分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用例析

【摘要】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，在初中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用．本文通過(guò)實(shí)例分析，探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，旨在提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性和效率．

【關(guān)鍵詞】分類討論；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

分類討論思想是指根據(jù)問(wèn)題對(duì)象的特征，將問(wèn)題按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，逐類討論解決問(wèn)題的方法．這種思想有助于提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯性，是解決復(fù)雜問(wèn)題的一種有效手段．

1 由未知數(shù)范圍引起的討論

例1 關(guān)于x的方程ax2+2a+1x+a－1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

解析 ①當(dāng)a≠0時(shí)，原方程是一元二次方程．

因?yàn)樵匠逃袑?shí)數(shù)根，

所以Δ=2a+12－4aa－1≥0.

解得a≥－18.

所以當(dāng)a≥－18且a≠0時(shí)，原方程一定有實(shí)數(shù)根．

②當(dāng)a＝0時(shí)，原方程可化為x－1＝0，

此時(shí)方程為一元一次方程，有實(shí)數(shù)根．

綜上所述，a的取值范圍是a≥－18.

點(diǎn)評(píng) 題目要求a的范圍，但當(dāng)a＝0與a≠0時(shí)，方程為兩種不同類型的方程，實(shí)數(shù)根的情況也不相同，因此需要先假設(shè)a＝0或a≠0，在不同的約束條件下對(duì)方程進(jìn)行分析．

2 由弦的位置不確定引起的討論

例2 ⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，則AB和CD的距離是 cm．

解析 ①若AB和CD分布在圓心的同一側(cè)，如圖1所示，連接OC和OA，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)F、E，

因?yàn)镋D=12CD=12×8cm=4cm，

FB=12AB=12×6cm=3cm，

在Rt△DOE中，ED＝4cm，OD＝5cm，

所以O(shè)E=OD2－ED2=3cm，

在Rt△BOF中，F(xiàn)B＝3cm，OB＝5cm，

所以O(shè)F=OB2－FB2=4cm，

所以AB和CD之間的距離為OF－OE=1cm.

②若AB和CD分布在圓心的兩側(cè)，如圖2所示，連接OC和OA，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線，分別交AB，CD于點(diǎn)F、E，

因?yàn)镋D=12CD=12×8cm=4cm，

FB＝12AB＝12×6＝3cm，

在Rt△DOE中，OD＝5cm，ED＝4cm，

所以O(shè)E=OD2－ED2=3cm，

在Rt△BOF中，OB＝5cm，F(xiàn)B＝3cm，

所以O(shè)F=OB2－FB2=4cm，

所以AB和CD之間的距離為OF+OE=7cm．

可見(jiàn)，AB和CD的距離為1cm或7cm．

點(diǎn)評(píng) 本題看似是一道簡(jiǎn)單的填空題，但因AB和CD位置的不確定性，導(dǎo)致解出的結(jié)果可能不同，也給本題帶來(lái)了一定的難度．考慮到AB和CD的位置無(wú)非就是在圓心同側(cè)或圓心兩側(cè)，分兩種情況進(jìn)行討論，在不同條件下，解決問(wèn)題并不是很難．

3 三角形的邊與圓的位置關(guān)系不確定引起的討論

例3 如圖3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，CP的長(zhǎng)為 ．

解析 因?yàn)樵赗t△ABC中，AC＝5，BC＝12，

所以AB=AC2+BC2=13，

因?yàn)镃D⊥AB，

所以△ABC的面積＝12AB·CD＝12AC·BC，

所以13CD＝5×12，所以CD=6013.

分三種情況：

當(dāng)⊙P與BC邊相切，如圖4，

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，

因?yàn)镻E⊥BC，

所以∠PEC＝90°，

所以∠CPE+∠PCE＝90°，

因?yàn)镃D⊥AB，

因?yàn)椤螦DC＝∠CDB＝90°，

所以∠PCE+∠B＝90°，

所以∠B＝∠CPE，

因?yàn)椤螩EP＝∠ACB＝90°，

所以△BCA∽△PEC，

所以BAPC=BCPE，13PC=124，

所以PC=133.

當(dāng)⊙P與AB邊相切，如圖5，

因?yàn)镻D⊥AB，

所以CP=CD－PD=6013－4=813.

當(dāng)⊙P與AC邊相切，如圖6，

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F，

因?yàn)镻F⊥AC，

所以∠PFC＝90°，

所以∠CPF+∠PCF＝90°，

因?yàn)镃D⊥AB，

因?yàn)椤螦DC＝∠CDB＝90°，

所以∠PCF+∠A＝90°，

所以∠A＝∠CPF，

因?yàn)椤螩FP＝∠ACB＝90°，

所以△BCA∽△CFP，

所以BAPC=CAFP，13PC=54，

所以PC=525，

因?yàn)?25>6013，

所以PC=525舍去．

綜上所述，當(dāng)半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，CP的長(zhǎng)為133或813.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)題目描述，半徑為4的⊙P與△ABC的一邊相切，但不清楚與哪條邊相切，需要分三種情況，分別分析⊙P與△ABC的某一邊相切，分別求出對(duì)應(yīng)的CP的長(zhǎng)，然后根據(jù)實(shí)際情況驗(yàn)證得出最后結(jié)果．

4 結(jié)語(yǔ)

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用，通過(guò)實(shí)例分析，可以提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性和效率．在運(yùn)用分類討論思想時(shí)，應(yīng)先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，再逐類討論，最后將各類結(jié)果進(jìn)行歸納整理．學(xué)生在解題過(guò)程中應(yīng)注重思維的嚴(yán)密性和邏輯性，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣．

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