓柱殼的Rayleigh商，將式(5)、式(6)分別代入式(1)、(2)，結(jié)合式(3)、(4)及表1得到不同薄殼理論下圓柱殼動(dòng)能與勢能的最大值.為了使公式簡潔，以下將圓柱殼的軸向振型函數(shù)Um(?)、Vm(?)和Wm(?)簡寫為U、V和W.

1) 當(dāng)周向階次n＞0時(shí)，有

對(duì)于Donnell薄殼理論，Q1=n4W2，Q2=n2WW′′，Q3=4n2W′2.對(duì)于Reissner、Sanders和Love薄殼理論，Q1=n4W2+n2V2+2n3VW；Q2=n2WW′′+nVW′′；

Reissner薄殼理論Q3=4n2W′2+V′2+4nV′W′；Sanders薄殼理論Q3=4n2W′2+9V′2/4+6nV′W′+QS；Love薄殼理論Q3=4n2W′2+4V′2+8nV′W′；其中QS=2n2lUW′/r+n2l2U2/(4r2)+3nlUV′/(2r).

2) 當(dāng)周向階次n=0時(shí)，有

對(duì)于Donnell、Reissner、Sanders和Love薄殼理論，Q4分別取0、1/12、3/16和1/3.式(10)、(12)為不同薄殼理論下圓柱殼勢能泛函的統(tǒng)一形式，驗(yàn)證了不同薄殼理論之間的差距在h2/r2量級(jí)[1-2].

基于Flugge理論也可得到類似式(9)～(12)的結(jié)果，并且式(9)～(12)也適用于文獻(xiàn)[5]中的3種類型容許函數(shù).本研究采用式(7)所示的梁函數(shù)組合作為圓柱殼軸向振型的容許函數(shù).將式(7)代入式(9)～(12)，記q=[aT，bT，cT]T，將圓柱殼動(dòng)能與勢能的最大值整理為矩陣形式：

可以驗(yàn)證：M0=Mn|n=0，K0=Kn|n=0.忽略圓柱殼的阻尼，沒有外界激勵(lì)時(shí)，圓柱殼體的機(jī)械能守恒，則圓柱殼的最大動(dòng)能與最大勢能應(yīng)相等.令=，根據(jù)式(13)、(14)定義圓柱殼的Rayleigh商[19]為

可以看出，R隨待定向量q變化而變化.當(dāng)R取駐值時(shí)，對(duì)應(yīng)的ω即為圓柱殼模態(tài)角頻率的近似值；將對(duì)應(yīng)的向量q代回式(7)，即可得到圓柱殼模態(tài)振型的近似值[19].由R取駐值的條件?R/?q=0，得到

模態(tài)頻率f與模態(tài)角頻率ω之間滿足f=ω/(2π)，由此圓柱殼的模態(tài)頻率和模態(tài)振型求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿缡?16)所示的矩陣特征值問題.

2 收斂性分析

根據(jù)理論推導(dǎo)可知，模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果與表1中所選的薄殼理論以及式(7)中梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)I的取值密切相關(guān).算例圓柱殼參數(shù)取自文獻(xiàn)[16]：中性面半徑r=0.1 m，長度l=0.2 m，厚度h=0.247×10-3m，密度ρ=2 796 kg/m3，彈性模量E=71.02×109N/m2，泊松比μ=0.31.兩端固支(C-C)、固支-自由(C-F)及兩端簡支(S-S)邊界條件下，采用表1中4種薄殼理論計(jì)算所得的圓柱殼第(1,7)階模態(tài)頻率f(1,7)隨梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)I的變化曲線如圖2所示.可以看出，在C-C和C-F邊界條件下，隨著項(xiàng)數(shù)I的增加，基于各種薄殼理論的模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果均逐漸降低并且在項(xiàng)數(shù)I為30左右時(shí)逐漸收斂.在S-S邊界條件下，I對(duì)模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果的影響很小，基于各種薄殼理論的計(jì)算結(jié)果在I=1時(shí)即達(dá)到收斂.進(jìn)一步對(duì)比基于各種薄殼理論的模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果可以看出，各種邊界條件下基于Reissner、Sanders及Love薄殼理論的計(jì)算結(jié)果基本相同；基于Donnell薄殼理論的模態(tài)頻率相對(duì)較大，與基于其他3種薄殼的計(jì)算結(jié)果存在明顯的差距，這是Donnell薄殼理論簡化程度最大導(dǎo)致的.

圖2 圓柱殼模態(tài)頻率的理論計(jì)算值隨項(xiàng)數(shù)的變化關(guān)系Fig.2 Relationship of theoretical calculated modal frequencies for cylindrical shell with item number

為了定量對(duì)比不同邊界條件下基于不同薄殼理論的模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果的收斂性，在圖2的基礎(chǔ)上，各種邊界條件下不同薄殼理論時(shí)均取I=50時(shí)的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，得到項(xiàng)數(shù)為1～50時(shí)基于不同薄殼理論的計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差Δ，如圖3所示.可以看出，相同邊界條件下基于不同薄殼理論的計(jì)算結(jié)果的收斂速度差別很小.在3種邊界條件中，C-C與S-S理論計(jì)算的收斂速度分別為最慢與最快.當(dāng)I=1時(shí)，C-C理論計(jì)算的相對(duì)誤差最大，約為4.8%；當(dāng)I=5時(shí)，Δ=1.8%，其他邊界條件對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差則更小，表明在3種邊界條件下基于不同薄殼理論的計(jì)算中，采用少數(shù)項(xiàng)梁函數(shù)就能實(shí)現(xiàn)較好的收斂.還可以看出，當(dāng)I＞30，3種邊界條件下理論計(jì)算的相對(duì)誤差已經(jīng)小于0.1%，此后計(jì)算結(jié)果的收斂速度逐漸降低，繼續(xù)增加梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果影響較小.綜合考慮梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)理論計(jì)算收斂誤差與收斂速度的影響，在沒有特殊說明的情況下，本研究后續(xù)理論計(jì)算將項(xiàng)數(shù)選定為50.

圖3 不同邊界條件下不同項(xiàng)數(shù)理論計(jì)算的相對(duì)誤差Fig.3 Relative errors of theoretical calculations with different item number under different boundary conditions

3 有效性驗(yàn)證

3.1 與單項(xiàng)梁函數(shù)法的對(duì)比

Dong等[6]基于Donnell薄殼理論，采用單項(xiàng)梁函數(shù)作為圓柱殼軸向振型容許函數(shù)，計(jì)算了不同邊界條件下圓柱殼的模態(tài)頻率(m=1)，得出梁函數(shù)不適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件的結(jié)論.Dong等[6]采用的圓柱殼參數(shù)與本研究的相同，基于該參數(shù)和Donnell薄殼理論，通過梁函數(shù)-Ritz法得到不同邊界條件下圓柱殼的模態(tài)頻率，并與Dong等[6]的理論結(jié)果及本研究有限元法(finite element method, FEM)的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2所示.表中，n為模態(tài)的周向階次，fC-C、fC-F和fS-S分別為兩端固支、固支-自由和兩端簡支邊界條件下圓柱殼的模態(tài)頻率.有限元法基于有限元軟件Ansys實(shí)現(xiàn).其中網(wǎng)格劃分采用Solid186實(shí)體單元，該單元對(duì)應(yīng)的殼體理論為三維彈性理論，比各種薄殼理論更準(zhǔn)確，因此有限元法結(jié)果可以作為理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比依據(jù).可以看出，當(dāng)I=1時(shí)，本研究模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果不僅與文獻(xiàn)[6]的幾乎相同，且與有限元法結(jié)果的一致性較好，由此驗(yàn)證了本研究理論推導(dǎo)和計(jì)算結(jié)果的正確性.觀察fC-F，當(dāng)I=1時(shí)，本研究模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果的差距未超過合理范圍，但與文獻(xiàn)[6]的諸多數(shù)據(jù)差距非常大，表明文獻(xiàn)[6]的數(shù)據(jù)可能存在問題.這些問題不是采用梁函數(shù)作為容許函數(shù)導(dǎo)致的，因此Dong等[6]得出的梁函數(shù)不適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件的結(jié)論不合理.當(dāng)I=50時(shí)，以有限元法結(jié)果為基準(zhǔn)觀察fC-C、fC-F可以看出，本研究模態(tài)頻率的計(jì)算精度相比I=1時(shí)具有明顯提升，進(jìn)一步驗(yàn)證了本研究數(shù)據(jù)的合理性，也驗(yàn)證了梁函數(shù)-Ritz法的有效性.觀察fS-S可以看出，I=50時(shí)的結(jié)果與I=1時(shí)的完全相同，這與第2節(jié)所示的收斂性規(guī)律一致.

表2 3種邊界條件下的圓柱殼模態(tài)頻率對(duì)比(梁函數(shù))Tab.2 Comparison of modal frequencies for cylindrical shell at three boundary conditions (with beam functions)

3.2 與不同類型容許函數(shù)方法的對(duì)比

Qin等[5]基于Sanders薄殼理論，采用改進(jìn)的Fourier級(jí)數(shù)(MF)、特征正交多項(xiàng)式(OP)和Chebyshev多項(xiàng)式(CP)作為圓柱殼軸向振型容許函數(shù)，驗(yàn)證3種容許函數(shù)在圓柱殼模態(tài)頻率計(jì)算方面均具有較高的精度.文獻(xiàn)[5]算例中采用的圓柱殼參數(shù)與本研究的相同，并且將3種容許函數(shù)的項(xiàng)數(shù)統(tǒng)一設(shè)為25.為了進(jìn)一步驗(yàn)證本研究所提方法的有效性，基于該圓柱殼參數(shù)和Sanders薄殼理論，令梁函數(shù)項(xiàng)數(shù)為25，通過梁函數(shù)-Ritz法計(jì)算不同邊界條件下圓柱殼的模態(tài)頻率，并與文獻(xiàn)[5]的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3、4所示.可以看出，本研究模態(tài)頻率的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]采用3種類型容許函數(shù)得到的結(jié)果具有較好的一致性，進(jìn)一步驗(yàn)證了本研究所提方法的有效性.將表2分別與表3、4對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于有限元法的結(jié)果，采用Sanders薄殼理論得到的計(jì)算結(jié)果(I=25)比采用Donnell薄殼理論時(shí)的(I=50)精度更高，驗(yàn)證了Donnell薄殼理論的計(jì)算誤差較大，這與圖2所示的規(guī)律相符.

表3 兩端固支圓柱殼模態(tài)頻率對(duì)比(不同類型容許函數(shù))Tab.3 Comparison of modal frequencies for cylindrical shell clamped at both ends (with different types of admissible functions)

表4 兩端簡支圓柱殼模態(tài)頻率對(duì)比(不同類型容許函數(shù))Tab.4 Comparison of modal frequencies for cylindrical shell simply supported at both ends (with different types of admissible functions)

3.3 圓柱殼與梁的模態(tài)振型對(duì)比

相同邊界條件下圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型相近，兩者的具體差別在現(xiàn)有研究中涉及較少.本研究采用Sanders薄殼理論得到不同邊界條件下圓柱殼前4階軸向振型(取I=50)，并將結(jié)果與梁彎曲振型(取I=1)以及有限元法得到的殼體軸向振型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示.可以看出，在兩端固支(C-C)和固支-自由(C-F)邊界條件下，圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型具有相似的波動(dòng)特征，但兩者的波峰、波谷以及節(jié)點(diǎn)的相對(duì)軸向位置并不完全相同，這也是采用單項(xiàng)梁函數(shù)法計(jì)算非兩端簡支圓柱殼模態(tài)特性時(shí)存在誤差的原因.兩端簡支(S-S)邊界條件下的圓柱殼軸向振型與梁彎曲振型完全重合.實(shí)際上，兩端簡支圓柱殼體軸向振型函數(shù)的8個(gè)待定系數(shù)中只有1個(gè)待定系數(shù)不等于零，其化簡結(jié)果與兩端簡支梁的振型函數(shù)完全相同[2]，圖4(c)與此相符，一方面驗(yàn)證了本研究所提方法的有效性，另一方面也解釋了圖2(c)與表2中fS-S在I=1時(shí)就達(dá)到收斂狀態(tài)的原因.圖4中有限元法結(jié)果也驗(yàn)證了理論計(jì)算和分析的正確性.

圖4 圓柱殼軸向振型(I=50, FEM)與梁彎曲振型(I=1)對(duì)比Fig.4 Comparation of axial modal shapes for cylindrical shells(I=50, FEM) and bending modal shapes for beams (I=1)

4 參數(shù)影響分析

長徑比與厚徑比是圓柱殼的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，令圓柱殼的長徑比l/r分別為1、2、3、4、5，令厚徑比h/r分別為0.05、0.10、0.15、0.20，參數(shù)影響分析中的厚徑比遠(yuǎn)大于收斂性分析中的厚徑比(約為0.002 5).經(jīng)過驗(yàn)證，此時(shí)各長徑比與厚徑比下圓柱殼低階模態(tài)頻率主要分布在m=1，n=2～4階次附近，因此選取殼體第(1,4)階模態(tài)頻率為例進(jìn)行研究.

由于長徑比與厚徑比對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率的大小有影響，對(duì)理論計(jì)算的精度也有影響.經(jīng)過驗(yàn)證，基于表1中不同薄殼理論的模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果的變化規(guī)律相一致，只是在幅值上存在差異.如圖5所示為有限元法結(jié)果，可以看出，3種邊界條件下長徑比的減小或者厚徑比的增大均可以使圓柱殼模態(tài)頻率f增大，但是殼體模態(tài)頻率對(duì)長徑比與厚徑比變化的敏感程度存在差異.當(dāng)厚徑比為0.05～0.20時(shí)，殼體模態(tài)頻率對(duì)厚徑比的變化始終較為敏感；當(dāng)長徑比小于2時(shí)，圓柱殼模態(tài)頻率對(duì)長徑比的變化比較敏感，但當(dāng)長徑比大于2時(shí)，圓柱殼模態(tài)頻率隨長徑比變化而變化的趨勢明顯放緩.如圖5(b)所示，在固支-自由邊界條件下，當(dāng)長徑比大于2時(shí)，圓柱殼第(1,4)階模態(tài)頻率基本上不隨長徑比的變化而產(chǎn)生變化.因此，在設(shè)計(jì)或加工圓柱殼結(jié)構(gòu)過程中，有必要對(duì)圓柱殼的厚度尺寸予以特別關(guān)注.圖5中有限元法也采用Solid186實(shí)體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，該單元對(duì)應(yīng)的殼體理論為三維彈性理論，因此對(duì)應(yīng)的結(jié)果可以作為理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比依據(jù).

圖5 不同長徑比與厚徑比時(shí)圓柱殼模態(tài)頻率的分布Fig.5 Modal frequencies distribution of cylindrical shells with different length-to-radius and thickness-to-radius ratios

以圖5為基準(zhǔn)，得到3種邊界條件下不同長徑比與不同厚徑比時(shí)基于不同薄殼理論的模態(tài)頻率計(jì)算誤差δ的分布，如圖6所示.可以看出，在不同邊界條件、不同長徑比以及不同厚徑比下，基于Donnell理論的模態(tài)頻率計(jì)算誤差始終明顯高于基于其他3種薄殼理論的，其中Love理論的計(jì)算精度最高，Reissner和Sanders理論與Love理論的計(jì)算精度相接近.各薄殼理論的計(jì)算精度與長徑比和厚徑比均有關(guān)系，相對(duì)長徑比的變化，各薄殼理論的計(jì)算精度對(duì)厚徑比的變化更為敏感.當(dāng)厚徑比增大時(shí)，各薄殼理論的計(jì)算誤差始終明顯增大.當(dāng)長徑比增大時(shí)，雖然大部分情況下各薄殼理論的計(jì)算誤差均有所減小，但是當(dāng)l/r≥2時(shí)，這種影響變得并不顯著.通過進(jìn)一步的定量分析可知，當(dāng)h/r≤0.1時(shí)，各種情況下基于Donnell理論的模態(tài)頻率計(jì)算誤差均未超過11%，基于其他3種理論的模態(tài)頻率計(jì)算誤差均小于8%，因此表1中的4種薄殼理論基本均能滿足工程應(yīng)用需求.當(dāng)0.1＜h/r≤0.15時(shí)，基于Donnell理論的計(jì)算誤差波動(dòng)范圍較大(7.3%～18.6%)，基于其他3種理論的計(jì)算誤差在l/r≥2時(shí)均不超過8%，因而此時(shí)這3種理論適用于l/r≥2的圓柱殼振動(dòng)分析.當(dāng)厚徑比繼續(xù)增大到0.2時(shí)，各種長徑比下基于Donnell理論的模態(tài)頻率計(jì)算誤差均大于16.9%，難以滿足工程應(yīng)用需求，基于其他3種理論的計(jì)算誤差在l/r≥3時(shí)仍小于10.5%，因此這3種理論仍然能夠滿足工程應(yīng)用需求.綜上所述，Donnell理論主要適用于h/r≤0.1的圓柱殼振動(dòng)分析，Reissner、Sanders和Love理論不僅適用于h/r≤0.1的圓柱殼振動(dòng)分析，還可以有條件地應(yīng)用于0.1＜h/r≤0.2的圓柱殼振動(dòng)分析.

圖6 不同長徑比與厚徑比時(shí)理論計(jì)算結(jié)果的誤差分布Fig.6 Error distribution of theoretical calculation results for different length-to-radius and thickness-to-radius ratios

5 結(jié) 論

（1）將梁函數(shù)與Ritz法相結(jié)合，采用有限項(xiàng)不同階次梁函數(shù)的線性組合作為圓柱殼軸向振型的容許函數(shù)，建立包含不同薄殼理論的圓柱殼模態(tài)特性分析統(tǒng)一方法，厘清了不同薄殼理論之間的關(guān)聯(lián)，為基于不同薄殼理論分析結(jié)果的對(duì)比提供了理論支持.

（2）梁函數(shù)適用于模擬圓柱殼固支或自由邊界條件，文獻(xiàn)[6]結(jié)論中關(guān)于梁函數(shù)適用性的描述是不合理的.將梁函數(shù)與Ritz法相結(jié)合，可以進(jìn)一步提升梁函數(shù)在圓柱殼模態(tài)特性分析時(shí)的計(jì)算精度.

（3）在兩端固支、固支-自由及兩端簡支3種邊界條件下，減小長徑比或者增大厚徑比均可以使圓柱殼模態(tài)頻率增大.隨著長徑比的減小或者厚徑比的增大，基于不同薄殼理論的模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差呈現(xiàn)增大趨勢.

（4）基于Reissner、Sanders以及Love理論的模態(tài)頻率計(jì)算誤差相接近，其中Love理論的計(jì)算精度最高，Donnell理論的計(jì)算精度明顯低于這3種理論.Donnell理論主要適用于厚徑比不超過0.1的圓柱殼振動(dòng)分析，Reissner、Sanders和Love理論可以有條件地應(yīng)用于厚徑比為0.2的圓柱殼振動(dòng)分析，適用范圍比Donnell理論更廣.

（5）本研究的工作均在典型邊界條件下進(jìn)行，后續(xù)研究可以考慮彈性邊界條件下圓柱殼模態(tài)分析中梁函數(shù)的應(yīng)用問題.